34圆周角和圆心角的关系 第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形 学习目标 方法总结:在圆中,如果有直径,一般 1.掌握圆周角和直径的关系,会熟练要找直径所对的圆周角构造直角三角形解 运用解决问题;(重点) 2.培养学生观察、分析及理解问题的题 能力,经历猜想、推理、验证等环节,获得 正确的学习方式.(难点) 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第3题 【类型二】作辅助线构造直角三角形 教学过程 解决问题 2如图,点A、B、D、E在⊙O上 、情境导入 弦AE、BD的延长线相交于点C若AB是⊙O 你喜欢看足球比赛吗?你踢过足球的直径,D是BC的中点 吗? (1)试判断AB、AC之间的大小关系,并 给出证明 (2)在上述题设条件下,当△ABC为正 三角形时,点E是否为AC的中点?为什 图① 如图②所示,甲队员在圆心O处,乙队 员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上 C处,依然把球传给了甲,你知道为什么 吗?你能用数学知识解释一下吗? 二、合作探究 探究点一:圆周角和直径的关系 解析:(1)连接AD,先根据圆周角定理 【类型一】利用直径所对的圆周角是 直角求角的度数 求出∠ADB=90°,再根据线段垂直平分线 例1如图,BD是⊙O的直径,∠CBD =30°,则∠A的度数为() 性质判断;(2)连接BE,根据圆周角定理求 B.45° 出∠AEB=90°,根据等腰三角形性质求解 解:(1)B=AC证明如下:连接AD, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC∴BD=DC,∴AD垂直平分BC, C.60°D.75° ∴AB=AC; (2)当△ABC为正三角形时,E是AC的 解析:∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD= 中点.理由如下:连接BE,∵AB为⊙O的 直径,∴∠BEA=90°,即BE⊥AC∴△ABC 909:∠CBD=30°,∠D=60°,A=∠D为正三角形,∴AE=EC,即E是AC的中 点 =60°故选C
3.4 圆周角和圆心角的关系 第 2 课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练 运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的 能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得 正确的学习方式．(难点) 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球 吗？ 如图②所示，甲队员在圆心 O 处，乙队 员在圆上 C 处，丙队员带球突破防守到圆上 C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么 吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角和直径的关系 【类型一】 利用直径所对的圆周角是 直角求角的度数 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝ 90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D ＝60°.故选 C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般 要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解 题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 作辅助线构造直角三角形 解决问题 如图，点 A、B、D、E 在⊙O 上， 弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB 是⊙O 的直径，D 是 BC 的中点． (1)试判断 AB、AC 之间的大小关系，并 给出证明； (2)在上述题设条件下，当△ABC 为正 三角形时，点 E 是否为 AC 的中点？为什 么？ 解析：(1)连接 AD，先根据圆周角定理 求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线 性质判断；(2)连接 BE，根据圆周角定理求 出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解． 解：(1)AB＝AC.证明如下：连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即 AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD 垂直平分 BC， ∴AB＝AC； (2)当△ABC 为正三角形时，E 是 AC 的 中点．理由如下：连接 BE，∵AB 为⊙O 的 直径，∴∠BEA＝90°，即 BE⊥AC.∵△ABC 为正三角形，∴AE＝EC，即 E 是 AC 的中 点．
方法总结:在解决圆的问题时,如果有 解析:∵∠BOD=120°,∴∠A=60°, 直径往往考虑作辅助线,构造直径所对的圆∠C=180°-60°=120°,故选A 周角 方法总结:解决问题关键是掌握圆内接 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第6题 四边形的对角互补和圆周角的性质 探究点二:圆内接四边形 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 【类型一】圆内接四边形性质的运用堂达标训练”第8题 例3如图,四边形ABCD内接于⊙O 【类型三】圆内接四边形与垂径定理 点E是CB的延长线上一点,∠EBA=125°,的综合 5如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB A.65°B.120°C.125°D.130°于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G求证: ∠FGD=∠ADC. 解析:∵∠EBA=125°,∴,∠ABC=180 解析:利用圆内接四边形的性质求得 125°=55°四边形ABCD内接于⊙O, ∠FGD=∠ACD,然后根据垂径定理推知 ∠D+∠ABC=180 ∠D=180°-55° AB是CD的垂直平分线则∠ADC=∠ACD 125°故选C 故∠FGD=∠ADC 方法总结:解决问题关键是掌握圆内接 证明:∵四边形ACDG内接于⊙O 四边形的对角互补这一性质 ∠FGD=∠ACD又∵AB为⊙O的直径,CF ⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,AC=AD, 变式训练:见《学练优》本课时练习“课∴.∠ADC=∠ACD,∴∠FGD=∠ADC 堂达标训练”第7题 【类型二】圆内接四边形与圆周角的 方法总结:圆内接四边形的性质是沟通 综合 的如图,在⊙O的内接四边形ABCD角相等关系的重要依据 中,∠BOD=120°,那么∠BCD是() 【类型四】圆内接四边形、圆周角、 A.120°B.100 相似三角形和三角函数的综合 例6如图,四边形ABCD内接于⊙O, AB为⊙O的直径,点C为BD的中点,AC、 BD交于点E. (1)求证:△CBE∽△CAB; (2)若S 4,求sin∠ABD
方法总结：在解决圆的问题时，如果有 直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆 周角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 探究点二：圆内接四边形 【类型一】 圆内接四边形性质的运用 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O， 点 E 是 CB 的延长线上一点，∠EBA＝125°， 则∠D＝( ) A．65° B．120° C．125° D．130° 解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180° －125°＝55°.∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴ ∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝ 125°.故选 C. 方法总结：解决问题关键是掌握圆内接 四边形的对角互补这一性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型二】 圆内接四边形与圆周角的 综合 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是( ) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴ ∠C＝180°－60°＝120°，故选 A. 方法总结：解决问题关键是掌握圆内接 四边形的对角互补和圆周角的性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 圆内接四边形与垂径定理 的综合 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G.求证： ∠FGD＝∠ADC. 解析：利用圆内接四边形的性质求得 ∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知 AB 是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD. 故∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形 ACDG 内接于⊙O，∴ ∠FGD＝∠ACD.又∵AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于 E，∴AB 垂直平分 CD，∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通 角相等关系的重要依据． 【类型四】 圆内接四边形、圆周角、 相似三角形和三角函数的综合 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O， AB 为⊙O 的直径，点 C 为BD ︵ 的中点，AC、 BD 交于点 E. (1)求证：△CBE∽△CAB； (2)若 S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求 sin∠ABD
的值 圆周角和直径的关系 2.圆内接四边形的概念和性质 教学反思 B 本节课采用问题情境一一自主探究一—拓 展应用的课堂教学模式,以问题为主,配合 多媒体辅助教学,引导学生进行有效思 解析:(1)利用圆周角定理得出∠DBC 考.在教学过程中,通过问题串启发引导, =∠BAC,根据两角对应相等得出两三角形 学生自主探究,创设情境等多种教学方式, 激发学生学习兴趣,调动课堂气氛,收到了 相似,直接证明即可;(2利用相似三角形的很好的教学效果 性质面积比等于相似比的平方,得出 AC:BC=BC:EC=2:1,再利用三角形中 位线的性质以及三角函数知识得出答案 (1)证明:∵点C为BD的中点,∴∠DBC ∠BAC在△CBE与△CAB中,∠DBC ∠BAC,∠BCE ∠ACB CBE∽△CAB (2)解:连接OC交BD于F点,则OC 垂直平分BD.S△CBE:S△CAB=1:4,△CBE ∽△CAB,∴AC:BC=BC:EC=2:1,∴ AC=4EC,AE:EC=3:1.∵AB为⊙O的 直径,∴∠ADB=90°,∴AD∥OC,则 AD:FC=AE:EC=3:1.设FC=a,则AD 3a∵F为BD的中点,O为AB的中点, ∴OF是△ABD的中位线,则OF=AD 1.5a,∴OC=OF+FC=1.5a+a=25a,则 AB=2OC=5a在Rt△ABD中,sin∠ABD= ab 5a 5 方法总结:圆内接四边形、圆周角等知 识都是和角有关的定理,在圆中解决这方面 的问题时考虑相等的角 三、板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
的值． 解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形 相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的 性 质 面积 比 等于 相似 比 的平 方， 得 出 AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中 位线的性质以及三角函数知识得出答案． (1)证明：∵点 C 为BD ︵ 的中点，∴∠DBC ＝∠BAC.在△CBE 与△CAB 中，∠DBC＝ ∠BAC ， ∠ BCE ＝ ∠ACB ， ∴ △ CBE∽△CAB； (2)解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分 BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE ∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴ AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB 为⊙O 的 直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则 AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设 FC＝a，则 AD ＝3a.∵F 为 BD 的中点，O 为 AB 的中点， ∴OF 是△ABD 的中位线，则 OF＝ 1 2 AD＝ 1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则 AB＝2OC＝5a.在 Rt△ABD 中，sin∠ABD＝ AD AB＝ 3a 5a ＝ 3 5 . 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知 识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面 的问题时考虑相等的角． 三、板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．圆周角和直径的关系 2．圆内接四边形的概念和性质 本节课采用问题情境——自主探究——拓 展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合 多媒体辅助教学，引导学生进行有效思 考．在教学过程中，通过问题串启发引导， 学生自主探究，创设情境等多种教学方式， 激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了 很好的教学效果