北师版_九年级下册_数学教案_1.5 三角函数的应用1.doc_大学文库

1.5 三角函数的应用 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点) 一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 和 60cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20cm.点 A、C、E 在同一条直线上，且∠CAB＝75°. 你能求出车架档 AD 的长吗？二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60°方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30°方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁． (1)试说明点 B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点 B 是否在暗礁区域内，其实就是求 CB 的距离是否大于 16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求 CB 的长，作 CD⊥AB 于 D 点，CD 是 Rt△ACD 和 Rt△CBD 的公共直角边，可先求出 CD 的长，再求出 CB 的长； (2)本题实际上是问 C 到 AB 的距离即 CD 是否大于 16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作 CD⊥AB 于 D 点，设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，∠CBD＝60°，∴BD＝ 1 2 x， CD＝ 3 2 x.在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°， tan∠CAD＝ CD AD＝ 3 3 ，∴ 3 2 x 18＋ 1 2 x ＝ 3 3 .∴x＝ 18.∵18>16，∴点 B 是在暗礁区域外； (2)∵CD＝ 3 2 x＝9 3，9 3＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题

【类型二】利用仰角和俯角解决问题位于A、B两点,小张为了测量A、B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线型道路上测得如下数据:∠BDA=76.1°,∠BCA 682°,CD=82米.求AB的长(精确到 B 0.1米,参考数据:sin76.1°≈0.97,c0s76.1 ≈0.24,tan76.1°≈40,sin68.2°≈0.93 cos682°≈0.37,tan68.2°≈2.5) 2某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时,组织开展测量物体高度的实践活动.在活动中,某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图),站在② 号楼的C处,测得①号楼顶部A处的仰角 30°,底部B处的俯角B=45°已知两幢楼的水平距离BD为18米,求①号楼AB的解析:设AD=m,则AC=(x+82m 高度(结果保留根号). 在Rt△ABC中根据三角函数得到AB=25(x 解析:根据在 RtABCe中,tan∠BCE= +82)m,在 RtsAB中,根据三角函数得到 CE,求出BE的值,再根据在 RaCE中 AB=4x,依此得到关于x的方程,进一步即 amn4CE=cE,求出AE的值,最后根据A4B 可求解 =AE+BE,即可求出答案. 解:设AD=m,则AC=(x+82m,在解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,CE⊥AB, Rt△ABC中,tan∠BCA AB ,∴AB= ACtan 四边形CDBE是矩形,∴CE=BD=18 米.在R△BEC中,∵∠ECB=45°,∴∠BCA=2.5(x+82).在Rt△ABD中,tan∠ EB=CE=18米.在Rt△AEC中,∵tan∠ AB BDA= ACE=4E∴AE= CE.tan∠ACE AD,∴AB= ADtan∠BDA=4x, 5( 25(x+82)=4x,解得x410:AB=4x= 18×tan30°=6 ),∴AB=AE+EB=18 +6√3(米) 410 ≈546.71 所以,①号楼AB的高为(18+63)米所以,AB的长约为546.7m 方法总结:解决本题的关键是结合仰方法总结:解题的关键在于构造出直角角、俯角构造直角三角形,然后再解直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长角形变式训练:见《学练优》本课时练习“课度,计算出所要求的物体的高度或宽度后巩固提升”第1题变式训练:见《学练优》本课时练习“课【类型三】求河的宽度堂达标训练”第5题例3根据网上消息,益阳市为了改善【类型四】角、俯角和坡度的综合市区交通状况,计划在康富路的北端修建通应用往资江北岸的新大桥.如图,新大桥的两端

【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼 AB 的高度(如图)，站在② 号楼的 C 处，测得①号楼顶部 A 处的仰角 α ＝30°，底部 B 处的俯角 β＝45°.已知两幢楼的水平距离 BD 为 18 米，求①号楼 AB 的高度(结果保留根号)．解析：根据在 Rt△BCE 中，tan∠BCE＝ BE CE，求出 BE 的值，再根据在 Rt△ACE 中， tan∠ACE＝ AE CE，求出 AE 的值，最后根据 AB ＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB， ∴四边形 CDBE 是矩形，∴CE＝BD＝18 米．在 Rt△BEC 中，∵∠ECB＝45°，∴ EB＝CE＝18 米．在 Rt△AEC 中，∵tan∠ ACE ＝ AE CE ， ∴ AE ＝ CE·tan ∠ ACE ＝ 18×tan30°＝6 3(米)，∴AB＝AE＋EB＝18 ＋6 3(米)．所以，①号楼 AB 的高为(18＋6 3)米．方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第 1 题【类型三】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD＝82 米．求 AB 的长(精确到 0.1 米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1° ≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93， cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设 AD＝xm，则 AC＝(x＋82)m. 在 Rt△ABC 中，根据三角函数得到 AB＝2.5(x ＋82)m，在 Rt△ABD 中，根据三角函数得到 AB＝4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解．解：设 AD＝xm，则 AC＝(x＋82)m.在 Rt△ABC 中，tan∠BCA＝ AB AC，∴AB＝AC·tan ∠BCA＝2.5(x＋82)．在 Rt△ABD 中，tan∠ BDA＝ AB AD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴ 2.5(x＋82)＝4x，解得 x＝ 410 3 .∴AB＝4x＝ 4× 410 3 ≈546.7m. 所以，AB 的长约为 546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题【类型四】仰角、俯角和坡度的综合应用