11锐角三角函数 第2课时正弦与余弦 学习目标 12 1.理解正弦与余弦的概念;(重点) 2.能用正弦、余弦的知识,根据三角 方法总结:在直角三角形中,锐角的正 形中已知的边和角求出未知的边和角.(难 弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切 为对边比邻边,熟记三角函数的定义是解决 教学过程 问题的关键 情境导入 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 如图,小明沿着某斜坡向上行走了堂达标训练”第1题 13m,他的相对位置升高了5m 【类型二】旦知一个三角函数值求另 一个三角函数值 如果他沿着该斜坡行走了20m,那么他 的相对位置升高了多少?行走了am呢? 在上述情形中,小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少? 2如图,在△ABC中,∠C=90°, 根据相似三角形的性质可知,当直角三 角形的一个锐角的大小确定时,它的对边与点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=3 斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定求sinB的值 、合作探究 解析:先由AD=BC=5,cos∠ADC= 探究点:正弦和余弦 【类型一】直接利用定义求正弦和金及勾股定理求出AC及AB的长,再由锐角 】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB三角函数的定义解答 13,BC=5,求 解析:利用勾股定理求出AC,然后根 CD=3在Rt△ACD中,∵AD=5,CD=3, 据正弦和余弦的定义计算即可 AC=√AD2-CD=52-32=4在Rt△ ACB中 AC=4, BC 解:由勾股定理得AC=AB2-BC2 NAC+BC=\ 42+52=v41, sinB=AC 13-52=12,sin4=8=1,cosA=AB444 AB 13
1.1 锐角三角函数 第 2 课时 正弦与余弦 1．理解正弦与余弦的概念；(重点) 2．能用正弦、余弦的知识，根据三角 形中已知的边和角求出未知的边和角．(难 点) 一、情境导入 如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m，他的相对位置升高了 5m. 如果他沿着该斜坡行走了 20m，那么他 的相对位置升高了多少？行走了 am 呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三 角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与 斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定 了． 二、合作探究 探究点：正弦和余弦 【类型一】 直接利用定义求正弦和余 弦值 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC＝5，求 sinA，cosA. 解析：利用勾股定理求出 AC，然后根 据正弦和余弦的定义计算即可． 解：由勾股定理得 AC＝ AB2－BC2＝ 132－5 2＝12，sinA＝ BC AB＝ 5 13，cosA＝ AC AB＝ 12 13. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正 弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切 为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决 问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 已知一个三角函数值求另 一个三角函数值 如图，在△ABC 中，∠C＝90°， 点 D 在 BC 上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝ 3 5 ， 求 sinB 的值． 解析：先由 AD＝BC＝5，cos∠ADC＝ 3 5 及勾股定理求出 AC 及 AB 的长，再由锐角 三角函数的定义解答． 解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝ 3 5 ，∴ CD＝3.在 Rt△ACD 中，∵AD＝5，CD＝3， ∴AC＝ AD2－CD2＝ 5 2－3 2＝4.在 Rt△ ACB 中 ， ∵AC ＝ 4 ，BC ＝ 5 ， ∴AB ＝ AC2＋BC2＝ 4 2＋5 2＝ 41，∴sinB＝ AC AB＝ 4 41 ＝ 4 41 41
方法总结:在不同的直角三角形中,要sina,sin关系式即可得出结论 根据三角函数的定义,分清它们的边角关 解:(1)猜想:sina>sinB (2):∠C=9°,:smn=4C,sinB 系,结合勾股定理是解答此类问题的关键 AB·· D1.又cos70° sin20°,锐角的正弦值随着角的增大而增 5如图,在△ABC中,AD是BC上 大,∴sin70°>sin20°=cos70°故选D 的高 (1)求证:AC=BD; 方法总结:当角度在0°cosA>0.当角度在45° ∠ADC=90°,再分别利用正切和余弦的定 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第10题 义得到tanB=BD, COsZDAC=AD,再利用 【类型四】与三角函数 1D AD tanB=cos∠DAC得到 问题 BD AC 所以AC= 4在Rt△ABC中,∠C=90°,D 为BC边(除端点外)上的一点,设∠ADC=a BD;(2)在Rt△ACD中,根据正弦的定义得 B sinC= AD 12 1)猜想sina与sinβ的大小关系 AC=13,可设 (2)试证明你的结论 再根据勾股定理计算出CD=5k,由于BD 解析:(1)因为在△ABD中,∠ADC为 =AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到 △ABD的外角,可知∠ADC>∠B,可猜想 13k+5k=36,解得k=2,所以AD=24 sina>sinB:(2利用三角函数的定义可求出 (1)证明:∵AD是BC上的高,∠ADB
方法总结：在不同的直角三角形中，要 根据三角函数的定义，分清它们的边角关 系，结合勾股定理是解答此类问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型三】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小 关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70° ＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增 大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D. 方法总结：当角度在 0°cosA>0.当角度在 45°＜∠A ＜90°间变化时，tanA＞1. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型四】 与三角函数有关的探究性 问题 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α， ∠B＝β. (1)猜想 sinα与 sinβ的大小关系； (2)试证明你的结论． 解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为 △ABD 的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想 sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出 sinα，sinβ的关系式即可得出结论． 解：(1)猜想：sinα＞sinβ； (2)∵∠C＝90°，∴sinα＝ AC AD ，sinβ ＝ AC AB .∵AD＜AB，∴ AC AD ＞ AC AB，即 sinα＞ sinβ. 方法总结：利用三角函数的定义把两角 的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是 解题的关键． 【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上 的高，tanB＝cos∠DAC. (1)求证：AC＝BD； (2)若 sinC＝ 12 13，BC＝36，求 AD 的长． 解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝ ∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定 义得到 tanB＝ AD BD，cos∠DAC＝ AD AC，再利用 tanB＝cos∠DAC 得到AD BD＝ AD AC，所以 AC＝ BD；(2)在 Rt△ACD 中，根据正弦的定义得 sinC＝ AD AC＝ 12 13，可设 AD＝12k，AC＝13k， 再根据勾股定理计算出 CD＝5k，由于 BD ＝AC＝13k，于是利用 BC＝BD＋CD 得到 13k＋5k＝36，解得 k＝2，所以 AD＝24. (1)证明：∵AD 是 BC 上的高，∴∠ADB
∠ADC=90°在Rt△ABD中, tanR-AD BD 在R△ACD中,cos∠DC≈D…tanB= cos∠DAC,∴ ∴AC=BD; BD AC (2)解:在R△ACD中,sinC=AD_12 AC 13 iX AD=12k, AC=13k,. CD=VAC2-AD =5k∵BD=AC=13k,∴BC=BD+CD 13k+5k=36,解得k=2,∴AD=12×2 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第10题 三、板书设计 正弦与余弦 1.正弦的定义 2.余弦的定义 3.利用正、余弦解决问题 数学反思 本节课的教学设计以直角三角形为主线,力 求体现生活化课堂的理念,让学生在经历 “问题情境一一形成概念一一应用拓展 反思提高”的基本过程中,体验知识间 的内在联系,让学生感受探究的乐趣,使学 生在学中思,在思中学.在教学过程中,重 视过程,深化理解,通过学生的主动探究来 体现他们的主体地位,教师是通过对学生参 与学习的启发、调整、激励来体现自己的引 导作用,对学生的主体意识和合作交流的能 力起着积极作用
＝∠ADC＝90°.在 Rt△ABD 中，tanB＝ AD BD， 在 Rt△ACD 中，cos∠DAC＝ AD AC.∵tanB＝ cos∠DAC，∴ AD BD＝ AD AC，∴AC＝BD； (2)解：在 Rt△ACD 中，sinC＝ AD AC＝ 12 13. 设 AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝ AC2－AD2 ＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝ 13k＋5k＝36，解得 k＝2，∴AD＝12×2＝ 24. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 三、板书设计 正弦与余弦 1．正弦的定义 2．余弦的定义 3．利用正、余弦解决问题 本节课的教学设计以直角三角形为主线，力 求体现生活化课堂的理念，让学生在经历 “问题情境——形成概念——应用拓展 ——反思提高”的基本过程中，体验知识间 的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学 生在学中思，在思中学．在教学过程中，重 视过程，深化理解，通过学生的主动探究来 体现他们的主体地位，教师是通过对学生参 与学习的启发、调整、激励来体现自己的引 导作用，对学生的主体意识和合作交流的能 力起着积极作用