32圆的对称性 学习目标 证明:连接MO,∵MA=MB,∴∠ 1.理解圆的旋转不变性;(重点) MOD=∠MOE,又∵MD⊥OA于D,ME⊥ 2.掌握圆心角、弧、弦之间相等关系OB于E,∴MD=ME 的定理;(重点) 3.能应用圆心角、弧、弦之间的关系 方法总结:圆心角、弧、弦之间相等关 解决问题.(难点) 系的定理可以用来证明线段相等.本题考查 了等弧对等圆心角,以及角平分线的性质 数学过程 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 、情境导入 堂达标训练”第7题 【类型二】利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明弧相等 例2如图,在⊙O中,AB、CD是直径 CE∥AB且交圆于E,求证:BD=BE 我们知道圆是一个旋转对称图形,无论 绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,对 B 称中心即为其圆心.将图中的扇形AOB(阴 影部分)绕点O逆时针旋转某个角度,画出 旋转之后的图形,比较前后两个图形,你能 发现什么? 、合作探究 解析:首先连接OE,由CE∥AB,可 探究点:圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】利用圆心角、弧、弦之间 证得∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,然后由 的关系证明线段相等 OC=OE,可得∠C=∠E,继而证得∠DOB 1如图,M为⊙O上一点,MA=MB, MD⊥OA于D,ME⊥OB于E,求证:MD ∠BOE,则可证得BD=BE =ME 证明:连接OE,∵CE∥AB,∴∠DOB ∠C,∠BOE=∠E.∵OC=OE ∠E,∴∠DOB=∠BOE,∴BD=BE 方法总结:此类题主要运用了圆心角与 解析:连接MO,根据等弧对等圆心角,弧的关系以及平行线的性质注意掌握辅助 则∠MOD=∠MOE,再由角平分线的性质,线的作法及数形结合思想的应用 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 得出MD=ME 后巩固提升”第8题
3.2 圆的对称性 1．理解圆的旋转不变性；(重点) 2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系 的定理；(重点) 3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系 解决问题．(难点) 一、情境导入 我们知道圆是一个旋转对称图形，无论 绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对 称中心即为其圆心．将图中的扇形 AOB(阴 影部分)绕点 O 逆时针旋转某个角度，画出 旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能 发现什么？ 二、合作探究 探究点：圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明线段相等 如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵ ＝MB ︵ ， MD⊥OA 于 D，ME⊥OB 于 E，求证：MD ＝ME. 解析：连接 MO，根据等弧对等圆心角， 则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质， 得出 MD＝ME. 证明：连接 MO，∵ MA ︵ ＝MB ︵ ，∴∠ MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA 于 D，ME⊥ OB 于 E，∴MD＝ME. 方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关 系的定理可以用来证明线段相等．本题考查 了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明弧相等 如图，在⊙O 中，AB、CD 是直径， CE∥AB 且交圆于 E，求证：BD ︵ ＝BE ︵ . 解析：首先连接 OE，由 CE∥AB，可 证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由 OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB ＝∠BOE，则可证得BD ︵ ＝BE ︵ . 证明：连接 OE，∵CE∥AB，∴∠DOB ＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝ ∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴BD ︵ ＝BE ︵ . 方法总结：此类题主要运用了圆心角与 弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助 线的作法及数形结合思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题
【类型三】综合运用圆心角、弧、弦点(与圆心O不重合), 之回的关 例3如图,在△ABC中,∠ACB ∠B=36°,以C为圆心,CA为半 径的圆交AB于点D,交BC于点E求AD 直线CP与⊙O相交于点Q是否存在点 DE的度数 P,使得QP=QO?若存在,求出相应的 ∠OCP的大小:;若不存在,请简要说明理由 解析:点P是直线l上的一个动点,因 BE 而点P与线股OA有三种位置关系:点P在 解析:连接CD,由直角三角形的性质线段OA上,点P在OA的延长线上,点P 求出∠A的度数,再根据等腰三角形及三角在OA的反向延长线上.分这三种情况进行 形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的讨论即可 解:当点P在线段OA上(如图①),在 度数由圆心角、弧弦的关系即可得出4D.△QOC中,OC=OQ,∴∠OC=∠OCP 在△OPQ中,QP=QO,∴∠QOP=∠QPO DE的度数 又∵∠AOC=30 ∠QPO=∠OCP+ 解:连接CD,△ABC是直角三角形,∠AOC=∠OCP+30°在△OPQ中,∠ ∠B=36° ∠A=90°-36°=54° QOP+∠QPO+∠OQC=180°,即(∠OCP AC=DC,∴∠ADC=∠A=54°,∴∠ACD+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP =180°-∠A-∠ADC=180°-54° 180°,整理得3∠OCP=120°,∴∠OCP 54°=72°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD 90°-72°=18°∴∵∠ACD、∠BCD分别是 AD,DE所对的圆心角,∴AD的度数为72°, A DE的度数为18 方法总结:解决本题的关键是根据题意 图② 当P在线段OA的延长线上(如图②), 作出辅助线,构造出等腰三角形 ∵:OC=O9,∴∠OQP=(180° 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 ∠900×2=90-3490c0=Pg 堂达标训练”第8题 【类型四】有关圆心角、弧、弦之间 ∴∠OPQ=(180°-∠09P)×2=45° 关系的探究性问题 ∠QOC在△OQP中,30°+∠QOC+ 囹4如图,直线l经过⊙O的圆心O,∠OQP+∠OPQ=180°,∴30°+∠QOC 且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上, 且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动 ∠QOC+45°+∠QOC
【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦 之间的关系进行计算 如图，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，∠B＝36°，以 C 为圆心，CA 为半 径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E.求AD ︵ 、 DE ︵ 的度数． 解析：连接 CD，由直角三角形的性质 求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角 形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的 度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵ 、 DE ︵ 的度数． 解：连接 CD，∵△ABC 是直角三角形， ∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵ AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－ 54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD 分别是 AD ︵ ，DE ︵ 所对的圆心角，∴AD ︵ 的度数为 72°， DE ︵ 的度数为 18°. 方法总结：解决本题的关键是根据题意 作出辅助线，构造出等腰三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间 关系的探究性问题 如图，直线 l 经过⊙O 的圆心 O， 且与⊙O 交于 A、B 两点，点 C 在⊙O 上， 且∠AOC＝30°，点 P 是直线 l 上的一个动 点(与圆心 O 不重合)， 直线 CP 与⊙O 相交于点 Q.是否存在点 P，使得 QP＝QO？若存在，求出相应的 ∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由． 解析：点 P 是直线 l 上的一个动点，因 而点 P 与线段 OA 有三种位置关系：点 P 在 线段 OA 上，点 P 在 OA 的延长线上，点 P 在 OA 的反向延长线上．分这三种情况进行 讨论即可． 解：当点 P 在线段 OA 上(如图①)，在 △QOC 中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP. 在△OPQ 中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO. 又∵∠AOC＝30°. ∴∠QPO＝∠OCP ＋ ∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ 中，∠ QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP ＋ 30 ° ) ＋ (∠OCP ＋ 30 ° ) ＋ ∠OCP ＝ 180°，整理得 3∠OCP＝120°，∴∠OCP ＝40°； 当 P 在线段 OA 的延长线上(如图②)， ∵ OC ＝ OQ ， ∴ ∠ OQP ＝ (180 ° － ∠QOC)× 1 2 ＝90°－ 1 2 ∠QOC.∵OQ＝PQ， ∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)× 1 2 ＝45°＋ 1 4 ∠QOC. 在△OQP 中 ，30 °＋∠QOC＋ ∠OQP＋∠OPQ＝180°，∴30°＋∠QOC ＋ 90 °－ 1 2 ∠ QOC ＋ 45 °＋ 1 4 ∠ QOC ＝
180°,∴∠QOC=20°,则∠OQP=80° ∠OCP=100° 当P在线段OA的反向延长线上(如图 ③),∵OC=OQ,∴∠OCP=∠OQC (180°-∠COQ) acog og=Pg,∠P=∠PO=20 45°-∠C0Q.∵∠AOC=30°,∴∠COQ +∠POQ=150°,∴∠COQ+45°-元 COQ=150°,∴∠COQ=140°,∴∠OCP (180°-1409) 方法总结:本题通过同圆的半径相等 将圆的问题转化为等腰三角形的问题,是一 种常见的解题方法,还要注意分类讨论思想 的运用 三、板书设计 圆的对称性 1.圆心角、弧、弦之间的关系 2.应用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题 数学反思 本节课的教学策略是通过学生自己动手画 图叠合、观察思考等操作活动,让学生亲身 经历知识的发生、发展及其探求过程,再通 过教师演示动态教具引导,让学生感受圆的 旋转不变性,并得出圆心角、弧、弦三者之 间的关系,能用这一关系定理,解决圆的计 算证明问题,同时注重培养学生的探索能力 和逻辑推理能力,力求体验数学的生活性 趣味性
180°，∴∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°， ∴∠OCP＝100°； 当 P 在线段 OA 的反向延长线上(如图 ③) ，∵OC＝OQ，∴∠OCP ＝∠OQC＝ (180°－∠COQ)× 1 2 ＝90°－ 1 2 ∠COQ.∵ OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ＝ 1 2 ∠OQC＝ 45°－ 1 4 ∠COQ.∵∠AOC＝30°，∴∠COQ ＋∠POQ＝150°，∴∠COQ＋45°－ 1 4 ∠ COQ＝150°，∴∠COQ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)× 1 2 ＝20°. 方法总结：本题通过同圆的半径相等， 将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一 种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想 的运用． 三、板书设计 圆的对称性 1．圆心角、弧、弦之间的关系 2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题 本节课的教学策略是通过学生自己动手画 图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身 经历知识的发生、发展及其探求过程，再通 过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的 旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之 间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计 算证明问题，同时注重培养学生的探索能力 和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、 趣味性