39弧长及扇形的面积 目标导航 1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,了解弧长计算公式及扇形面积的计 算公式,并会应用公式解决问题 R 2、弧长计算公式及理解,弧长公式1180R为圆的半径,n为圆弧所对的圆心角 的度数,不带单位.由于整个圆周可看作360°的弧,而360°的圆心角所对的弧长为圆周长 C=2zR,所以1P的圆心角所对的弧长是3x2xR,即5,可得半径为R的圆中,nP的圆 nTR 心角所对的弧长l 3、圆心角是1P的扇形的面积等于圆面积的360,所以圆心角是P的扇形面积是S形 360xR2.要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系(扇形面积公式中半径R带平方, 分母为360;而弧长公式中半径R不带平方,分母是180).已知S期形、1、n、R四量中任意 两个量,都可以求出另外两个量 扇形面积公式S=R,与三角形的面积公式有些类似.只要把扇形看成一个曲边三 角形,把弧长看作底,R看作高就比较容易记了, 基础过关 1.半径为9cm的圆中,长为12xcm的一条弧所对的圆心角的度数为 60°的圆心角 所对的弧的长为 2.弯制管道时,先按中心线计算其“展直长度”,再下料.根据如图所示的图形可算得管道 的展直长度为 (单位:mm,精确到lmm) R120 2题图 3题图 5题图 3.设计一个商标图形(如图所示),在△ABC中,AB=C=2cm,∠B=30°,以A为圆心 AB为半径作BEC,以BC为直径作半圆BFC,则商标图案面积等于 4.扇形的弧长为20cm,半径为5cm,则其面积为 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=√3,将△ABC绕点B旋转至△A'BC 的位置,且使点A,B,C三点在同一直线上,则点A经过的最短路线长是 6.如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C、D分别是AB的三等分点,则阴影 部分的面积是
3.9 弧长及扇形的面积 目标导航 1、 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计 算公式，并会应用公式解决问题． 2、弧长计算公式及理解，弧长公式 180 n R l = ，其中 R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角 的度数，不带单位．由于整个圆周可看作 360°的弧，而 360°的圆心角所对的弧长为圆周长 C=2πR，所以 1°的圆心角所对的弧长是 360 1 ×2πR，即 180 R ，可得半径为 R 的圆中，n°的圆 心角所对的弧长 180 n R l = ． 3、圆心角是 1°的扇形的面积等于圆面积的 360 1 ，所以圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形 = 360 n πR2．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径 R 带平方， 分母为 360；而弧长公式中半径 R 不带平方，分母是 180）．已知 S 扇形、l、n、R 四量中任意 两个量，都可以求出另外两个量． 扇形面积公式 S 扇= 1 2 lR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三 角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了． 基础过关 1．半径为 9cm 的圆中，长为 12 cm 的一条弧所对的圆心角的度数为______；60°的圆心角 所对的弧的长为________． 2．弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料． 根据如图所示的图形可算得管道 的展直长度为_______．（单位：mm，精确到 1mm）． 100 R120 180 F E C B A A' C' C A B 2 题图 3 题图 5 题图 3．设计一个商标图形（如图所示），在△ABC 中，AB=AC=2cm，∠B=30°，以 A 为圆心， AB 为半径作 BEC ，以 BC 为直径作半圆 BFC ，则商标图案面积等于________cm2． 4．扇形的弧长为 20cm，半径为 5cm，则其面积为_____． 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 ，将△ABC 绕点 B 旋转至△A ′BC′ 的位置，且使点 A，B，C′三点在同一直线上，则点 A 经过的最短路线长是______cm． 6．如图，扇形 AOB 的圆心角为 60°，半径为 6cm，C、D 分别是 AB 的三等分点， 则阴影 部分的面积是________．
C 轮 重 物 6题图 8题图 9题图 7.秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时,秋千最高处踩板离 地面2米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为() 米 米 米 米 8.如图的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只上虫同时出发,以相同的速度从A点到B点, 甲虫沿AD4、AEA2、AFA3、AGB路线爬行,乙虫沿ACB路线爬行,则下列结论 正确的是 A.甲先到B点 B.乙先到B点 C.甲、乙同时到B点D.无法确定 9.一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条 半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,x取3.14, 结果精确到1°)() A.115° 10.一个扇形的弧长是20丌cm,面积是240xcm2,那么扇形的圆心角是() A.120° B.150° C.210° D.240° 11.如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点 B点坐标为(0,2√3),OC与⊙D相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为() 2x-2√ √3C.4z-23 2z-√ 0 l1题图 12题图 12.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC为直径的圆交AC于点D,则图 中阴影部分的面积为(
O C D B A G A2 A3 A1 F E C D B A 滑 轮 重 物 O A 6 题图 8 题图 9 题图 7．秋千拉绳长 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，一小朋友荡该秋千时， 秋千最高处踩板离 地面 2 米（左，右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（ ） A． 米 B．2 米 C． 4 3 米 D． 3 2 米 8．如图的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只上虫同时出发，以相同的速度从 A 点到 B 点， 甲虫沿 ADA1 、 A EA 1 2 、 A FA 2 3 、 A GB 3 路线爬行，乙虫沿 ACB 路线爬行， 则下列结论 正确的是（ ） A．甲先到 B 点 B．乙先到 B 点 C．甲、乙同时到 B 点 D．无法确定 9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时， 滑轮的一条 半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3.14， 结果精确到 1°）（ ） A．115° B．60° C．57° D．29° 10．一个扇形的弧长是 20 cm，面积是 240 cm2，那么扇形的圆心角是（ ） A．120° B．150° C．210° D．240° 11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点 O，与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， B 点坐标为（0，2 3 ），OC 与⊙D 相交于点 C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的面积为（ ） A． 2 2 3 − B． 4 3 − C． 4 2 3 − D． 2 3 − x y O C D B A O C D B A 11 题图 12 题图 12．如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D， 则图 中阴影部分的面积为（ ） A．2 B．1 2 + C．1 D．2 4 −
13.已知,一条弧长为23cm,它所对的圆心角为120°,求这条弧所对的弦长 14.如图是一把绸扇,线段AD、BC所在的直线相交于点O,AB与CD是以点O为圆心、 半径分别为10cm,20cm的圆弧,且∠AOB=150°,这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多 少?(不考虑绸布的折皱,结果用含x的式子表示) 能力提升 如图,已知⊙O半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切⊙O于点C BC的长为二πcm,求线段AB的长(精确到0.0lcm) 16.如图是一管道的横截面示意图,某工厂想测量管道横截面的面积,工人师傅使钢尺与管 道内圆相切并与外圆交于A、B两点,测量结果为AB=30cm,求管道阴影部分的面积 17.一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料,如图所示,现找出其中一种,测
13．已知，一条弧长为 2 3 cm，它所对的圆心角为 120°，求这条弧所对的弦长． 14．如图是一把绸扇，线段 AD、BC 所在的直线相交于点 O， AB 与 CD 是以点 O 为圆心、 半径分别为 10cm，20cm 的圆弧，且∠AOB=150°，这把绸扇的绸布部分 ADCB 的面积是多 少?（不考虑绸布的折皱，结果用含 的式子表示） O D C A B 能力提升 15．如图，已知⊙O 半径为 8cm，点 A 为半径 OB 延长线上一点，射线 AC 切⊙O 于点 C， BC 的长为 20 9 cm，求线段 AB 的长（精确到 0.01cm）． O C B A 16．如图是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管 道内圆相切并与外圆交于 A、B 两点，测量结果为 AB=30cm， 求管道阴影部分的面积． A B 17．一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料，如图所示，现找出其中一种，测
得∠C=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成形状不同的玩具,使扇形 的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ABC的其他边相切,请设计出所有可 能符合题意的方案示意图,并直接写出扇形的半径 聚沙成塔 如图,正△ABC的边长为1cm,将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1,形成扇形 D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2,形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋 转120°至CP3,形成扇形D3将线段AP3绕点A顺时针旋转120至AP4,形成扇形D4,…… 设ln为扇形Dn的弧长(n=1,2,3.),回答下列问题 (1)按要求填表: (2)根据上表所反映的规律,试估计n至少为何值时,扉形D的弧长能绕地球赤道一 周?(设地球赤道半径为6400km)
得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成形状不同的玩具，使扇形 的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切， 请设计出所有可 能符合题意的方案示意图，并直接写出扇形的半径． C B A 聚沙成塔 如图，正△ABC 的边长为 1cm，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 120 °至 AP1， 形成扇形 D1；将线段 BP1 绕点 B 顺时针旋转 120°至 BP2，形成扇形 D2；将线段 CP2 绕点 C 顺时针旋 转 120°至 CP3，形成扇形 D3；将线段 AP3 绕点 A 顺时针旋转 120°至 AP4，形成扇形 D4，…… 设 n l 为扇形 D n 的弧长（n=1，2，3…），回答下列问题： （1）按要求填表： n 1 2 3 4 n l （2）根据上表所反映的规律，试估计 n 至少为何值时，扉形 D n 的弧长能绕地球赤道一 周?（设地球赤道半径为 6400km）． D4 D3 D2 D1 P4 P3 P2 P1 C B A