北师版_九年级下册_数学教案_2.4 第1课时图形面积的最大值1.doc_大学文库

2.4 二次函数的应用第 1 课时图形面积的最大值 1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点) 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点) 一、情境导入如图所示，要用长 20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为 xm，花圃的面积为 ym2，那么 y＝x(20－2x)．试问： x 为何值时，才能使 y 的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为( ) A．3 B．－1 C．4 D．4 或－1 解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，∴a＞0，y 最小值＝ 4ac－b 2 4a ＝ 4a（a－1）－4 2 4a ＝2，整理，得 a 2－3a－4＝ 0，解得 a＝－1 或 4.∵a＞0，∴a＝4.故选 C. 方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据 AB 为 xm，则 BC 为(24 －4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知 y 和 x 为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的 AB 的长；(3)根据 BC 的长度大于 0 且小于等于 8 列出不等式

组求解即可．解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S ＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x 2＋24x(0＜x＜ 6)； (2)S＝－4x 2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵ 0＜x＜6，∴当 x＝3 时，S 有最大值为 36； (3)∵    24－4x≤8， 24－4x＞0， ∴4≤x＜6. 所以，当 x＝4 时，花圃的面积最大，最大面积为 32 平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 8 题【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形 ABCD 的各边 AB，BC， CD，DA 上分别选取点 E，F，G，H，使得 AE＝AH＝CF＝CG，如果 AB＝60，BC＝40，四边形 EFGH 的最大面积是( ) A．1350 B．1300 C．1250 D．1200 解析：设 AE＝AH＝CF＝CG＝x，四边形EFGH的面积是S.由题意得BE＝DG＝60 －x，BF＝DH＝40－x，则 S△AHE＝S△CGF＝ 1 2 x 2，S△DGH＝S△BEF＝ 1 2 (60－x)(40－x)，所以四边形EFGH的面积为S＝60×40－x 2－(60 －x)(40－x)＝－2x 2＋100x＝－2(x－25)2＋ 1250(0＜x≤40)．当 x＝25 时，S 最大值＝1250. 故选 C. 方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形 EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第 7 题【类型三】动点问题中的最值问题如图，在矩形 ABCD 中，AB＝m(m 是大于 0 的常数)，BC＝8，E 为线段 BC 上的动点(不与 B、C 重合)．连接 DE，作 EF⊥DE，垂足为 E，EF 与线段 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ (3)若 y＝ 12 m ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明 △BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把 m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF＝90°，只有当 DE＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°－ ∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90°，∴△

BEF∽△CDE，∴ BF CE＝ BE CD，即 y x ＝ 8－x m ，解得 y＝ 8x－x 2 m ； (2)由(1)得 y＝ 8x－x 2 m ，将 m＝8 代入，得 y＝－ 1 8 x 2＋x＝－ 1 8 (x 2－8x)＝－ 1 8 (x－4)2＋ 2，所以当 x＝4 时，y 取得最大值为 2； (3)∵∠DEF＝90°，∴只有当 DE＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF≌△ CDE，∴BE＝CD＝m，此时 m＝8－x.解方程 12 m ＝ 8x－x 2 m ，得 x＝6，或 x＝2.当 x＝2 时， m＝6；当 x＝6 时，m＝2. 方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 5 题【类型四】图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR ＝8cm，点 B、C、Q、R 在同一条直线 l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰△PQR 以 1cm/ 秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为 Scm2 .解答下列问题： (1)当 t＝3 秒时，求 S 的值； (2)当 t＝5 秒时，求 S 的值； (3)当 5 秒≤t≤8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值．解析：当 t＝3 秒和 5 秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当 5 秒≤t≤8 秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作 PE⊥QR，E 为垂足．∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝ 1 2 QR＝4cm. 在 Rt△PEQ 中，PE＝ 5 2－4 2＝3(cm)．当 t ＝3 秒时，QC＝3cm.设 PQ 与 DC 交于点 G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP.∴ S S△QEP ＝ ( 3 4 ) 2 .∵S△QEP＝ 1 2 ×4×3＝6，∴S＝( 3 4 ) 2×6＝ 27 8 (cm2 )； (2)如图②，当 t＝5 秒时，CR＝3cm.设 PR 与 DC 交于 G，由△RCG∽△REP，可求出 CG＝ 9 4 ，∴S△RCG＝ 1 2 ×3× 9 4 ＝ 27 8 (cm2 )．又 ∵S△PQR＝ 1 2 ×8×3＝12(cm2 )，∴S＝S△PQR－ S△RCG＝12－ 27 8 ＝ 69 8 (cm2 )；图③ (3)如图③，当 5 秒≤t≤8 秒时，QB＝t －5，RC＝8－t.设 PQ 交 AB 于点 H，PR 交 CD 于点 G.由△QBH∽△QEP，EQ＝4，∴ BQ∶EQ＝(t－5)∶4，∴S△BQH∶S△PEQ＝(t －5)2∶4 2，又 S△PEQ＝6，∴S△QBH＝ 3 8 (t－5)2 . 由△RCG∽△REP，同理得 S△RCG＝ 3 8 (8－t) 2， ∴S＝12－ 3 8 (t－5)2－ 3 8 (8－t) 2＝－ 3 4 t 2＋ 39 4 t－

于汽车高度即可求解时,S最大,S 解:(1)根据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).设抛的最大值 4ac-b2165 物线的解析式为y=ax2+c,将B,C的坐标方法总结:本题是个图形运动问题,代入y=a+C,得= 解得 0=100a+c, 解题的方法是将各个时刻的图形分别画出,Ja 3 所以抛物线的解析式为y=-3 由“静”变“动”,再设法求解,这种分类x2+6 画图的方法在解动态的几何问题时非常有 (2)可设F点的坐标为(5,y),于是y 效 ,S6×52+6=45,从而支柱EF的长度 -4.5=5.5(米探究点三:利用二次函数解决拱桥问题 (3)如图②,设DN是隔离带的宽,NG 囹6一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图是三辆车的宽度和,则G点坐标是(7,0).过 ①),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的G点作GH⊥AB交抛物线于H点,则y= 距离均为5m 3 (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中50 ×72+6=3.06>3.根据抛物线的特点 (如图②),求抛物线的解析式可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽 (2)求支柱EF的长度车 (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道方法总结:利用二次函数解决抛物线形能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由. 的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式可解决一些测量问题或解析:(1)根据题目可知A,B,C的坐其他问题标,设出抛物线的解析式代入可求解;(2) 变式训练:见《学练优》本课时练习“课设F点的坐标为5,y),求出y,即可求出后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值支柱EF的长度;(3)设DN是隔离带的宽, 求函数的最值的方法 2.利用二次函数求图形面积的最大值 NG是三辆车的宽度和.作GH⊥AB交抛物 3.利用二次函数解决拱桥问题线于点H,求出点H的纵坐标,判断是否大数学反思

171 8 .当 t＝－ 39 4 2×（－3 4 ）＝ 13 2 时，S 最大，S 的最大值＝4ac－b 2 4a ＝ 165 16 (cm2 )．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图 ①)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中 (如图②)，求抛物线的解析式； (2)求支柱 EF 的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽 2m、高 3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知 A，B，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2) 设 F 点的坐标为(5，yF)，求出 yF，即可求出支柱 EF 的长度；(3)设 DN 是隔离带的宽， NG 是三辆车的宽度和．作 GH⊥AB 交抛物线于点 H，求出点 H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A，B，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为 y＝ax2＋c，将 B，C 的坐标代入 y＝ax2 ＋ c，得    6＝c， 0＝100a＋c，解得     a＝－ 3 50， c＝6. 所以抛物线的解析式为 y＝－ 3 50 x 2＋6； (2)可设 F 点的坐标为(5，yF)，于是 yF ＝－ 3 50 ×5 2＋6＝4.5，从而支柱 EF 的长度是 10－4.5＝5.5(米)； (3)如图②，设 DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则 G 点坐标是(7，0)．过 G 点作 GH⊥AB 交抛物线于 H 点，则 yH＝－ 3 50 ×7 2＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题三、板书设计图形面积的最大值 1．求函数的最值的方法 2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题

北师版_九年级下册_数学教案_2.4 第1课时 图形面积的最大值1

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