22二次函数的图象与性质 第1课时二次函数p=x2和y=x2的图象与性质 鲁习目标 描点、连线可得图象如下: 1.会用描点法画出形如y=x2和y= x2的二次函数图象,理解抛物线的概念;(重 2.通过观察图象能说出二次函数y=x2 -4-3-2-N 和y=-x2的图象特征和性质,并会应用(难 点) (1)抛物线y=x2的对称轴为y轴,顶点 坐标为(0,0),开口方向向上,最低点坐标 教学过程 为(0,0) (2)抛物线y=-x2的对称轴为y轴,顶 、情境导入 点坐标为(0,0),开口方向向下,最高点坐 学生观看图片 标为(0,0) 方法总结:画抛物线y=x2和y=-x2 雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都 的图象时,还可以根据它的对称性,先用描 会形成一条曲线 问题1:这些曲线能否用函数关系式表点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另 示? 问题2:如何画出这样的函数图象? 一侧 合作探究 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 探究点:二次函数y=x2和y=-x2的图堂达标训练”第3题 象与性质 【类型二】二次函数y=x2和y=-x2 【类型一】二次函数y=x和y=-x的图象的增减性 的图象的画法及特点 例2二次函数y=(m+1)x2的图象过点 列1在同一平面直角坐标系中,画出(-2,4),则m 这个二次函数 下列函数的图象: 的解析式为 ,当x0,y随x的增大而 (填“增大” 轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标.或“减小”) 解析:利用列表、描点、连线的方法作 解析:将点(-2,4代入y=(m+1)x2 出两个函数的图象即可 中得出m=0所以二次函数解析式为y=x2 解:列表如下 0时,y随x的增大而减小;当x>0 x的增大而增大.故答案分别为0
2.2 二次函数的图象与性质 第 1 课时 二次函数 y=x 2 和 y=-x 2 的图象与性质 1．会用描点法画出形如 y＝x 2 和 y＝－ x 2 的二次函数图象，理解抛物线的概念；(重 点) 2．通过观察图象能说出二次函数 y＝x 2 和y＝－x 2的图象特征和性质，并会应用．(难 点) 一、情境导入 学生观看图片 雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都 会形成一条曲线． 问题 1：这些曲线能否用函数关系式表 示？ 问题 2：如何画出这样的函数图象？ 二、合作探究 探究点：二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图 象与性质 【类型一】 二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象的画法及特点 在同一平面直角坐标系中，画出 下列函数的图象： (1)y＝x 2 ；(2)y＝－x 2 . 根据图象分别说出抛物线(1)(2)的对称 轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标． 解析：利用列表、描点、连线的方法作 出两个函数的图象即可． 解：列表如下： x y ) －2 －1 0 1 2 y＝x 2 4 1 0 1 4 y＝－x 2 －4 －1 0 －1 －4 描点、连线可得图象如下： (1)抛物线 y＝x 2 的对称轴为 y 轴，顶点 坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标 为(0，0)； (2)抛物线 y＝－x 2 的对称轴为 y 轴，顶 点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐 标为(0，0)． 方法总结：画抛物线 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象时，还可以根据它的对称性，先用描 点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另 一侧． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 3 题 【类型二】 二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象的增减性 二次函数y＝(m＋1)x 2的图象过点 (－2，4)，则 m＝________，这个二次函数 的解析式为________，当 x0，y 随 x 的增大而________(填“增大” 或“减小”)． 解析：将点(－2，4)代入 y＝(m＋1)x 2 中得出 m＝0.所以二次函数解析式为 y＝x 2 . 故当 x0 时，y 随 x 的增大而增大．故答案分别为 0；
、板书设计 y=x2;减小;增大 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性 方法总结:此类题的关键在于确定用二 质 1.二次函数y=x2和y=-x2的图象的 画法及特点 次函数的解析式,根据图象性质分析函数值 2.二次函数y=x2和y=-x2的图象的 性质 的增减性得出答案 3.二次函数y=x2和y=-x2的应用 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第10题 数学反思 【类型三】二次函数y=x2与一次函数 在教学中主要采用了体验探究的教学方 式,在教师的配合引导下,让学生自己动手 例3]已知:如图,直线y=3x+4与抛作图,观察、归纳出二次函数的性质,体验 物线y=x2交于A、B两点,求出A、B两点知识的形成过程,力求体现“主体参与、自 的坐标,并求出两交点与原点所围成的三角主探索、合作交流、指导引探”的教学理念 形的面积 解析:联立两解析式构成方程组 3x+4 方程组的解即为交点坐标 x y=x,解得/~4 解:由题意得/3x+4, 或二”所直线产+与抛物 =x2的交点坐标为A(4,16)和B(-1,1).如 图,连接AO、BO∴:直线y=3x+4与y轴 相交于点C0,4),∴CO=4.∴S△ACO CO·4=8,S△BOC=×4×1=2,∴S△ABO S△ACO+S△BOC=1 方法总结:解本题的关键是求直线和抛 物线的交点,可联立方程求解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第8题
y＝x 2；减小；增大． 方法总结：此类题的关键在于确定用二 次函数的解析式，根据图象性质分析函数值 的增减性得出答案． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 10 题 【类型三】 二次函数 y＝x 2 与一次函数 的综合 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛 物线 y＝x 2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点 的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角 形的面积． 解析： 联立两解析式构成方程组 y＝3x＋4， y＝x 2， 方程组的解即为交点坐标． 解：由题意得 y＝3x＋4， y＝x 2， 解得 x＝4， y＝16 或 x＝－1， y＝1. 所以直线 y＝3x＋4 与抛物线 y ＝x 2 的交点坐标为 A(4，16)和 B(－1，1)．如 图，连接 AO、BO.∵直线 y＝3x＋4 与 y 轴 相交于点 C(0，4)，∴CO＝4.∴S △ACO＝ 1 2 ·CO·4＝8，S△BOC＝ 1 2 ×4×1＝2，∴S△ABO ＝S△ACO＋S△BOC＝10. 方法总结：解本题的关键是求直线和抛 物线的交点，可联立方程求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象与性 质 1．二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象的 画法及特点 2．二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的图象的 性质 3．二次函数 y＝x 2 和 y＝－x 2 的应用 在教学中主要采用了体验探究的教学方 式，在教师的配合引导下，让学生自己动手 作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验 知识的形成过程，力求体现“主体参与、自 主探索、合作交流、指导引探”的教学理念