24二次函数的应用 第2课时商品利润最大问题 鲁习目标 少量,用240减去销售减少量得到y与x的 1.应用二次函数解决实际问题中的最 值问题:(重点) 函数关系式;(2)直接用销售单价乘以销售 2.应用二次函数解决实际问题,要能 正确分析和把握实际问题的数量关系,从而量等于140,0列方程求得销售单价;(3) 得到函数关系,再求最值.(难点) 设一个月内获得的利润为v元根据题意得 =(x-40(4x+480),然后利用配方法求 教学过程 、情境导入 最值 解:(1)销售单价为x元,则销售量减少 x-6 ×20,故销售量为 240-x-60 4x+480x≥60); (2)根据题意可得x(-4x+480)= 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单14000,解得x1=70,x2=50不合题意,舍 价是25元.根据市场调查,销售量与销售去),故当销售价为70元时,月销售额为 单价满足如下关系:在一段时间内,单价是14000元 135元时,销售量是500件,而单价每降低 (3)设一个月内获得的利润为元,根 10元,就可以多售出200件.请你帮忙分析,据题意得=(x-40(-4x+480)=-4x2+ 销售单价是多少时,可以获利最多? 640x-19200=-4(x-80)2+6400.当x=80 二、合作探究 时,有最大值,最大值为6400 探究点一:商品利润最大问题 所以,当销售单价为80元时,才能在 【类型一】利用二次函数求实际问题个月内获得最大利润,最大利润是640 中的最大利润 囹】某体育用品店购进一批单价为40 元的球服,如果按单价60元销售,那么 方法总结:先得到二次函数的顶点式y 个月内可售出240套,根据销售经验,提高 销售单价会导致销售量的减少,即销售单价 x-h)2+k,当a0,x=h时,y有最小值k 售单价为xx≥60)元时,销售量为y套 (1)求出y与x的函数关系式; 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (2)当销售单件为多少元时,月销售额为堂达标训练”第7题 14000元? (3)当销售单价为多少元时,才能在一个 2某公司推出了一种高效环保型洗 月内获得最大利润?最大利润是多少? 涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到 盈利的过程.右面的二次函数图象(部分)刻 解析:(1)由销售单价为x元得到销售减画了该公司年初以来累积利润(万元)与销
2.4 二次函数的应用 第 2 课时 商品利润最大问题 1．应用二次函数解决实际问题中的最 值问题；(重点) 2．应用二次函数解决实际问题，要能 正确分析和把握实际问题的数量关系，从而 得到函数关系，再求最值．(难点) 一、情境导入 某商店经营 T 恤衫，已知成批购进时单 价是 25 元．根据市场调查，销售量与销售 单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 135 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 10 元，就可以多售出 200 件．请你帮忙分析， 销售单价是多少时，可以获利最多？ 二、合作探究 探究点一：商品利润最大问题 【类型一】 利用二次函数求实际问题 中的最大利润 某体育用品店购进一批单价为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售，那么一 个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的减少，即销售单价 每提高 5 元，销售量相应减少 20 套．设销 售单价为 x(x≥60)元时，销售量为 y 套． (1)求出 y 与 x 的函数关系式； (2)当销售单件为多少元时，月销售额为 14000 元？ (3)当销售单价为多少元时，才能在一个 月内获得最大利润？最大利润是多少？ 解析：(1)由销售单价为 x 元得到销售减 少量，用 240 减去销售减少量得到 y 与 x 的 函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售 量等于 14000，列方程求得销售单价； (3) 设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意得 w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求 最值． 解：(1)销售单价为 x 元，则销售量减少 x－60 5 ×20，故销售量为 y＝240－ x－60 5 ×20 ＝－4x＋480(x≥60)； (2) 根据题意可得 x( － 4x ＋ 480) ＝ 14000，解得 x1＝70，x2＝50(不合题意，舍 去)，故当销售价为 70 元时，月销售额为 14000 元； (3)设一个月内获得的利润为 w 元，根 据题意得 w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x 2＋ 640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.当 x＝80 时，w 有最大值，最大值为 6400. 所以，当销售单价为 80 元时，才能在 一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元． 方法总结：先得到二次函数的顶点式 y ＝a(x－h) 2＋k，当 a＜0，x＝h 时，y 有最大 值 k；当 a>0，x＝h 时，y 有最小值 k. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 7 题 某公司推出了一种高效环保型洗 涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到 盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻 画了该公司年初以来累积利润 w(万元)与销
售时间(月)之间的关系(即前t个月的利润达30万元; 总和m和销售时间t之间的关系).根据图 象提供的信息,解答下列问题: (3)把=7代入关系式,得=×72 w/万元 2×7=10.5,把t=8代入关系式,得0= 82-2×8=1616-10.5=55(万元) 所以,第8个月公司所获利润是55万 兀 (1)由图象上已知的信息,求累积利润 (万元)与销售时间月)之间的函数关系 方法总结:此题主要考查了二次函数的 式 (2)求截止到几月末公司累积利润可达 性质在实际生活中的应用,首先要吃透题 到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万意,确定变量,建立函数模型,尤其是对本 题图象中所给信息的理解是解决问题的关 解析:()本题是通过构建函数模型解答 销售利润的问题,应根据图象以及题目中所 给的信息来列出与t之间的函数关系式; 【类型二】综合运用一次函数和二次 (2把70=30代入累计利润=-+的函西数求最大利润 数关系式里,求得月份;(3)分别将t=7,t =8代入函数解析a=2-2,再把总利润 20F- 相减就可得出 解:(1)由图象可知其顶点坐标为(2, 例3宿松超市以每件20元的价格进购 2),故可设其函数关系式为0=a(-2)2-一批商品,试销一阶段后发现,该商品每天 2∴所求函数关系式的图象过(0,0),于是的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关 得a0-22-2=0,解得a=2∴函数关系式系如图(20≤x≤60) (1)求每天销售量y(件)与售价x(元/件) 之间的函数关系式; 为 (2)若该商品每天的利润为ao(元),试确 所以,累积利润m与销售时间t之间的定w(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式, 函数关系式为0=12-2t 并求售价x为多少时,每天的利润o最大 最大利润是多少? (2)把=30代入=÷2-2,得六 解析:(1)当20≤x≤40时设y=ax+b 2r=30解得1=10,12=-6(不合题意,舍 当40<x≤60时,设y=mx+n,利用待定 所以,截止到10月末公司累积利润可 系数法求一次函数解析式即可;(2利用(1)
售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润 总和 w 和销售时间 t 之间的关系)．根据图 象提供的信息，解答下列问题： (1)由图象上已知的信息，求累积利润 w(万元)与销售时间 t(月)之间的函数关系 式； (2)求截止到几月末公司累积利润可达 到 30 万元； (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万 元． 解析：(1)本题是通过构建函数模型解答 销售利润的问题，应根据图象以及题目中所 给的信息来列出 w 与 t 之间的函数关系式； (2)把 w＝30 代入累计利润 w＝ 1 2 t 2－2t 的函 数关系式里，求得月份；(3)分别将 t＝7，t ＝8 代入函数解析 w＝ 1 2 t 2－2t，再把总利润 相减就可得出． 解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－ 2)，故可设其函数关系式为 w＝a(t－2)2－ 2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是 得 a(0－2)2－2＝0，解得 a＝ 1 2 .∴函数关系式 为 w＝ 1 2 (t－2)2－2，即 w＝ 1 2 t 2－2t. 所以，累积利润 w 与销售时间 t 之间的 函数关系式为 w＝ 1 2 t 2－2t； (2)把 w＝30 代入 w＝ 1 2 t 2－2t，得 1 2 t 2－ 2t＝30.解得 t1＝10，t2＝－6(不合题意，舍 去)． 所以，截止到 10 月末公司累积利润可 达 30 万元； (3)把 t＝7 代入关系式，得 w＝ 1 2 ×7 2－ 2×7＝10.5，把 t＝8 代入关系式，得 w＝ 1 2 × 8 2－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)． 所以，第 8 个月公司所获利润是 5.5 万 元． 方法总结：此题主要考查了二次函数的 性质在实际生活中的应用，首先要吃透题 意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本 题图象中所给信息的理解是解决问题的关 键． 【类型二】 综合运用一次函数和二次 函数求最大利润 宿松超市以每件20元的价格进购 一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天 的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关 系如图(20≤x≤60)． (1)求每天销售量 y(件)与售价 x(元/件) 之间的函数关系式； (2)若该商品每天的利润为 w(元)，试确 定 w(元)与售价 x(元/件)之间的函数关系式， 并求售价 x 为多少时，每天的利润 w 最大， 最大利润是多少？ 解析：(1)当 20≤x≤40 时，设 y＝ax＋b， 当 40＜x≤60 时，设 y＝mx＋n，利用待定 系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)
中所求进而得出w(元)与售价x(元/件)的函 4某商店经过市场调查,整理出某 种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的 相关信息如下表 数表达式,进而求出函数最值 时间x(天) ≤x0,因而抛物线开口向上,且x>0时 50≤x≤90时,y=(200-2x90-30)= 随x的增大而增大,又20≤x≤40,因此当120x+12000 x=40时,0有最大值,o最大做=402-400 综上所述 y 200:②当40<x≤60时,=-2x2+180x 2800=-2(x-45)2+1250,由于-2<0, 2x2+180x+2000(1≤x<50) 抛物线开口向下,又40<x≤60,所以当x(-120x+100≤x≤90) =45时,v0有最大值,翟最大做=1250 (2)当1≤x<50时,y=-2x2+180x+ 综上所述,当x=45时,最大值=1250.200,0二次函数开口向下,对称轴为x=45, 所以,售价为45元/件时,每天的利润当x=45时,y最大=-2×452+180×45+ 最大,最大利润是1250元 2000=6050:当50≤x≤90时,y=-120x 方法总结:一次函数与二次函数的综合+1200,y随x的增大而减小,当x=50时, y最大=6000 应用问题主要解决的是图象与性质的问题 综上所述,销售该商品第45天时,当 天销售利润最大,最大利润是6050元 或生活中的实际应用问题 方法总结:本题考查了二次函数的应 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第2题 用,读懂表格信息、理解利润的计算方法, 【类型三】利用表格信息求最大利润 即利润=每件的利润×销售的件数,是解决
中所求进而得出 w(元)与售价 x(元/件)的函 数表达式，进而求出函数最值． 解：(1)分两种情况：当 20≤x≤40 时， 设 y＝ax＋b，根据题意，得 20a＋b＝40， 40a＋b＝60， 解 得 a＝1， b＝20， 故 y＝x＋20；当 40＜x≤60 时， 设 y＝mx＋n，根据题意，得 40m＋n＝60， 60m＋n＝20， 解得 m＝－2， n＝140， 故 y＝－2x＋140. 故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间 的 函 数 表 达 式 是 y ＝ x＋20（20≤x≤40）， －2x＋140（40＜x≤60）； (2)w ＝ 错误! ①当 20≤x≤40 时，w＝x 2－400，由于 1＞0，因而抛物线开口向上，且 x＞0 时 w 随 x 的增大而增大，又 20≤x≤40，因此当 x＝40 时，w 有最大值，w 最大值＝402－400 ＝1200；②当 40＜x≤60 时，w＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0， 抛物线开口向下，又 40＜x≤60，所以当 x ＝45 时，w 有最大值，w 最大值＝1250. 综上所述，当 x＝45 时，w 最大值＝1250. 所以，售价为 45 元/件时，每天的利润 最大，最大利润是 1250 元． 方法总结：一次函数与二次函数的综合 应用问题主要解决的是图象与性质的问题 或生活中的实际应用问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 2 题 【类型三】 利用表格信息求最大利润 某商店经过市场调查，整理出某 种商品在第 x(1≤x≤90)天的售价与销量的 相关信息如下表： 时间 x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x＋40 90 每天销量(件) 200－2x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销 售该商品每天的利润为 y 元． (1)求出 y 与 x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利 润最大，最大利润是多少？ 解析：(1)分 1≤x＜50 和 50≤x≤90 两 种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润× 销售的件数，即可求得函数的解析式；(2) 利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与 一次函数的性质分别求得最值，然后两种情 况下取最大的即可． 解：(1)当 1≤x＜50 时，y＝(200－2x)(x ＋ 40 － 30) ＝ － 2x 2 ＋ 180x ＋ 2000 ； 当 50≤x≤90 时，y＝(200－2x)(90－30)＝－ 120x＋12000. 综上所述 ， y ＝ －2x 2＋180x＋2000（1≤x＜50）， －120x＋12000（50≤x≤90）； (2)当 1≤x＜50 时，y＝－2x 2＋180x＋ 2000，二次函数开口向下，对称轴为 x＝45， 当 x＝45 时，y 最大＝－2×452＋180×45＋ 2000＝6050；当 50≤x≤90 时，y＝－120x ＋12000，y 随 x 的增大而减小，当 x＝50 时， y 最大＝6000. 综上所述，销售该商品第 45 天时，当 天销售利润最大，最大利润是 6050 元． 方法总结：本题考查了二次函数的应 用，读懂表格信息、理解利润的计算方法， 即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决
问题的关键 三、板书设计 商品利润最大问题 1.利用二次函数求实际问题中的最大 利润 2.综合运用一次函数和二次函数求最 大利润 3利用表格信息求最大利润 教学反思 本节课是在学习了二次函数的概念、图 象及性质后,应用二次函数的最大值解决销 售问题的最大利润问题.本节课的设计力求 通过创设问题情境,有计划、有步骤地安排 好思维序列,使学生的思维活动在“探索 发现”的过程中充分展开,力求使学生 经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的 过程,整个教学过程突出知识的形成与发展 的过程,让学生既获得了知识又发展了智 力,同时提升了能力
问题的关键． 三、板书设计 商品利润最大问题 1．利用二次函数求实际问题中的最大 利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最 大利润 3.利用表格信息求最大利润 本节课是在学习了二次函数的概念、图 象及性质后，应用二次函数的最大值解决销 售问题的最大利润问题．本节课的设计力求 通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排 好思维序列，使学生的思维活动在“探索 ——发现”的过程中充分展开，力求使学生 经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的 过程，整个教学过程突出知识的形成与发展 的过程，让学生既获得了知识又发展了智 力，同时提升了能力