第一章直角三角形的边角关系 、本章知识要点: 1、锐角三角函数的概念 2、解直角三角形。 、本章教材分析: 一)使学生正确理解和掌握三角函数的定义,才能正确理解和掌握直角三角 形中边与角的相互关系,进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角 三角形,因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键而且也 是本章知识的难点。如何解决这一关键问题,教材采取了以下的教学步骤 1.从实际中提出问题,如修建扬水站的实例,这一实例可归结为已知RtΔ的 个锐角和斜边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角 互余中的边与边或角与角的关系无法解出了,因此需要进一步来研究直角三角形 中边与角的相互关系。 2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识,以含30°、 45°的直角三角形为例:揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时,那么这角 的对边与斜边之比就确定比值为1:2,接着以等腰直角三角形为例,说明当一个 锐角确定为45°时,其对边与斜边之比就确定为2:2,同时也说明了锐角的度数 变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由2到2。这 样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系 3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢?教材中应 用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时, 那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值,从而得出了正弦函数和余 弦函数的定义,同理也可得出正切、余切函数的定义。 4.在最开始给出三角函数符号时,应该把正确的读法和写法加强练习,使学 生熟练掌握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生 sinX=60°,sinX=r等错误,要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。如果学生产 生类似的错误,应引导学生重新复习三角函数定义。 5.在总结规律的基础上,要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过 有关的练习加以巩固。在解三角形的过程中,需要会求一般锐角的三角函数值, 并会由已知的三角函数值求对应的角度。为此,教材中安排介绍了查三角函数表 的方法,学生在查表过程中容易出错,尤其是在查余弦、余切表时,特别是在查 表前,应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律 6.从定义总结同角三角函数关系式:在学生熟练掌握定义的基础上,师生共 同来发现如下的同角三角函数关系式,培养学生分析问题、总结规律、发现问题 的习惯和能力
第一章 直角三角形的边角关系 一、本章知识要点： 1、锐角三角函数的概念； 2、解直角三角形。 二、本章教材分析： （一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角 形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角 三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也 是本章知识的难点。如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1. 从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知 RtΔ 的 一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角 互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形 中边与角的相互关系。 2. 教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含 30°、 45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为 30°时，那么这角 的对边与斜边之比就确定比值为 1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个 锐角确定为 45°时，其对边与斜边之比就确定为 ,同时也说明了锐角的度数 变化了,由 30°变为 45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由 到 。这 样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。 3. 从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应 用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时， 那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余 弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。 4. 在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学 生熟练掌握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生 sinX=60°,sinX= 等错误，要讲清 sinA 不是 sin*A 而是一个整体。如果学生产 生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。 5. 在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过 有关的练习加以巩固。在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值， 并会由已知的三角函数值求对应的角度。为此，教材中安排介绍了查三角函数表 的方法，学生在查表过程中容易出错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查 表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律。 6. 从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共 同来发现如下的同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题 的习惯和能力
例如: 2 b sina=c sinb=c COSAEC COSB=C tanA=b tanB=a cota=a cotB= b 有哪些函数的值相等呢?如下 sinA=cosB ∵∠A+∠B=90°cos(90°-B)=sinB ∠A=90°-∠Btan(90°-B)=cotB ∴sin(90°-∠B)= cosB cot(90°-B)=tanB 关于∠A可由学生自己推出 a b 又有:tanA·cotA= b a tanA=eg4cotA=84 a ∵sinA= COsAC
例如： sinA= sinB= cosA= cosB= tanA= tanB= cotA= cotB= 有哪些函数的值相等呢？如下： sinA=cosB ∵∠A+∠B=90° cos(90°-B)=sinB ∠A=90°-∠B tan(90°-B)=cotB ∴sin(90°-∠B)=cosB cot(90°-B)=tanB 关于∠A 可由学生自己推出。 又有: tanA·cotA= tanA= cotA= ∵ sinA= cosA=
四个三角函数的基本性质:根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出 ①正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大,正弦函数(在0°90°) sin0°=0,sin90°=1,正切函数(在0°90°)tan0°,tan90°不存在 ②余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小,余弦函数(0 cos0°=1, cOs90°=0,cos0°不存在,cot90°=1 为了巩固这一部分知识,应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的 练习题如下: 填空 (1)知:a+B=90°,sina=3则cosB= (2)已知:sin27=a,则cos63 (3)已知:tan42°=c,则cot48° 40° ctg42 (4)计算:tan48°+sn50° (90°-4 (5)已知A为锐角,化简:sinA sin 79 (6)已知0°<a<45°,化简cos1*gg(45+)-ctg(45°-a (7)化简 20°-c°s20°)
∴ 四个三角函数的基本性质：根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出： ①正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大，正弦函数（在 0°90°） sin0°=0, sin90°=1,正切函数(在 0°90°)tan0°, tan90°不存在。 ②余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小，余弦函数(0°90°) cos0°=1, cos90°=0，cos0°不存在，cot90°=1. 为了巩固这一部分知识，应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的。 练习题如下： 填空： （1）知：α+β=90°，sinα= 则 cosβ=——. （2） 已知：sin27=a,则 cos63°=___. （3） 已知：tan42°=c, 则 cot48°=__. （4） 计算： tan48°+ ——. （5） 已知 A 为锐角，化简： ——. （6） 已知 O°<α<45°，化简 = ——. （7） 化简： = ——
(8)已知:cosa=0.1756,sinβ=0.1756则锐角α与β之间的关系是 (9)在△ABC中,∠C=90°,如果45°<A<90°,0°<B<45°,那么sin A与cosA较大的是,sinB与cosB中较小的是 (10)已知△ABC中∠C=90°,0°<∠B<45°,那么(sinA-cosA)与(sin B-cosB)中是正数的是。 (11)△ABC中,∠C=90°,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,当b=10 时,sinA=m(m为常数),当b=100时,a、b、c各扩大10倍,sinA (12)△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=8cm,则AC= 判断下列各题是否正确(a角为锐角) (1)sina=cos42°,则a=42°() (2)cota=tan17°,则a=8 (3)cos(90°-a)=sin36°,a=36° (4)tan(90°-a)=cot53°,a=37°() (5)sin40°+sin30°=sin70°() 40 40° 40° 不查表判断下列各式的正负 (1)cot75°() (2)cos42°-cos46°() ()cos46°-cos47°()(4)tan75°-cot14°() (5)sin50°-cos50°()(6)tan50°-sin50°() (二)、解直角三角形 1、解直角三角形是本章重点,正确地选择关系式,先将已知和未知联系起来, 然后进行正确地计算是解直角三角形的关键。 2、解直角三角形的依据有如下公式
（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 则锐角 α 与 β 之间的关系是__。 （9） 在 ΔABC 中，∠C=90°，如果 45°<A<90°，0°<B<45°，那么 sin A 与 cos A 较大的是 ，sin B 与 cos B 中较小的是 。 （10） 已知 ΔABC 中∠C=90°，0°<∠B<45°，那么(sin A–cos A)与 (sin B-cos B)中是正数的是 。 （11）ΔABC 中，∠C=90°，a、b、c 为∠A、∠B、∠C 的对边，当 b=10 时,sinA=m(m 为常数),当 b=100 时,a、b、c 各扩大 10 倍， sinA=___. （12）ΔABC 中,∠B=30°，∠C=45°,AB=8cm,则 AC=___, 判断下列各题是否正确（α 角为锐角） （1）sinα=cos42°,则 α=42° （ ） （2）cotα=tan17°，则 α=83° （ ） （3）cos(90°-α)=sin36°,α=36° ( ) （4）tan(90°-α)=cot53°,α=37° ( ) （5）sin40°+sin30°=sin70° ( ) （6） ( ) 不查表判断下列各式的正负： (1)cot75° ( ) (2)cos42°-cos46° ( ) (3)cos46°-cos47° ( ) (4)tan75°-cot14° ( ) (5)sin50°-cos50° ( ) (6)tan50°-sin50° ( ) （二）、解直角三角形 1、解直角三角形是本章重点，正确地选择关系式，先将已知和未知联系起来， 然后进行正确地计算是解直角三角形的关键。 2、解直角三角形的依据有如下公式：
B ①三边之间关系:a ②角之间关系:∠A+∠B=90° 边角之间关系:sinA=cosB=c;cosA=sinB=;c tanA=cotB=b: cotA=tanB=a 3、直角三角形可解的条件:在两个锐角和三边这五个条件中,必须已知两个独 立的条件且两个条件中至少有一个条件是边。根据可解的条件的分类,可有如下 类型及其解法: a已知两边:两条直角边(a,b)解法:c=va2+b2 tanA=b求∠A ∠B=90°-∠A 斜边和一条直角边(a,c)解法:b=2-a2 用sinA=c求A B=90°-∠A
① 三边之间关系： ② 角之间关系： ∠A+∠B=90° ③ 边角之间关系：sinA=cosB= ；cosA=sinB=； tanA=cotB= ； cotA=tanB= 。 3、直角三角形可解的条件：在两个锐角和三边这五个条件中，必须已知两个独 立的条件且两个条件中至少有一个条件是边。根据可解的条件的分类，可有如下 类型及其解法： a 已知两边：两条直角边（a , b ） 解法：c= tanA= 求∠A ∠B=90°-∠A 斜边和一条直角边( a , c ) 解法： b= 用 sinA= 求 A ∠B=90°-∠A
b一边和一锐角一条直角边和锐角A:∠B=90°-∠A b=2-a2 斜边C和锐角A:∠B=90°-∠A 4、解直角三角形的应用 (1)、解决实际中提出的问题:如测量、航海、工程技术和物理 学中的有关距离、高度、角度的计算,应用中要根据题意,准确画 出图形,从图中确定要解的直角三角形,解直角三角形时,充分使 用原始数据,正确选择关系式,使运算尽可能简便、准确 (2)、在解决实际问题中,仰角俯角:坡度坡角水平距离,垂直 距离等概念,一定要在弄清概念的含意的基础上,辨别出图中这些 概念的位置。 (3)、如果图中无直角三角形,可适当地作垂线,转化为直角三 角形,间接地解出, (4)、在解一些较复杂图形时,注意借助于几何图形的性质,可 使得问题得到解决。 练习题如下: 填空: (1)等腰三角形腰长为10cm,顶角为120°,则三角形底边长为_, 高为,面积为 (2)正三角形边长为2a,则一边上的高线长为 (3)正三角形一边上中线长为3,则边长为_。 (4)正三角形一边长为6,则正三角形外接圆半径R=
b 一边和一锐角 一条直角边和锐角 A: ∠B=90°-∠A b= c= 斜边 C 和锐角 A: ∠B=90°-∠A a=c sinA b= 4、解直角三角形的应用 （1）、解决实际中提出的问题：如测量、航海、工程技术和物理 学中的有关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意，准确画 出图形，从图中确定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使 用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确。 （2）、在解决实际问题中，仰角俯角；坡度坡角水平距离，垂直 距离等概念，一定要在弄清概念的含意的基础上，辨别出图中这些 概念的位置。 （3）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三 角形，间接地解出。 （4）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可 使得问题得到解决。 练习题如下： 1、填空： （1）等腰三角形腰长为 10cm，顶角为 120°，则三角形底边长为 ， 高为 ，面积为 。 （2）正三角形边长为 2a，则一边上的高线长为 。 （3）正三角形一边上中线长为 3，则边长为 。 （4） 正三角形一边长为 6，则正三角形外接圆半径 R=
(5)Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为A、B、C的对边, a+c=4+2√5,∠A=60°,则R=,C= 2、梯形的两底边分别为15cm,5cm,两底角分别为60°,30°。 求梯形的周长。 3、如图电视塔建立在20米高的小山顶上,从水面上一点D测得塔 顶A的仰角为60°,测得塔基B的仰角为30°,求塔高AB。 A B 4、在△ABC中,∠C=90°,a=10,△ABC的面积SA=3,求角A 及边长C。 5、如图,△ABC中CD⊥AB于D,AD=BC=4,cotA=3 求:(1)AC与BD的长;(2)∠B的度数
（5） RtΔABC 中，∠C=90°，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边， a+c=4+ ，∠A=60°，则 R= ，C= 。 2、梯形的两底边分别为 15cm，5cm，两底角分别为 60°，30°。 求梯形的周长。 3、如图电视塔建立在 20 米高的小山顶上，从水面上一点 D 测得塔 顶 A 的仰角为 60°，测得塔基 B 的仰角为 30°，求塔高 AB。 4、在 ΔABC 中，∠C=90°，a=10，ΔABC 的面积 SΔ= ，求角 A 及边长 C。 5、如图，ΔABC 中 CD⊥AB 于 D，AD=BC=4，cotA= ， 求：（1）AC 与 BD 的长；（2）∠B 的度数
6、在△ABC中,∠C=90°,如果cotA=5, 求sinA+sinA·cosA+cosA的值 7、在△ABC中,∠C=90,如果AB=2,tanA=3,求cA+mA的 值
6、在 ΔABC 中，∠C=90°，如果 cotA= ， 求 的值。 7、在 ΔABC 中，∠C=90°，如果 AB=2，tanA= ， 求 的 值