15三角函数的应用 教学目标 (一)教学知识点 1经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 2能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能 对结果的意义进行说明 (二)能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力 (三)情感与价值观要求 1在经历弄清实际问题题意的过程中,画出示意图,培养独立思考问题的习惯和克服困 难的勇气 2选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数学、学好数 学的欲望 教具重点 1经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2发展学生数学应用意识和解决问题的能力 教学难点 根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图 教学方法 探索一一发现法 教具准备 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师直角三角形就像一个万花筒,为我们展现出了一个色彩斑澜的世界我们在欣赏了它 神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后,接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系, 它使我们现实生活中不可能实现的问题,都可迎刃而解它在航海、工程等测量问题中有着 广泛应用,例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示) 海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东 航行,你认为货轮继续冋东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与冋伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题(板书:船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课 [师我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的? [生]应该是“上北下南,左西右东” 师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的 「生]首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东 方,且在A南偏东25°处示意图如下
1.5 三角函数的应用 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能 对结果的意义进行说明. (二)能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困 难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数 学的欲望. 教具重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 教学方法 探索——发现法 教具准备 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它 神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系， 它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着 广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示). 海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55°的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25°的 C 处，之后，货轮继续往东 航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课 [师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? [生]应该是“上北下南，左西右东”. [师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的. [生]首先我们可将小岛 A 确定，货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55°的 B 处，C 在 B 的正东 方，且在 A 南偏东 25°处.示意图如下
东 [师]货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定? 「生]根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的 最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险A到BC所在直 线的最短距离为过A作AD⊥BC,D为垂足,即AD的长度我们需根据题意,计算出AD 的长度,然后与10海里比较 [师]这位同学分析得很好,能将实际问题清晰条理地转化成数学问题下面我们就来看 AD如何求根据题意,有哪些已知条件呢? 生]已知BC°=20海里,∠BAD=55°,∠CAD=25 [师在示意图中,有两个直角三角形R△ABD和Rt△ACD你能在哪一个三角形中求出 AD呢? [生]在R△ACD中,只知道∠CAD=25°,不能求AD [生]在R△ABD中,知道∠BAD=55°,虽然知道BC=20海里,但它不是R△ABD 的边,也不能求出AD 师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑? [生]我发现这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边而且BC是这两个直角三角 形BD与CD的差,即BC=BD-CDBD、CD的对角是已知的,BD、CD和边AD都有联系 [师]有何联系呢? [生]在Rt△ABD中,tan5 AD·BD= ATan5:在Rt△ACD中,tn2s=CD BD AD CD= ATan25° [生]利用BC=BDCD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADan55°- ATan25° [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙其实,在解决数学问题时,很多地方 都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之 下面我们一起完整地将这个题做完 [师生共析解:过A作BC的垂线,交BC于点D.得到R△ABD和Rt△ACD,从而BD=AD an55°,CD=ADan25°,由BDCD=BC,又BC=20海里得 ATan55°- ATan25°=20 AD(tan55°tan25°)=20 20 ≈20.79(海里 tan55°-tan25° 这样AD≈2079海里>10海里,所以货轮没有触礁的危险 师]接下来,我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来 看他是怎样测的,并根据他得到的数据帮他求出塔的高度 多媒体演示 想一想你会更聪明:
[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? [生]根据题意，小岛四周 10 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到 A 的 最短距离大于 10 海里，则无触礁的危险，如果小于 10 海里则有触礁的危险.A 到 BC 所在直 线的最短距离为过 A 作 AD⊥BC，D 为垂足，即 AD 的长度.我们需根据题意，计算出 AD 的长度，然后与 10 海里比较. [师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看 AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢? [生]已知 BC°＝20 海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°. [师]在示意图中，有两个直角三角形 Rt△ABD 和 Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出 AD 呢? [生]在 Rt△ACD 中，只知道∠CAD=25°，不能求 AD. [生]在 Rt△ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道 BC＝20 海里，但它不是 Rt△ABD 的边，也不能求出 AD. [师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑? [生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且 BC 是这两个直角三角 形 BD 与 CD 的差，即 BC＝BD-CD.BD、CD 的对角是已知的，BD、CD 和边 AD 都有联系. [师]有何联系呢? [生]在 Rt△ABD 中，tan55°＝ AD BD ，BD=ADtan55°；在 Rt△ACD 中，tan25°＝ AD CD ， CD＝ADtan25°. [生]利用 BC＝BD-CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程，即 ADtan55°-ADtan25° ＝20. [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方 都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完. [师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD tan55°，CD＝ADtan25°，由 BD-CD＝BC，又 BC＝20 海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD= tan 55 − tan 25 20 ≈20.79(海里). 这样 AD≈20.79 海里>10 海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来 看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示 想一想你会更聪明：
如图,小明想测量塔 CD的高度他在A处 仰望塔顶,测得仰角 为30°,再往塔的方 向前进50m至B处测得仰角为60°那么该塔有多高(小明的身高忽略不计,结果精确到1 [师我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中,30°的仰角、60°的仰角分别指 哪两个角? [生]当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠ DAC,60°的仰角指∠DBC [师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路,然后回答 (教师留给学生充分的思考时间,感觉有困难的学生可给以指导) [生]首先,我们可以注意到CD是两个直角三角形R△ADC和Rt△BDC的公共边,在 R△ADC中,tan30°、CD AC 即AC=在Rt△BDC中,tan60° CD BO COn60,又:AB=ACBC=50m,得 即BC tan30°tan60° 解得CD≈43(m) 即塔CD的高度约为43m. 生]我有一个问题,小明在测角时,小明本身有一个高度,因此在测量CD的高度时应 考虑小明的身高 [师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑,很值得赞赏在实际测量时的确应该考虑小 明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离 如果设小明测量时,眼睛离地面的距离为16m,其他数据不变,此时塔的高度为多少? 你能画出示意图吗? 生]示意图如 右图所示,由前面的 解答过程可知CC′≈ 130---59 43m,则CD=43 16=446m即考虑小明的高度,塔的高度为4.6m. 师同学们的表现太棒了现在我手里有一个楼梯改造工程问题,想请同学们帮忙解决 下 多媒体演示 某商场准备改善原来 楼梯的安全性能,把 倾角由40°减至35 已知原楼梯长为4m, 调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0lm) 请同学们根据题意,画出示意图,汶个定际问题转化成数学问题,(先独立完成,然 A 后相互交流,讨论各自的想法) 10 B
如图，小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处 仰望塔顶，测得仰角 为 30°，再往塔的方 向前进 50m 至 B 处.测得仰角为 60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m) [师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指 哪两个角? [生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠ DAC，60°的仰角指∠DBC. [师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导) [生]首先，我们可以注意到 CD 是两个直角三角形 Rt△ADC 和 Rt△BDC 的公共边，在 Rt△ADC 中，tan30°= AC CD ， 即 AC＝ tan 30 CD 在 Rt△BDC 中，tan60°= BC CD , 即 BC＝ tan 60 CD ，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 tan 30 CD - tan 60 CD =50. 解得 CD≈43(m)， 即塔 CD 的高度约为 43 m. [生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量 CD 的高度时应 考虑小明的身高. [师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小 明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少? 你能画出示意图吗? [生]示意图如 右图所示，由前面的 解答过程可知 CC′≈ 43 m，则 CD＝43+ 1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为 44.6 m. [师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一 下. 多媒体演示： 某商场准备改善原来 楼梯的安全性能，把 倾角由 40°减至 35°， 已知原楼梯长为 4 m， 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.0l m) 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然 后相互交流，讨论各自的想法)
[生]在这个问题 中,要注意调整前后 的梯楼的高度是一个 不变量根据题意可 画()示意图(如右 图)其中AB表示楼梯的高度AC是原楼梯的长,BC是原楼梯的占地长度;AD是调整后的 楼梯的长度,DB是调整后的楼梯的占地长度、∠ACB是原楼梯的倾角,∠ADB是调整后的 楼梯的倾角.转化为数学问题即为: 如图,AB⊥DB,∠ACB=40°,∠ADB=35°,AC=4m求ADAC及DC的长度 [师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题大家从示意图中不难看出这 个问题是前面问题的变式我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它,开始吧! AB [生]解:由条件可知,在Rt△ABC中,sin40 fC,即AB=4sin40°m,原楼梯占地 长BC=4cos40°m 调整后在R△ADB中,sin35°=n,则AD=、AB4sm40m楼梯占地长 sn35°sn35° tan 35o 调整后楼梯加长AD-AC= 4sn40° W大n35440=的Nm3504≈=048m),楼梯比原来多占DC 4sn40° 堂练习 如图,一灯柱AB被 一钢缆CD固定,CD与地面 成40°夹角,且DB=5m, 现再在C点上方2m处加固 另一条钢缆ED,那么钢缆 ED的长度为多少? 解:在Rt△CBD中,∠CDB=40°,DB=5m,sin40 BC= DBsin40°=5sin40° DB 在Rt△EDB中,DB=5m, BE=BC+EC=2+5n40°(m) 根据勾股定理,得DE=√DB2+BE2=√52+(2+540°)2≈796m) 所以钢缆ED的长度为796m 2如图,水库大坝的 截面是梯形ABCD,坝顶AD =6m,坡长CD=8m坡底 BC=30m,∠ADC=135 (1)求∠ABC的大小: (2)如果坝长100m那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01m3) 解:过A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,E、F为垂足
[生]在这个问题 中，要注意调整前后 的梯楼的高度是一个 不变量.根据题意可 画㈩示意图(如右 图).其中 AB 表示楼梯的高度.AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的 楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的 楼梯的倾角.转化为数学问题即为： 如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求 AD-AC 及 DC 的长度. [师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这 个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧! [生]解：由条件可知，在 Rt△ABC 中,sin40°＝ AC AB ，即 AB＝4sin40°m，原楼梯占地 长 BC＝4cos40°m. 调整后,在 Rt△ADB 中，sin35°＝ AD AB ，则 AD＝ = sin 35 4sin 40 sin 35 AB m.楼梯占地长 DB= tan 35 4sin 40 m. ∴ 调 整 后楼 梯 加 长 AD-AC ＝ sin 35 4sin 40 -4 ≈ 0.48(m) ， 楼 梯 比 原来 多 占 DC ＝ DB-BC= tan 35 4sin 40 -4cos40°≈0.61(m). Ⅲ.随堂练习 1.如图，一灯柱 AB 被 一钢缆 CD 固定，CD 与地面 成 40°夹角，且 DB＝5 m， 现再在 C 点上方 2m 处加固 另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少? 解：在 Rt△CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= DB BC ，BC=DBsin40°=5sin40° (m). 在 Rt△EDB 中，DB=5 m， BE=BC+EC＝2+5sin40°(m). 根据勾股定理，得 DE= 2 2 2 2 DB + BE = 5 + (2 + 5sin 40) ≈7.96(m). 所以钢缆 ED 的长度为 7.96 m. 2.如图，水库大坝的 截面是梯形 ABCD，坝顶 AD ＝6 m，坡长 CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小： (2)如果坝长 100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到 0.01 m3 ) 解：过 A、D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，E、F 为垂足
(1)在梯形ABCD中.∠ADC=135°, ∴∠FDC=45°,EF=AD=6m在Rt△FDC中,DC=8mDF=FC= CD. sin45°=4√2 (m) ∴BE= BC-CF-EF=30-4√2-6=244√2(m) 在Rt△AEB中,AE=DF=√2(m) tanABC= AE 42 ≈0.308 BE24-426-√2 ∠ABC≈17°8′21 (2)梯形ABCD的面积S=二(AD+BC)×AE (6+30×4√2=72√2(m2) 坝长为100m,那么建筑这个大坝共需土石料100×72√2≈1018234m) 综上所述,∠ABC=17°8′21″,建筑大坝共需10182.34m3土石料 Ⅳ课时小结
(1)在梯形 ABCD 中.∠ADC＝135°， ∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在 Rt△FDC 中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=4 2 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-4 2 -6=24-4 2 (m). 在 Rt△AEB 中，AE＝DF=4 2 (m). tanABC＝ 6 2 2 24 4 2 4 2 − = − = BE AE ≈0.308. ∴∠ABC≈17°8′21″. (2)梯形 ABCD 的面积 S＝ 2 1 (AD+BC)×AE = 2 1 (6+30)×4 2 =72 2 (m2 ). 坝长为 100 m，那么建筑这个大坝共需土石料 100×72 2 ≈10182.34(m3 ). 综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需 10182.34 m3 土石料. Ⅳ.课时小结