1.230°,45°,60°角的三角函数值 学习目标 1_3 1.经历探索30°,45°,60°角的 22-1:(2)原式22 √2-3 √2 角函数值的过程,进一步体会三角函数的意 义:(重点 2.能够进行30°,45°,60°角的 方法总结:解决此类题目的关键是熟记 角函数值的计算:(重点) 3.能够根据30°,45°,60°角的三特殊角的三角函数值 角函数值说出相应锐角的大小.(难点) 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第5题 【类型二】已知三角函数值求角的取 教学过程 值范围 、情境导入 团例2若cosa=,则锐角a的大致范 在直角三角形中(利用一副三角板进行围是() 演示),如果有一个锐角是30°(如图①),那 A.0°<a<30°B.30°<a<45° 么另一个锐角是多少度?三条边之间有什 C.45°<a<60°D.0°<a<30° 么关系?如果有一个锐角是45°呢(如图 ②)?由此你能发现这些特殊锐角的三角函 解析:∵:c0s30=2w°sy 数值吗? cos60=,B2 3 2,.-cos60<cosa< os45°,∴锐角α的范围是45°<α<60°故 图① 二、合作探究 方法总结:解决此类问题要熟记特殊角 探究点:30,45.6°0角的三角的三角函数信和三角函数的增减性 函数值 【类型一】利用特殊角的三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 进行计算 堂达标训练”第9题 圆例1计算 【类型三】已知三角函数值,求角度 (1)2cos60 sin30 3根据下列条件,确定锐角a的值: in45°·sin60°; (1)osa+10°)-y=0 cos60°+cos45° √5 (2)tan-a +1)tana+=0 解析:将特殊角的三角函数值代入求 解析:(1)根据特殊角的三角函数值来求 解:()式=2×22-%6xx2的值:2)用因式分解法解关于m的元 二次方程即可
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 1．经历探索 30°，45°，60°角的三 角函数值的过程，进一步体会三角函数的意 义；(重点) 2．能够进行 30°，45°，60°角的三 角函数值的计算；(重点) 3．能够根据 30°，45°，60°角的三 角函数值说出相应锐角的大小．(难点) 一、情境导入 在直角三角形中(利用一副三角板进行 演示)，如果有一个锐角是 30°(如图①)，那 么另一个锐角是多少度？三条边之间有什 么关系？如果有一个锐角是 45°呢(如图 ②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函 数值吗？ 二、合作探究 探究点一：30°，45°，60°角的三角 函数值 【类型一】 利用特殊角的三角函数值 进行计算 计算： (1)2cos60 ° · sin30 ° － 6 sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求 解． 解：(1)原式＝2× 1 2 × 1 2 － 6× 2 2 × 3 2 ＝ 1 2 － 3 2 ＝－1；(2)原式＝ 1 2 － 2 2 1 2 ＋ 2 2 ＝2 2－3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记 特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 已知三角函数值求角的取 值范围 若 cosα＝ 2 3 ，则锐角 α 的大致范 围是( ) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2 ，cos45°＝ 2 2 ， cos60°＝ 1 2 ，且 1 2 ＜ 2 3 ＜ 2 2 ，∴cos60°＜cosα＜ cos45°，∴锐角 α 的范围是 45°＜α＜60°.故 选 C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角 的三角函数值和三角函数的增减性． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 9 题 【类型三】 已知三角函数值，求角度 根据下列条件，确定锐角 α 的值： (1)cos(α＋10°)－ 3 2 ＝0； (2)tan2α－( 3 3 ＋1)tanα＋ 3 3 ＝0. 解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求 α 的值；(2)用因式分解法解关于 tanα的一元 二次方程即可．
解:103+10°)=1.a+10 【类型二】利用特殊角的三角函数值 求三角形的边长 30° 20°:(2)tan2a-(+1)tan 30,(tan a-l)(tan a a=1或tana 3…a=45°或a=30 方法总结:熟记特殊角的三角函数值以 例5如图所示,在△ABC中,∠C= 90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分 及将“tana”看作一个未知数解方程是解决线,若AC=3,求线段AD的长 解析:首先根据直角三角形的性质推出 问题的关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 ∠BAC的度数,再求出∠CAD=30°,最后 后巩固提升”第8题 探究点二:特殊角的三角函数值的应用根据特殊角的三角函数值求出AD的长度 【类型一】特殊角的三角函数值与其 解:∵△ABC中,∠C=90°,∠B= 他知识的综合 30°,∴∠BC=60°∴∵AD是△ABC的角 4已知△ABC中的∠A与∠B满足(1平分线,∴∠CAD=30°,∴在Rt△ADC mP+1m-2=0.试判断△ABC的中,AD=0-=×=2 形状 方法总结:解决此题的关键是利用转化 解析:根据非负性的性质求出tanA及 的思想,将已知和未知元素化归到一个直角 sinB的值,再根据特殊角的三角函数值求出 三角形中,进行解答 ∠A及∠B的度数,进而可得出结论 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第9题 解:∵(1-tan)2+|sin =0, 【类型三】构造三角函数模型解决问 tanA=1,snB=2’∴∠A=45°,∠B 6要求tan30°的值,可构造如图所 60°,∠C=180°-45°—60°=75°,∴△示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC,使 ABC是锐角三角形 ∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1, 方法总结:一个数的绝对值和偶次方都那么BC=V3,∠ABC=30°,:mn30° AC_1√3 在此图的基础上,通过添加适 是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方 当的辅助线,探究tan15°与tan75°的值 A 相加和为0时,则其中的每一项都必须等于 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第4题 解析:根据角平分线的性质以及勾股定
解：(1)cos(α＋10°)＝ 3 2 ，α＋10°＝ 30°，∴α＝20°；(2)tan2α－( 3 3 ＋1)tan α＋ 3 3 ＝0，(tanα－1)(tanα－ 3 3 )＝0，tan α＝1 或 tanα＝ 3 3 ，∴α＝45°或 α＝30°. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值以 及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决 问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 8 题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 特殊角的三角函数值与其 他知识的综合 已知△ABC中的∠A 与∠B 满足(1 －tanA) 2＋|sinB－ 3 2 |＝0，试判断△ABC 的 形状． 解析：根据非负性的性质求出 tanA 及 sinB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 ∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论． 解：∵(1－tanA) 2＋|sinB－ 3 2 |＝0，∴ tanA＝1，sinB＝ 3 2 ，∴∠A＝45°，∠B＝ 60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ ABC 是锐角三角形． 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都 是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方 相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 4 题 【类型二】 利用特殊角的三角函数值 求三角形的边长 如图所示，在△ABC 中，∠C＝ 90°，∠B＝30°，AD 是△ABC 的角平分 线，若 AC＝ 3，求线段 AD 的长． 解析：首先根据直角三角形的性质推出 ∠BAC 的度数，再求出∠CAD＝30°，最后 根据特殊角的三角函数值求出 AD 的长度． 解：∵△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝ 30°，∴∠BAC＝60°.∵AD 是△ABC 的角 平分线，∴∠CAD＝30°，∴在 Rt△ADC 中，AD＝ AC cos30° ＝ 3× 2 3 ＝2. 方法总结：解决此题的关键是利用转化 的思想，将已知和未知元素化归到一个直角 三角形中，进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 9 题 【类型三】 构造三角函数模型解决问 题 要求 tan30°的值，可构造如图所 示的直角三角形进行计算．作 Rt△ABC，使 ∠C＝90°，斜边 AB＝2，直角边 AC＝1， 那么 BC＝ 3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ AC BC＝ 1 3 ＝ 3 3 .在此图的基础上，通过添加适 当的辅助线，探究 tan15°与 tan75°的值． 解析：根据角平分线的性质以及勾股定
理首先求出CD的长进而得出tan5°=CD,便,在讲解特殊角三角函数值时也很细,可 以说前部分的教学很成功,学生理解的很好. tan75°= 解:作∠B的平分线交AC于点D,作 DE⊥AB,垂足为E∴BD平分∠ABC,CD ⊥BC,DE⊥AB,∴CD=DE设CD=x,则 AD=1-x, AE=2-BE=2-BC=2-3 在Rt△ADE中,DE2+AE2=AD2,x2+(2 √3}=(1-x),解得x=23-3,∴;anl 2-√3,tan75° ⊥BC 方法总结:解决问题的关键是添加辅助 线构造含有15°和75°的直角三角形,再根 据三角函数的定义求出15°和75的三角函 数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第6题 板书设计 30°,45°,60°角的三角函数值 1.特殊角的三角函数值 30 sin a 巫√ cos a tan a √3 2.应用特殊角的三角函数值解决问题 数学反思 课程设计中引入非常直接,由三角板引入, 直击课题,同时也对前两节学习的知识进行 了整体的复习,效果很好.设计引题开门见 山,节省了时间,为后面的教学提供了方
理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝ CD BC， tan75°＝ BC CD. 解：作∠B 的平分线交 AC 于点 D，作 DE⊥AB，垂足为 E.∵BD 平分∠ABC，CD ⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设 CD＝x，则 AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－ 3. 在 Rt△ADE 中，DE2＋AE2＝AD2，x 2＋(2－ 3) 2＝(1－x) 2，解得 x＝2 3－3，∴tan15° ＝ 2 3－3 3 ＝2－ 3，tan75°＝ BC CD＝ 3 2 3－3 ＝2＋ 3. 方法总结：解决问题的关键是添加辅助 线构造含有 15°和 75°的直角三角形，再根 据三角函数的定义求出 15°和 75°的三角函 数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 30°，45°，60°角的三角函数值 1．特殊角的三角函数值 30° 45° 60° sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1 3 2.应用特殊角的三角函数值解决问题 课程设计中引入非常直接，由三角板引入， 直击课题，同时也对前两节学习的知识进行 了整体的复习，效果很好．设计引题开门见 山，节省了时间，为后面的教学提供了方 便．在讲解特殊角三角函数值时也很细，可 以说前部分的教学很成功，学生理解的很好