22二次函数的图象与性质 第5课时二次函数p=ax2+bx+c的图象与性质 鲁习目标 2∴4(2,y冲中x=2,y最小.又:B(-3 1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配 方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由 2),C(-1,y)都在对称轴的左侧,而在对 此得到二次函数图象的顶点坐标;(重点) 2掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)称轴的左侧,y随x的增大而减小,故y> 的性质,运用函数图象的性质解决问题.(难 ,:y>y>y故选C 方法总结:当二次项系数a>0时,在 对称轴的左边,y随x的增大而减小,在对 、情境导入 称轴的右边,y随x的增大而增大;当a0:③ 二、合作探究 b>0:④abc>0其中正确的结论是 探究点:二次函数y=ax2+bx+c的图 填序号) 象与性质 【类型一】二次函数1=ax2+bx+c的 解析:由抛物线的开口方向向下可推出 图象的性质 1若点A(2,y),B(-3,y2),C( a0,对称轴在y轴的右侧,a,b异号,b y1>322y3 B. 22>y1>y3 C. 2>>y3>yI >0,∴abc0:由图象可知当x=1时, =1>0,:开口向上,对称轴为x=-b=y>0,:a+b+c>0:①28都正确故答
2.2 二次函数的图象与性质 第 5 课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 1．掌握把 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配 方写成 y＝a(x－h) 2＋k(a≠0)的形式，并能由 此得到二次函数图象的顶点坐标；(重点) 2.掌握二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的性质，运用函数图象的性质解决问题．(难 点) 一、情境导入 在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似 地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两 名学生拿绳的手间距为 4 米，距地面均为 1 米，学生丙的身高是 1.5 米，距甲拿绳的手 水平距离为 1 米，绳子甩到最高处时，刚好 通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁 从距甲拿绳的手 2.5 米处进入游戏，恰好通 过．你能根据以上信息确定学生丁的身高 吗？ 二、合作探究 探究点：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图 象与性质 【类型一】 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象的性质 若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－ 1，y3)三点在抛物线y＝x 2－4x－m的图象上， 则 y1、y2、y3 的大小关系是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数 y＝x 2－4x－m 中 a ＝1＞0，∴开口向上，对称轴为 x＝－ b 2a ＝ 2.∵A(2，y1)中 x＝2，∴y1 最小．又∵B(－3， y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对 称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，故 y2＞ y3，∴y2＞y3＞y1.故选 C. 方法总结：当二次项系数 a＞0 时，在 对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小，在对 称轴的右边，y 随 x 的增大而增大；当 a＜0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而增大， 在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 3 题 【类型二】 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象的位置与各项系数符号的关系 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下 列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－ b 2a ＞ 0 ； ④abc ＞ 0. 其中正确的结论是 ________(填序号)． 解析：由抛物线的开口方向向下可推出 a＜0，抛物线与 y 轴的正半轴相交，可得出 c＞0，对称轴在 y 轴的右侧，a，b 异号，b ＞0，∴abc＜0；因为对称轴在 y 轴右侧，∴ 对称轴为－ b 2a ＞0；由图象可知：当 x＝1 时， y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答
案为①②③ 【类型四】二次函数1=a2+bx+c与 几何图形的综合 方法总结:二次函数y=ax2+bx+ 例4己知:如图,二次函数y=ax2+ bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中 c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定 点A的坐标为一1,0),点C的坐标为(0 5),另抛物线经过点(1,8,M为它的顶点 b的符号由对称轴的位置及a的符号决定 的符号由抛物线与y轴交点的位置决定 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第7题 (1)求抛物线的解析式 【类型三】二次函数;=a2+bx+c与 (2)求△MCB的面积S△MCB 次函数图象的综合 例3]在同一直角坐标系中,函数y= 解析:(1)将已知的三点坐标代入抛物线 mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数,且中,即可求得抛物线的解析式;(2根据抛物 m≠0)的图象可能是() 线的解析式先求出点M和点B的坐标,可 D将SMcg化为其他图形面积的和差来解 解析:若函数y=mx+m中的m0时,函数y (2)令y=0,得(x-5)(x+1)=0,解得x1 5,x2=-1,∴点B的坐标为(5,0).由 mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x= y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,得点M的 <0,则对称轴应在y轴左 坐标为(2,9).作ME⊥y轴于点E,可得S 侧,故C选项错误.故选D 方法总结:熟记一次函数y=ax+b在 方法总结:本题考查了二次函数解析式 不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次 的确定以及图形面积的求法.不规则图形的 函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点 面积通常转化为规则图形的面积的和差 坐标等
案为①②③. 方法总结：二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)，a 的符号由抛物线开口方向决定； b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型三】 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 一次函数图象的综合 在同一直角坐标系中，函数 y＝ mx＋m 和函数 y＝mx2＋2x＋2(m 是常数，且 m≠0)的图象可能是( ) 解析：若函数 y＝mx＋m 中的 m＜0 时， 函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下，对称轴 为 x＝－ b 2a ＝－ 2 2m ＝－ 1 m ＞0，则对称轴应在 y 轴右侧，故 A、B 选项错误，D 选项正确； 若函数 y＝mx＋m 中的 m＞0 时，函数 y＝ mx2＋2x＋2 开口方向朝上，对称轴为 x＝－ b 2a ＝－ 2 2m ＝－ 1 m ＜0，则对称轴应在 y 轴左 侧，故 C 选项错误．故选 D. 方法总结：熟记一次函数 y＝ax＋b 在 不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次 函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点 坐标等． 【类型四】 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 几何图形的综合 已知：如图，二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 点 A 的坐标为(－1，0)，点 C 的坐标为(0， 5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积 S△MCB. 解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线 中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物 线的解析式先求出点 M 和点 B 的坐标，可 将 S△MCB 化为其他图形面积的和差来解． 解：(1)依题意可知 a－b＋c＝0， a＋b＋c＝8， c＝5， 解得 a＝－1， b＝4， c＝5， ∴抛物线的解析式为 y＝－x 2＋ 4x＋5； (2)令 y＝0，得(x－5)(x＋1)＝0，解得 x1 ＝5，x2＝－1，∴点 B 的坐标为(5，0)．由 y＝－x 2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，得点 M 的 坐标为(2，9)．作 ME⊥y 轴于点 E，可得 S △MCB＝S 梯 形 MEOB－S△MCE－S △OBC＝ 1 2 (2＋ 5)×9－ 1 2 ×4×2－ 1 2 ×5×5＝15. 方法总结：本题考查了二次函数解析式 的确定以及图形面积的求法．不规则图形的 面积通常转化为规则图形的面积的和差．
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第8题 0.1x2+0.6x+0.9=1.575,解得x1 【类型五】二次 实际应 通用 则t的取值范围为一< 方法总结:解答本题的关键是注意审 O F 题,将实际问题转化为求函数问题,培养自 例5跳绳时,绳甩到最高处时的形状 是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳 己利用数学知识解答实际问题的能力 的手间距AB为6米,到地面的距离AO和 三、板书设计 BD均为09米,身高为14米的小丽站在距 次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性 到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O质 为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设 2.二次函数y=ax2+bx+c的应用 此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9 (1)求该抛物线的解析式 数学反思 (2)如果身高为1575厘米的小明站在总结二次函数性质,充分地相信学生,鼓励 OD之间且离点O的距离为t米,绳子甩到学生大胆地用自己的语言进行归纳,在教学 最高处时超过他的头顶,请结合函数图象,过程中,注重为学生提供展示自己的机会, 求出t的取值范围 这样也利于教师发现学生分析问题、解决问 题的独到见解,以及思维的误区,以便指导 解析:(1)已知抛物线解析式y=ax2+bx今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情 和提高学生学习能力放在教学首位,通过运 +09,选定抛物线上两点E(1,14),B(6,用各种启发、激励的语言,以及组织小组合 09把坐标代入解析式即可得出ab的值,作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度 继而得出抛物线解析式;(2)求出y=1.575 时,对应的x的两个值,从而可确定t的取 值范围 解:(1)由题意得点E的坐标为(1,14), 点B的坐标为(6,0.9),代入y=ax2+bx+ 得 ja+b+0.9=1 解得 36a+6b+0.9=0.9, lb=06 故所求的抛物线的解析式为 -0.1x2+0.6x+0.9 (2)1575cm=1.575m,当y=1.575时
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型五】 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 实际应用 跳绳时，绳甩到最高处时的形状 是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳 的手间距 AB 为 6 米，到地面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距 点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩 到最高处时刚好通过她的头顶点 E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设 此抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋0.9. (1)求该抛物线的解析式； (2)如果身高为 157.5 厘米的小明站在 OD 之间且离点 O 的距离为 t 米，绳子甩到 最高处时超过他的头顶，请结合函数图象， 求出 t 的取值范围． 解析：(1)已知抛物线解析式 y＝ax2＋bx ＋0.9，选定抛物线上两点 E(1，1.4)，B(6， 0.9)，把坐标代入解析式即可得出 a、b 的值， 继而得出抛物线解析式；(2)求出 y＝1.575 时，对应的 x 的两个值，从而可确定 t 的取 值范围． 解：(1)由题意得点 E 的坐标为(1，1.4)， 点 B 的坐标为(6，0.9)，代入 y＝ax2＋bx＋ 0.9 ， 得 a＋b＋0.9＝1.4， 36a＋6b＋0.9＝0.9， 解 得 a＝－0.1， b＝0.6. 故所求的抛物线的解析式为y＝ －0.1x 2＋0.6x＋0.9； (2)157.5cm＝1.575m，当 y＝1.575 时， －0.1x 2＋0.6x＋0.9＝1.575，解得 x1＝ 3 2 ，x2 ＝ 9 2 ，则 t 的取值范围为3 2 ＜t＜ 9 2 . 方法总结：解答本题的关键是注意审 题，将实际问题转化为求函数问题，培养自 己利用数学知识解答实际问题的能力． 三、板书设计 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性 质 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的应用 总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励 学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学 过程中，注重为学生提供展示自己的机会， 这样也利于教师发现学生分析问题、解决问 题的独到见解，以及思维的误区，以便指导 今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情 和提高学生学习能力放在教学首位，通过运 用各种启发、激励的语言，以及组织小组合 作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度