16利用三角函数测高 学习目标 站在离旗杆底部B处6米的D处,仰望旗 杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的 1.经历运用仪器进行实地测量以及撰距离ED为15米.试帮助小华求出旗杆AB 写活动报告的过程,能够对所得到的数据进的高度(结果精确到01米,√3≈1.732) 行分析:(重点) 2.能综合应用直角三角形的边角关系 解析:由题意可得四边形BCED是矩 的知识解决实际问题.(难点) 形,所以BC=DE,然后在R△ACE中,根 据tan∠AEC Ac 数学过程 Ec,即可求出AC的长 解:∵BD=CE=6m,∠AEC=60 、情境导入 AC=CE·tan60°=6×√3≈6×1.732≈ 104(米),∴AB=AC+DE=104+1.5= 119(米) CA 所以,旗杆AB的高度约为11.9米 方法总结:本题借助仰角构造直角三角 如图所示,站在离旗杆BE底部10米处 的D点,目测旗杆的项部,视线AB与水平形,并结合图形利用三角函数解直角三角 线的夹角∠BAC为34°,并已知目高AD为 15米.现在若按1:500的比例将△ABC画 形,解题的关键是从实际问题中整理出直角 在纸上,并记为△ABC,用刻度直尺量出 纸上BC的长度,便可以算出旗杆的实际高三角形并选择合适的边角关系解题 度.你知道计算的方法吗? 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 实际上,我们利用图①中已知的数据就堂达标训练”第5题 可以直接计算旗杆的高度,而这一问题的解 【类型二】测量底部不可到达的物体 决将涉及直角三角形中的边角关系.我们已的高度 经知道直角三角形的三条边所满足的关系 (即勾股定理),那么它的边与角又有什么关 系?这就是本节要探究的内容 合作探究 探究点:利用三角函数测高 G602A 【类型一】测量底部可以到达的物体 的高度 例2如图,放置在水平桌面上的台灯 的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm, 底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD =60°使用发现,光线最佳时灯罩BC与水 平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到 桌面的高度CE是多少厘米(结果精确到 0lcm,参考数据:√3≈1732) 例1如图,在一次测量活动中,小华 解析:首先过点B作BF⊥CD于点F
1.6 利用三角函数测高 1．经历运用仪器进行实地测量以及撰 写活动报告的过程，能够对所得到的数据进 行分析；(重点) 2．能综合应用直角三角形的边角关系 的知识解决实际问题．(难点) 一、情境导入 如图所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处 的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB 与水平 线的夹角∠BAC 为 34°，并已知目高 AD 为 1.5 米．现在若按 1∶500 的比例将△ABC 画 在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出 纸上 B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高 度．你知道计算的方法吗？ 实际上，我们利用图①中已知的数据就 可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解 决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已 经知道直角三角形的三条边所满足的关系 (即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关 系？这就是本节要探究的内容． 二、合作探究 探究点：利用三角函数测高 【类型一】 测量底部可以到达的物体 的高度 如图，在一次测量活动中，小华 站在离旗杆底部 B 处 6 米的 D 处，仰望旗 杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的 距离 ED 为 1.5 米．试帮助小华求出旗杆 AB 的高度(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)． 解析：由题意可得四边形 BCED 是矩 形，所以 BC＝DE，然后在 Rt△ACE 中，根 据 tan∠AEC＝ AC EC，即可求出 AC 的长． 解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°， ∴AC＝CE·tan60°＝6× 3≈6×1.732≈ 10.4(米) ，∴AB ＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝ 11.9(米)． 所以，旗杆 AB 的高度约为 11.9 米． 方法总结：本题借助仰角构造直角三角 形，并结合图形利用三角函数解直角三角 形，解题的关键是从实际问题中整理出直角 三角形并选择合适的边角关系解题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 测量底部不可到达的物体 的高度 如图，放置在水平桌面上的台灯 的灯臂 AB 长为 30cm，灯罩 BC 长为 20cm， 底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水 平线所成的角为 30°，此时灯罩顶端 C 到 桌面的高度 CE 是多少厘米(结果精确到 0.1cm，参考数据： 3≈1.732)? 解析：首先过点 B 作 BF⊥CD 于点 F
作BG⊥AD于点G,进而求出FC的长,再C作CF⊥MN于点F,由△AEM是等腰直 求出BG的长,即可得出答案 角三角形得出AE=ME,设AE=ME=xm, 解:过点B作BF⊥CD于点F,作根据三角函数列方程求出x的值即可求解 BG⊥AD于点G∴四边形BFDG矩形,∴ BG=FD在Rt△BCF中,∠CBF=30° CF=BCsm30°=20×1=10cm,在R△ ABG中,∠BAG=60°,∴BG= AB sin60° 小明 红 =30×=15cm).∴CE=CF+FD+ 解:过点A作AE⊥MN于点E,过点C DE=10+15+2=12+153≈作CF⊥MN于点F,则EF=AB-CD=1.7 3798≈380(cm). 1.5=0.2(m),在Rt△AEM中,∵∠AEM 所以,此时灯罩顶端C到桌面的高度=90°,∠MAE=45°,∴AE=ME设AE CE约是38.0 ME=xm, A MF=(x +0.2)m, FC=(28 方法总结:将实际问题抽象为数学问 x)m在Rt△MFC中,∵∠MFC=90°, ∠MCF=30°,∴MF= CF tan∠MCF,∴x 题,画出平面图形,构造出直角三角形,转+0.2=2(28-x,解得x≈10.1,∴MN 化为解直角三角形问 ME+EN=10.1+17≈12(米) 所以,旗杆MN的高度约为12米 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第8题 方法总结:解决问题的关键是作出辅助 【类型三】利用三角板测量物体的高线构造直角三角形,设出末知数列出方程 圆例3如图,在活动课上,小明和小红 三、板书设计 合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已 利用三角函数测高 知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m,他 测量底部可以到达的物体的高度 调整自己的位置,设法使得三角板的一条直 2.测量底部不可到达的物体的高度 角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同 3.利用三角板测量物体的高度 一条直线上,测得旗杆顶端M仰角为45°: 小红眼睛与地面的距离CD是1.5m,用同样 教学反思 的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°两人本节课为了充分发挥学生的主观能动性,学 相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在生通过小组讨论,大胆地发表意见,提高了 同一条直线上).求出旗杆MN的高度(参考学生学习数学的兴趣,能够使学生自己构造 数据:√3≈1.7,结果保留整数) 实际问题中的直角三角形,并通过解直角三 角形解决实际问题,这本身是一个质的飞 跃.在教学过程中,注重引导学生运用方程 思想解决实际问题,数学思想方法的渗透使 小明 心乐红学生的能力发展先于知识能力,从而促进学 生知识能力的提高 解析:过点A作AE⊥MN于点E,过点
作 BG⊥AD 于点 G，进而求出 FC 的长，再 求出 BG 的长，即可得出答案． 解：过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，作 BG⊥AD 于点 G.∴四边形 BFDG 矩形，∴ BG＝FD.在 Rt△BCF 中，∠CBF＝30°，∴ CF＝BC·sin30°＝20× 1 2 ＝10(cm)．在 Rt△ ABG 中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60° ＝30× 3 2 ＝15 3(cm)．∴CE＝CF＋FD＋ DE ＝ 10 ＋ 15 3 ＋ 2 ＝ 12 ＋ 15 3 ≈ 37.98≈38.0(cm)． 所以，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问 题，画出平面图形，构造出直角三角形，转 化为解直角三角形问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 8 题 【类型三】 利用三角板测量物体的高 度 如图，在活动课上，小明和小红 合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已 知小明的眼睛与地面的距离 AB 是 1.7m，他 调整自己的位置，设法使得三角板的一条直 角边保持水平，且斜边与旗杆顶端 M 在同 一条直线上，测得旗杆顶端 M 仰角为 45°； 小红眼睛与地面的距离 CD 是 1.5m，用同样 的方法测得旗杆顶端 M 的仰角为 30°.两人 相距 28 米且位于旗杆两侧(点 B、N、D 在 同一条直线上)．求出旗杆 MN 的高度(参考 数据： 3≈1.7，结果保留整数)． 解析：过点 A 作 AE⊥MN 于点 E，过点 C 作 CF⊥MN 于点 F，由△AEM 是等腰直 角三角形得出 AE＝ME，设 AE＝ME＝xm， 根据三角函数列方程求出 x 的值即可求解． 解：过点 A 作 AE⊥MN 于点 E，过点 C 作 CF⊥MN 于点 F，则 EF＝AB－CD＝1.7 －1.5＝0.2(m)，在 Rt△AEM 中，∵∠AEM ＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设 AE ＝ME＝xm，则 MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28 －x)m.在 Rt△MFC 中，∵∠MFC＝90°， ∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x ＋0.2＝ 3 3 (28－x)，解得 x≈10.1，∴MN＝ ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)． 所以，旗杆 MN 的高度约为 12 米． 方法总结：解决问题的关键是作出辅助 线构造直角三角形，设出未知数列出方程． 三、板书设计 利用三角函数测高 1．测量底部可以到达的物体的高度 2．测量底部不可到达的物体的高度 3．利用三角板测量物体的高度 本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学 生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了 学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造 实际问题中的直角三角形，并通过解直角三 角形解决实际问题，这本身是一个质的飞 跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程 思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使 学生的能力发展先于知识能力，从而促进学 生知识能力的提高
