13三角函数的计算 学习目标 (3)cos25°18′; (4)sin18 coS55°-tan59° 1.熟练掌握用科学计算器求三角函数 值:(重点) 解析:熟练使用计算器,对计算器给出 2.初步理解仰角和俯角的概念及应的结果,根据题目要求用四舍五入法取近似 用.(难点) 数学过程 解:根据题意用计算器求出: (1)sin47°≈0.7314 情境导入 (2)sin12°30′≈0.2164 如图①和图②,将一个Rt△ABC形状 (3)cos25°18′≈0.9041 的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入 (4)sin8°+cos55°-tan59°≈-0.7817 木桩底下,可以使木桩向上运动.如果楔子 斜面的倾斜角为10°,楔子沿水平方向前进 方法总结:解决此类问题关键是熟练使 5cm(如箭头所示).那么木桩上升多少厘用计算器,使用计算器时要注意按键顺序 米 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 丌后巩固提升”第3题 【类型二】旦知三角函数值,用计算 器求锐角的度数 4酬2己知下列锐角三角函数值,用计 N算器求锐角∠A,∠B的度数(结果精确到 图②0.1°): 观察图②易知,当楔子沿水平方向前进 (1)sinA=0.7,sinB=0.01 cm,即BN=5cm时,木桩上升的距离为 (2)cosA=0.15,cosB=0.8: (3)tanA=2.4,tanB=0.5 在Rt△PBN中,∵tan10 ∴解析:熟练应用计算器,对计算器给出 PN=BMan10°=5tanl0°(cm) 那么,tan10°等于多少呢? 的结果,根据题目要求用四舍五入取近似 对于不是30°,45°,60°这些特殊角 的三角函数值,可以利用科学计算器来求 值 二、合作探究 解:(1)由sin4=07,得∠A≈444 探究点一:利用科学计算器解决含三角由sinB=001,得∠B≈0.6°; 函数的计算问题 (2)由cos4=0.15,得∠A≈814°;由 【类型一】已知角度,用计算器求三cosB=0.8,得∠B≈369 角函数值 (3)由tanA=24,得∠A≈674°:由tanB 】用计算器求下列各式的值(精确到=0.5,得∠B≈266° 0.0001) (1)sin47 (2)sin12°30′ 方法总结:解决此类问题关键是熟练使
1.3 三角函数的计算 1．熟练掌握用科学计算器求三角函数 值；(重点) 2．初步理解仰角和俯角的概念及应 用．(难点) 一、情境导入 如图①和图②，将一个 Rt△ABC 形状 的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入 木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子 斜面的倾斜角为 10°，楔子沿水平方向前进 5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘 米？ 观察图②易知，当楔子沿水平方向前进 5cm，即 BN＝5 cm 时，木桩上升的距离为 PN. 在 Rt△ PBN 中，∵tan10°＝ PN BN，∴ PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)． 那么，tan10°等于多少呢？ 对于不是 30°，45°，60°这些特殊角 的三角函数值，可以利用科学计算器来求． 二、合作探究 探究点一：利用科学计算器解决含三角 函数的计算问题 【类型一】 已知角度，用计算器求三 角函数值 用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001)： (1)sin47°； (2)sin12°30′； (3)cos25 ° 18 ′ ； (4)sin18 ° ＋ cos55°－tan59°. 解析：熟练使用计算器，对计算器给出 的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似 值． 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 方法总结：解决此类问题关键是熟练使 用计算器，使用计算器时要注意按键顺序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 3 题 【类型二】 已知三角函数值，用计算 器求锐角的度数 已知下列锐角三角函数值，用计 算器求锐角∠A，∠B 的度数(结果精确到 0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解析：熟练应用计算器，对计算器给出 的结果，根据题目要求用四舍五入取近似 值． 解：(1)由 sinA＝0.7，得∠A≈44.4°； 由 sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由 cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由 cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB ＝0.5，得∠B≈26.6°. 方法总结：解决此类问题关键是熟练使
用计算器,在使用计算器时要注意按键顺来得到三角函数的关系,此种方法在后面的 序 学习中会经常用到 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 探究点二:利用三角函数解决实际问题 堂达标训练”第7题 【类型一】韭特殊角三角函数的实际 【类型三】利用计算器比较三角函数应用 囹3(1)通过计算(可用计算器),比较下 列各对数的大小,并提出你的猜想: ①sin30 ②sin36 2sinl8°cos18°; 4如图,从A地到B地的公路需经 2sin22.5°c0s2.5°;过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25° ∠CBA=45°因城市规划的需要,将在A、 ⑤sin80 2sin40°cos40° B两地之间修建一条笔直的公路 猜想:已知0°<a<45°,则sin (1)求改直后的公路AB的长; (2)问公路改直后该段路程比原来缩短 (2)如图,在△ABC中,AB=AC=1,了多少千米(精确到0.1)? ∠BAC=2a,请根据提示,利用面积方法验 证(1)中提出的猜想 解析:(1)过点C作CD⊥AB于D,根 据AC=10千米,∠CAB=25°,求出CD AD,根据∠CBA=45°,求出BD、BC,最 后根据AB=AD+BD列式计算即可;(2)根 解析:(1)利用计算器分别计算①至⑤各 据(1)可知AC、BC的长度,即可得出公路改 式中左边与右边的值,比较大小;(2)通过计 直后该段路程比原来缩短的路程 算△ABC的面积来验证 解:(1)过点C作CD⊥AB于点D,∵ 解:(1)①=②=③=④=⑤=AC=10千米,∠CAB=25°,∴CD=sin∠ 猜想 CAB·AC=sin25°×10≈0.42×10=42(千 (2)已知0°<a<45°,则sin2a=2sin米),AD=cos∠CAB·AC=cos25°×10≈ 0.91×10=9.1(千米).∵∠CBA=45°,∴ 证明: BC=AB·sin2a·AC,S△ LBC BD=CD=4.2(千米),BC=、CD in∠CBA 2 A bsin a· Accos a n2a=2 sin sin45≈5%千米),AB=AD+BD=91 a cos a +42=13.3(千米).所以,改直后的公路AB 方法总结:本题主要运用了面积法,通的长约为133千米 (2)∵AC=10千米,BC=59千米 过用不同的方法表示同一个三角形的面积 AC+BC-AB=10+59-13.3=26(千 米).所以,公路改直后该段路程比原来缩
用计算器，在使用计算器时要注意按键顺 序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型三】 利用计算器比较三角函数 值的大小 (1)通过计算(可用计算器)，比较下 列各对数的大小，并提出你的猜想： ①sin30°________2sin15°cos15°； ②sin36°________2sin18°cos18°； ③sin45°________2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°________2sin30°cos30°； ⑤sin80°________2sin40°cos40°. 猜想：已知 0°＜α＜45°，则 sin2α ________2sinαcosα； (2)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝1， ∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验 证(1)中提出的猜想． 解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各 式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计 算△ABC 的面积来验证． 解：(1)①＝ ②＝ ③＝ ④＝ ⑤＝ 猜想：＝ (2)已知 0°＜α＜45°，则 sin2α＝2sin αcosα. 证明：S△ABC＝ 1 2 AB·sin2α·AC，S△ABC ＝ 1 2 ×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sin αcosα. 方法总结：本题主要运用了面积法，通 过用不同的方法表示同一个三角形的面积， 来得到三角函数的关系，此种方法在后面的 学习中会经常用到． 探究点二：利用三角函数解决实际问题 【类型一】 非特殊角三角函数的实际 应用 如图，从 A 地到 B 地的公路需经 过 C 地，图中 AC＝10 千米，∠CAB＝25°， ∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在 A、 B 两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路 AB 的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短 了多少千米(精确到 0.1)? 解析：(1)过点 C 作 CD⊥AB 于 D，根 据 AC＝10 千米，∠CAB＝25°，求出 CD、 AD，根据∠CBA＝45°，求出 BD、BC，最 后根据 AB＝AD＋BD 列式计算即可；(2)根 据(1)可知 AC、BC 的长度，即可得出公路改 直后该段路程比原来缩短的路程． 解：(1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∵ AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠ CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千 米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈ 0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴ BD＝CD＝4.2( 千米) ，BC＝ CD sin∠CBA ＝ 4.2 sin45° ≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1 ＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路 AB 的长约为 13.3 千米； (2)∵AC＝10 千米，BC＝5.9 千米，∴ AC ＋ BC－ AB ＝ 10 ＋ 5.9－ 13.3＝ 2.6( 千 米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩
短了约26千米 作高或垂线构造直角三角形 方法总结:解决问题的关键是作出辅助 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第7题 线,构造直角三角形,利用三角函数关系求 、板书设计 出有关线段的长 三角函数的计算 1.已知角度,用计算器求三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 2.已知三角函数值,用计算器求锐角 堂达标训练”第9题 的度数 【类型二】仰角、俯角问题 3.仰角、俯角的意义 教兽反思 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题, 设计好教学的每一个细节,让学生更多地参 与到课堂的教学过程中,让学生体验思考的 B256°F 过程,体验成功的喜悦和失败的挫折,舍得 5如图,课外数学小组要测量小山把课堂让给学生,尽最大可能在课堂上投入 坡上塔的高度DE,DE所在直线与水平线更多的情感因素,丰富课堂语言,使课堂更 AN垂直.他们在A处测得塔尖D的仰角为加鲜活,充满人性魅力,下课后多反思,做 45°,再沿着射线AN方向前进50米到达B好反馈工作,不断总结得失,不断进步.只 处,此时测得塔尖D的仰角∠DBN=614 有这样,才能真正提高课堂教学效率,提高 小山坡坡顶E的仰角∠EBN=256°现在请成绩 你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约 多少米(结果精确到个位) 解析:根据锐角三角函数关系表示出 BF的长,进而求出EF的长,得出答案 解:延长DE交AB延长线于点F,则 ∠DFA=90°∵∠A=45°,∴AF=DF设 EF=x,∵tan25.6°、EF BF=0.5,∴BF=2x, 则DF=AF=50+2x,故tan614 DE 50+2x 1.8,解得x≈31.故DE=DF-EF =50+31×2-31=81(米) 所以,塔高DE大约是81米 方法总结:解决此类问题要了解角之间 的关系,找到与已知和未知相关联的直角 角形,当图形中没有直角三角形时,要通过
短了约 2.6 千米． 方法总结：解决问题的关键是作出辅助 线，构造直角三角形，利用三角函数关系求 出有关线段的长． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 9 题 【类型二】 仰角、俯角问题 如图，课外数学小组要测量小山 坡上塔的高度 DE，DE 所在直线与水平线 AN 垂直．他们在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45°，再沿着射线 AN 方向前进 50 米到达 B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°， 小山坡坡顶E 的仰角∠EBN＝25.6°.现在请 你帮助课外活动小组算一算塔高 DE 大约是 多少米(结果精确到个位)． 解析：根据锐角三角函数关系表示出 BF 的长，进而求出 EF 的长，得出答案． 解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F，则 ∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设 EF＝x，∵tan25.6°＝ EF BF≈0.5，∴BF＝2x， 则 DF＝AF＝50＋2x，故 tan61.4°＝ DF BF＝ 50＋2x 2x ＝1.8，解得 x≈31.故 DE＝DF－EF ＝50＋31×2－31＝81(米)． 所以，塔高 DE 大约是 81 米． 方法总结：解决此类问题要了解角之间 的关系，找到与已知和未知相关联的直角三 角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题 三、板书设计 三角函数的计算 1．已知角度，用计算器求三角函数值 2．已知三角函数值，用计算器求锐角 的度数 3．仰角、俯角的意义 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题， 设计好教学的每一个细节，让学生更多地参 与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的 过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得 把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入 更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更 加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做 好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只 有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高 成绩