22二次函数的图象与性质 第4课时二次函数p=ax-h)2+k的图象与性质 鲁习目标 方法总结:熟练掌握抛物线的开口方 1.掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2向、对称轴、顶点坐标是解题的关键 +k(a≠0)图象之间的联系;(重点) 2.能灵活运用二次函数y=a(x-h)2+ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 k(a≠0)的知识解决简单的问题.(难点) 堂达标训练”第3题 【类型二】二次函数1=dx=h2+k 的图象的性质 例2在二次函数y=-1(x-2)+3的 、情境导入 图象上有两点(-1,y),(1,y2),则y-y2 的值是( A.负数B.零 C.正数D.不能确定 一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图, 解析:∵二次函数y 2)2+3 已知球在A处出手时离地面20m,与篮筐中:该抛物线开口向下,且对称轴为直线x= 心C的水平距离是7m,当球运行的水平距 离是4m时,达到最大高度B处,高度为4m 2∴点(-1,y),(1,y2是二次函数 设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面 3m.问此球能否投中? (x-2)2+3的图象上两点,且-1<1<2 探究点:一次函数y=0(-分+k的图两点都在对称轴的左侧,y随x的增大而增 象与性质 【类型一】 大,y<y,:-y2的值是负数.故选A 的图象的特点 】关于二次函数y=-(x+1)2+2的 方法总结:解决本题的关键是确定二次 图象,下列判断正确的是() A.图象开口向上 函数的对称轴,确定出对称轴后,在根据二 B.图象的对称轴是直线x=1 C.图象有最低点 次函数的增减性确定问题的答案 D.图象的顶点坐标为(-1,2) 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第4题 解析 1<0,函数的开口向下, 【类型三】 图象有最高点∴二次函数y=-(x+1)+2的图象与1=m的图象的关系 例3]将二次函数y=x2的图象向下平 的图象的顶点是(-1,2),∴对称轴是x 移1个单位,再向右平移1个单位后所得图 象的函数表达式为() -1.故选D A.y=(x+1)2+1
2.2 二次函数的图象与性质 第 4 课时 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象与性质 1．掌握二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－h) 2 ＋k(a≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数 y＝a(x－h) 2＋ k(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图， 已知球在 A 处出手时离地面20 9 m，与篮筐中 心 C 的水平距离是 7m，当球运行的水平距 离是 4m 时，达到最大高度 B 处，高度为 4m， 设篮球运行的路线为抛物线．篮筐距地面 3m.问此球能否投中？ 二、合作探究 探究点：二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图 象与性质 【类型一】 二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象的特点 关于二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 的 图象，下列判断正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 x＝1 C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为(－1，2) 解析：∵－1＜0，∴函数的开口向下， 图象有最高点．∵二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 的图象的顶点是(－1，2)，∴对称轴是 x＝ －1.故选 D. 方法总结：熟练掌握抛物线的开口方 向、对称轴、顶点坐标是解题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 3 题 【类型二】 二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象的性质 在二次函数 y＝－ 1 12(x－2)2＋3 的 图象上有两点(－1，y1)，(1，y2)，则 y1－y2 的值是( ) A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 解析：∵二次函数 y＝－ 1 12(x－2)2＋3， ∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线 x＝ 2.∵点(－1，y1)，(1，y2)是二次函数 y＝－ 1 12 (x－2)2＋3 的图象上两点，且－1＜1＜2，∴ 两点都在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增 大，∴y1＜y2，∴y1－y2 的值是负数．故选 A. 方法总结：解决本题的关键是确定二次 函数的对称轴，确定出对称轴后，在根据二 次函数的增减性确定问题的答案． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 4 题 【类型三】 二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象与 y＝ax2 的图象的关系 将二次函数 y＝x 2 的图象向下平 移 1 个单位，再向右平移 1 个单位后所得图 象的函数表达式为( ) A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2
C.y=(x-1)2+1 D 方法总结:本题主要考查了二次函数的 图象以及一次函数的性质根据已知得出a, 解析:抛物线y=x2的顶点坐标为0, 的符号是解题关键 0),把点(0,0)向右平移1个单位,向下平 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 移1个单位得到对应点的坐标为(1,-1), 后巩固提升”第2题 【类型五】确定二次函数=ax 十k的解析式 所以平移后的新图象的函数表达式为y=(x 例5己知关于x的二次函数的图象的 顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3) 1)2-1.故选D (1)求这个二次函数的解析式 方法总结:解决本题的关键是掌握平移 (2)写出它的开口方向、对称轴 解析:根据顶点式设出解析式,再用待 的规律:左加右减,上加下减 变式训练:见《学练优》本课时练习“课定系数法求二次函数的解析式,进而可根据 堂达标训练”第9题 【类型四】虫二次函数=《x= 函数的解析式求得抛物线的开口方向和对 的图象确定a,k的取值范围 例4己知二次函数y=a(x-1)2-c的 称轴 图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大 解:(1)设函数解析式为y=a(x+1)2+2 致图象可能是 把点(,-3代入解析式,得a=-5,所 以抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2 (2)由(1)的函数解析式可得抛物线的开 口向下,对称轴为x=-1. 方法总结:给出二次函数的顶点坐标时 通常使用二次函数的顶点式来求解析式是 解题的关键 C 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第7题 解析:根据二次函数开口向上则a>0 【类型六】二次函数=x=h2+k 的实际应 根据-c是二次函数顶质点坐标的纵坐标,得 出c>0,故一次函数y=ax+c的大致图象 经过第一、二、三象限.故选A
－1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2 －1 解析：抛物线 y＝x 2 的顶点坐标为(0， 0)，把点(0，0)向右平移 1 个单位，向下平 移 1 个单位得到对应点的坐标为(1，－1)， 所以平移后的新图象的函数表达式为 y＝(x －1)2－1.故选 D. 方法总结：解决本题的关键是掌握平移 的规律：左加右减，上加下减． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 9 题 【类型四】 由二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象确定 a，k 的取值范围 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的 图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大 致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上则 a＞0， 根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得 出 c＞0，故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象 经过第一、二、三象限．故选 A. 方法总结：本题主要考查了二次函数的 图象以及一次函数的性质，根据已知得出 a， c 的符号是解题关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 2 题 【类型五】 确定二次函数 y＝a(x－h) 2 ＋k 的解析式 已知关于 x 的二次函数的图象的 顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 解析：根据顶点式设出解析式，再用待 定系数法求二次函数的解析式，进而可根据 函数的解析式求得抛物线的开口方向和对 称轴． 解：(1)设函数解析式为 y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入解析式，得 a＝－ 5 4 ，所 以抛物线的解析式为 y＝－ 5 4 (x＋1)2＋2； (2)由(1)的函数解析式可得抛物线的开 口向下，对称轴为 x＝－1. 方法总结：给出二次函数的顶点坐标时 通常使用二次函数的顶点式来求解析式是 解题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 7 题 【类型六】 二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的实际应用
例6如图,某公路隧道横截面为抛物 线,其最大高度为6米,底部宽度OM为 方法总结:解决本题的关键是根据图形 12米.现以O点为原点,OM所在直线为x 轴建立直角坐标系 特点选取一个合适的参数表示它们,得出关 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐 系式后运用函数性质来解 (2)求这条抛物线的解析式; 三、板书设计 (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与 在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最性质 大值是多少? 2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y ax2的图象的关系 解析:(1)根据所建坐标系易求M、P的 3.二次函数y=a(x-h)2+k的应用 坐标;(2)可设解析式为顶点式,把O点(或 教学反思 M点)坐标代入用待定系数法求出解析式13) 要使课堂真正成为学生展示自我的舞台,还 学生课堂学习的主体地位,教师要把激发学 生学习热情和提高学生学习能力放在教学 总长由三部分组成,根据它们之间的关系可首位,为学生提供展示自己聪明才智的机 设A点坐标为m,0),用含m的式子表示三会,使课堂真正成为学生展示自我的舞 台.充分利用合作交流的形式,能使教师发 段的长,再求其和的表达式,运用二次函数现学生分析问题、解决问题的独到见解以及 思维的误区,以便指导今后的教学 性质求解 解:(1)点M的坐标为(12,0,点P的 坐标为(6,6) 2)设抛物线解析式为y=ax-6)2+6, ∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0),∴0 a(0-6)2+6,即a ∴抛物线解析式 为y=-x-6)2+6,即y (3)设点A的坐标为(m,0),则点B的坐 标为(12-m,0),点C的坐标为(12-m m+2m),点D的坐标为(m,-5-2+ 2m).∴:“支撑架”总长AD+DC+CB=( m+2m)+(12-2m)+(=m2+2m m2+2m+12=-{m-3)2+15此二次函 数的图象开口向下,∴当m=3米时,“支撑 架”的总长有最大值为15米
如图，某公路隧道横截面为抛物 线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐 标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－ DC－CB，使 C、D 点在抛物线上，A、B 点 在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最 大值是多少？ 解析：(1)根据所建坐标系易求 M、P 的 坐标；(2)可设解析式为顶点式，把 O 点(或 M 点)坐标代入用待定系数法求出解析式；(3) 总长由三部分组成，根据它们之间的关系可 设 A 点坐标为(m，0)，用含 m 的式子表示三 段的长，再求其和的表达式，运用二次函数 性质求解． 解：(1)点 M 的坐标为(12，0)，点 P 的 坐标为(6，6)； (2)设抛物线解析式为 y＝a(x－6)2＋6， ∵抛物线 y＝a(x－6)2＋6 经过点(0，0)，∴0 ＝a(0－6)2＋6，即 a＝－ 1 6 ，∴抛物线解析式 为 y＝－ 1 6 (x－6)2＋6，即 y＝－ 1 6 x 2＋2x； (3)设点 A 的坐标为(m，0)，则点 B 的坐 标为(12－m，0)，点 C 的坐标为(12－m，－ 1 6 m2＋2m)，点 D 的坐标为(m，－ 1 6 m2＋ 2m)．∴“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝(－ 1 6 m2＋2m)＋(12－2m)＋(－ 1 6 m2＋2m)＝－ 1 3 m2＋2m＋12＝－ 1 3 (m－3)2＋15.∵此二次函 数的图象开口向下，∴当 m＝3 米时，“支撑 架”的总长有最大值为 15 米． 方法总结：解决本题的关键是根据图形 特点选取一个合适的参数表示它们，得出关 系式后运用函数性质来解． 三、板书设计 二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象与性质 1．二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象与 性质 2．二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象与 y ＝ax2 的图象的关系 3．二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的应用 要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还 学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学 生学习热情和提高学生学习能力放在教学 首位，为学生提供展示自己聪明才智的机 会，使课堂真正成为学生展示自我的舞 台．充分利用合作交流的形式，能使教师发 现学生分析问题、解决问题的独到见解以及 思维的误区，以便指导今后的教学