3.6直线和圆的位置关系 第2课时切线的判定及三角形的内切圆 学习目标所以∠OCD=90 1.掌握切线的判定定理,并会运用它 证明:连接OC,如图,∵AC=CD, 进行切线的证明;(重点) ∠D=30°,∴∠A=∠D=30°∵OA 2.能灵活选用切线的三种判定方法判OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD 定一条直线是圆的切线:(难点) 60°,∴∠OCD=90°,即OC⊥CD.∴CD 3.掌握画三角形内切圆的方法和三角是⊙O的切线 形内心的概念(重点 方法总结:一定要分清圆的切线的判定 定理的条件与结论,特别要注意“经过半径 教学过程 、情境导入 的外端”和“垂直于这条半径”这两个条 件缺一不可,否则就不是圆的切线 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第6题 【类型二】直线与圆的公基点没有确 定时,证明圆的切线 水滴沿伞边切线飞出 下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞 上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察 下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就 O N 是我们所要研究的直线与圆相切的情况 二、合作探究 M 探究点一:切线的判定 团2如图,O为正方形ABCD对角线 【类型一】已知直线过圆上的某一个AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的 证明圆的切线 ⊙O与BC相切于点M求证:CD与⊙O相 1如图,点D在⊙O的直径AB的切 延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D 30°,求证:CD是⊙O的切线 解析:连接OM,过点O作ON⊥CD 于点N,用正方形的性质得出AC平分角 ∠BCD,再利用角平分线的性质得出OM= 解析:要证明CD是⊙O的切线,即证ON即可 明OC⊥CD连接OC,由AC=CD,∠D= 证明:连接OM,过点O作ON⊥CD 于点M,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM ⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对 30°,则∠A=∠D=30°,得到∠COD=60°
3.6 直线和圆的位置关系 第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆 1．掌握切线的判定定理，并会运用它 进行切线的证明；(重点) 2．能灵活选用切线的三种判定方法判 定一条直线是圆的切线；(难点) 3．掌握画三角形内切圆的方法和三角 形内心的概念. (重点) 一、情境导入 下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞 上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一 下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就 是我们所要研究的直线与圆相切的情况． 二、合作探究 探究点一：切线的判定 【类型一】 已知直线过圆上的某一个 点，证明圆的切线 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的 延长线上，点 C 在⊙O 上，AC＝CD，∠D ＝30°，求证：CD 是⊙O 的切线． 解析：要证明 CD 是⊙O 的切线，即证 明 OC⊥CD.连接 OC，由 AC＝CD，∠D＝ 30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°， 所以∠OCD＝90°. 证明：连接 OC，如图，∵AC＝CD， ∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝ OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝ 60°，∴∠OCD＝90°，即 OC⊥CD.∴CD 是⊙O 的切线． 方法总结：一定要分清圆的切线的判定 定理的条件与结论，特别要注意“经过半径 的外端”和“垂直于这条半径”这两个条 件缺一不可，否则就不是圆的切线． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 直线与圆的公共点没有确 定时，证明圆的切线 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M.求证：CD 与⊙O 相 切． 解析：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，用正方形的性质得出 AC 平分角 ∠BCD，再利用角平分线的性质得出 OM＝ ON 即可． 证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，∵⊙O 与 BC 相切于点 M，∴OM ⊥BC.又∵ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对
角线AC上一点,∴OM=ON,CD与⊙O+DA=r+2√3,OE=在Rt△AEO中,有 相切 AE2+OE2=AO,即62+2=(r+25),解 方法总结:如果直线与圆的公共点没有得r=23:OE∥BC,:AE=40,即6 确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心 ∴CE=3 √3 到这条直线的距离等于半径 方法总结:经过半径的外端且垂直于这 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第5题 条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的 【类型三】切线的性质和判定的综合切线,已知此线过圆上某点,连接囻心与这 3如图,在Rt△ABC中,∠C=90 BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,点(即为半径),再证垂直即可 DE⊥EB 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线:后巩固提升”第6题 (2)若AD=2√3,AE=6,求EC的长 探究点二:三角形的内切圆 【类型一】利用三角形的内心求角的 度数 4如图,⊙O内切于△ABC,切点D E、F分别在BC、AB、AC上.已知∠B 接OE,OF,DE,DF, 解析:(1)取BD的中点O,连接OE 那么∠EDF等于() 如图,由∠BED=90°,可得BD为△BDE 的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆 的圆心再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C B.55° =90°,可得结论;(2)设⊙O的半径为r,根 D.70 据勾股定理和平行线分线段成比例定理,可 解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B 求答案. =50°,∠C=60°,∴∠A=70°⊙O内切于 (1)证明:取BD的中点O,连接OE, 如图所示,∵DE⊥EB,∴∠BED=90° △ABC,切点分别为D、E、F,∴∠OEA= ∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为 △BDE的外接圆的圆心.∵BE平分∠ABC, ∠OFA=90°,∠EOF=360°-∠A-∠OEA CBE=∠OBE.∵OB=OE,∴∠OBE= ∠OEB,…∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,0=10,∠EDF=2∠EOF=5故 ∴∠AEO=∠C=90°,∴OE⊥AE,∴AC 是△BDE的外接圆的切线 (2)解:设⊙O的半径为r,则OA=OD 方法总结:解决本题的关键是理解三角
角线 AC 上一点，∴OM＝ON，∴CD 与⊙O 相切． 方法总结：如果直线与圆的公共点没有 确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心 到这条直线的距离等于半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 5 题 【类型三】 切线的性质和判定的综合 应用 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BE 平分∠ABC 交 AC 于点E，点 D 在 AB 上， DE⊥EB. (1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若 AD＝2 3，AE＝6，求 EC 的长． 解析：(1)取 BD 的中点 O，连接 OE， 如图，由∠BED＝90°，可得 BD 为△BDE 的外接圆的直径，点 O 为△BDE 的外接圆 的圆心，再证明 OE∥BC，得到∠AEO＝∠C ＝90°，可得结论；(2)设⊙O 的半径为 r，根 据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可 求答案． (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE， 如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°， ∴BD 为△BDE 的外接圆的直径，点 O 为 △BDE 的外接圆的圆心．∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝ ∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)解：设⊙O 的半径为 r，则 OA＝OD ＋DA＝r＋2 3，OE＝r.在 Rt△AEO 中，有 AE2＋OE2＝AO2，即 6 2＋r 2＝(r＋2 3) 2，解 得 r＝2 3.∵OE∥BC，∴ AE CE＝ AO OB，即 6 CE＝ 4 3 2 3 ，∴CE＝3. 方法总结：经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的 切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这 点(即为半径)，再证垂直即可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】 利用三角形的内心求角的 度数 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、 E、F 分别在 BC、AB、AC 上．已知∠B＝ 50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF， 那么∠EDF 等于( ) A．40° B．55° C．65° D．70° 解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B ＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O 内切于 △ABC，切点分别为 D、E、F，∴∠OEA＝ ∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA －∠OFA＝110°，∴∠EDF＝ 1 2 ∠EOF＝55°.故 选 B. 方法总结：解决本题的关键是理解三角
形内心的概念,求出∠EOF的度数 内心,得出∠1=∠2,∠3=∠4,再根据∠ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第10题 BlE=∠1+∠3,∠BE=∠5+∠4,而∠5 =∠1=∠2,得出∠BE=∠IBE,即可证出 IE=BE;(2)由三角形的内心,得到角平分 【类型二】求三角形内切圆半 线,根据等腰三角形的性质得到边相等,由 例5如图,Rt△ABC中,∠C=90° AC=6,CB=8,则△ABC的内切圆半径 等量代换得到四条边都相等,推出四边形是 为() A.1B.2C.1.5D.2.5 菱形 解析:∵∠C=90°,AC=6,CB=8, 解:(1)BE=理由如下:如图①,连 接B,∵是△ABC的内心,∴∠1=∠2, ∠3=∠4.∵∠BE=∠1+∠3,∠BE=∠5 AB=AC+BC2=10,ABC的内切圆 ∠4,而∠5=∠1=∠2,∴∠BIE=∠IBE, ∴BE=lE 半径r= =2故选B (2)四边形BEC是菱形.证明如下 BED=∠CED=60°,∴∠ABC 方法总结:记住直角边为a、b,斜边为 ACB=60°,∴BE=CE.∵I是△ABC的 a+b-c c的三角形的内切圆半径为,可以大内心,…∠4=∠ABC=30°,∠CD=5∠ 大简化计算 ACB=30°,∴∠4=∠ICD,∴B/=lC.由(1) 证得IE=BE,∴BE=CE=B=C,∴四边 变式训练:见《学练优》本课时练习“课形BEC是菱形 后巩固提升”第2题 【类型三】三角形内心的综合应用 方法总结:解决本题要掌握三角形的内 例6如图①,I是△ABC的内心,A 的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接心的性质,以及圆周角定理 圆于点E 三、板书设计 (1)BE与E相等吗?请说明理由 切线的判定及三角形的内切圆 (2)如图②,连接B,Cl,CE,若∠BED 切线的判定方法 ∠CED=60°,猜想四边形BEC是何种 2.三角形的内切圆和内心的概念 特殊四边形,并证明你的猜想 数学反思 本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学 生活动内容,如动手操作“切线的判定定理 的发现过程”,以及讲解例题时学生的参 与,课堂练习的设计都体现了以教师为主 图① 图② 导、学生为主体的教学原则 解析:(1)连接B,根据/是△ABC的
形内心的概念，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型二】 求三角形内切圆半径 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°， AC＝6，CB＝8，则△ABC 的内切圆半径 r 为( ) A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8， ∴AB＝ AC2＋BC2＝10，∴△ABC 的内切圆 半径 r＝ 6＋8－10 2 ＝2.故选 B. 方法总结：记住直角边为 a、b，斜边为 c 的三角形的内切圆半径为 a＋b－c 2 ，可以大 大简化计算． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 三角形内心的综合应用 如图①，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边 BC 于点 D，交△ABC 的外接 圆于点 E. (1)BE 与 IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接 BI，CI，CE，若∠BED ＝∠CED＝60°，猜想四边形 BECI 是何种 特殊四边形，并证明你的猜想． 解析：(1)连接 BI，根据 I 是△ABC 的 内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠ BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5 ＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出 IE＝BE；(2)由三角形的内心，得到角平分 线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由 等量代换得到四条边都相等，推出四边形是 菱形． 解：(1)BE＝IE.理由如下：如图①，连 接 BI，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2， ∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5 ＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE， ∴BE＝IE； (2)四边形 BECI 是菱形．证明如下： ∵∠BED＝∠CED ＝60 °， ∴∠ABC＝ ∠ACB＝60°，∴BE＝CE.∵I 是△ABC 的 内心，∴∠4＝ 1 2 ∠ABC＝30°，∠ICD＝ 1 2 ∠ ACB＝30°，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1) 证得 IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四边 形 BECI 是菱形． 方法总结：解决本题要掌握三角形的内 心的性质，以及圆周角定理． 三、板书设计 切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法 2．三角形的内切圆和内心的概念 本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学 生活动内容，如动手操作“切线的判定定理 的发现过程”，以及讲解例题时学生的参 与，课堂练习的设计都体现了以教师为主 导、学生为主体的教学原则