北师版_九年级下册_数学教案_3.8 圆内接正多边形1.doc_大学文库

3.8 圆内接正多边形 1．了解圆内接正多边形的有关概念； (重点) 2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点) 3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点) 一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为 3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得 OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接 OB，OC，过点 O 作 OH⊥BC 于 H，∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC＝ 1 6 ×360°＝60°，∴中心角是 60°.∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝ 3，sin∠ OBC＝ OH OB＝ 3 2 ，∴OB＝BC＝2.∴内角为 180°×（6－2） 6 ＝120°，外角为 60°，周长为 2×6＝12，S 正六边形 ABCDEF＝6S△OBC＝ 6× 1 2 ×2× 3＝6 3. 方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 11 题【类型二】圆内接正多边形的画法如图，已知半径为 R 的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是 120 度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角 ∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接 AB，BC，CA，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；

(3)连接AC,BC,AB,则△ABC为圆方形”、“正六边形”你能得出怎样的结内接正三角形论? 方法三:(1)作直径AD 4)已知正n边形的边长为2a,请写出 (2)以D为圆心,以OA长为半径画弧,它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积交⊙O于B,C (3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆解析:正多边形的边心距、半径、边长内接正三角形方法四:(1)作直径AE; 的一半正好构成直角三角形,根据勾股定理 (2)分别以A,E为圆心,OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D,F,B,C; 就可以求解 (3)连接AB,BC,C(或连接EF,ED, 解:(1)设正三角形ABC的中心为O, DF),则△ABQ或△EFD为圆内接正三角BC切⊙O于点D,连接OB、OD,则 OD⊥BC,BD=DC=a则S瞬环=I·OB2 OD= I 0B--OD- Ⅱ·BD2 E bbB(2)只需测出弦BC或AC,AB)的长 (方法一) 方法三) 方法四) (3)结果一样,即S环=πa2 方法总结:解决正多边形的作图问题 (4)S环=mar2 方法总结:正多边形的计算,一般是过通常可以使用的方法有两大类:度量法、尺中心作边的垂线连接半径把内切圆半径、规作图法;其中度量法可以画出任意的多边外接圆半径、边心距,中心角之间的计算转形,而尺规作图只能作出一些特殊的正多边化为解直角三角形形,如边数是3、4的整数倍的正多边形变式训练:见《学练优》本课时练习“课变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题后巩固提升”第5题【类型四】圆内接正多边形的实际运【类型三】正多边形外接圆与内切圆甩的综合 4如图①,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形 ABCDE(如图 ②),点O为中心(下列各题结果精确到 0.lm). (1)求地基的中心到边缘的距离 (2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最如图,已知正三角形的边长为2a 窄处为1.6m的观光通道,问塑像底座的半 (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环径最大是多少? 的面积 (2)根据计算结果,要求圆环的面积,只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积? (3)将条件中的“正三角形”改为“正

(3)连接 AC，BC，AB，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径 AD； (2)以 D 为圆心，以 OA 长为半径画弧，交⊙O 于 B，C； (3)连接 AB，BC，CA，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径 AE； (2)分别以 A，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点 D，F，B，C； (3)连接 AB，BC，CA(或连接 EF，ED， DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是 3、4 的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 5 题【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为 2a. (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正 n 边形的边长为 2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．解：(1)设正三角形 ABC 的中心为 O， BC 切⊙O 于点 D，连接 OB、OD，则 OD⊥BC，BD＝DC＝a.则 S 圆环＝π·OB2－ π·OD2＝π OB2－OD2 ＝π·BD2＝ πa 2 ； (2)只需测出弦 BC(或 AC，AB)的长； (3)结果一样，即 S 圆环＝πa 2 ； (4)S 圆环＝πa 2 . 方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题【类型四】圆内接正多边形的实际运用如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图 ②)，点 O 为中心(下列各题结果精确到 0.1m)． (1)求地基的中心到边缘的距离； (2)已知塔的墙体宽为 1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为 1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？