39弧长及扇形的面积 学同目标 1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握 它们的应用;(重点) nI R 2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n”的圆心角所对的弧长V180和扇形面 积S=360的计算公式,并应用这些公式解决一些间题,(难点) 、情境导入 如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°你能求出这 段铁轨的长度吗(π取3.14)? 我们容易看出这段铁轨是圆周长的所以铁轨的长度2×314×10157(米).如果 圆心角是任意的角度,如何计算它所对的弧长呢? 二、合作探究 探究点一:弧长公式 【类型一】求弧长 例如图,某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒,需将“蘑菇罐头”字样贴在 罐头侧面.为了获得较佳视觉效果,字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑 菇罐头”字样的长度为() 蘑菇罐头 7π A.cmB.-cmC.cmD.7πcm 解析:∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,∴此弧所对的圆心角为90°由题意 90T 可得R=m,则“蘑菇罐头”字样的长 1804cm)·故选B 方法总结:解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径,代入弧长公式进行计算
3.9 弧长及扇形的面积 1．了解扇形的概念，理解 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握 它们的应用；(重点) 2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n°的圆心角所对的弧长 l＝ nπR 180 和扇形面 积 S 扇＝ nπR 2 360 的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点) 一、情境导入 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 100 米，圆心角为 90°.你能求出这 段铁轨的长度吗(π 取 3.14)? 我们容易看出这段铁轨是圆周长的1 4 ，所以铁轨的长度 l≈ 2×3.14×100 4 ＝157(米). 如果 圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？ 二、合作探究 探究点一：弧长公式 【类型一】 求弧长 如图，某厂生产横截面直径为 7cm 的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在 罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为 90°，则“蘑 菇罐头”字样的长度为( ) A. π 4 cm B. 7π 4 cm C. 7π 2 cm D．7πcm 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90°，∴此弧所对的圆心角为 90°.由题意 可得 R＝ 7 2 cm，则“蘑菇罐头”字样的长＝ 90π× 7 2 180 ＝ 7π 4 (cm)．故选 B. 方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用弧长公式求半径或圆心鱼 例2(1)已知扇形的圆心角为45°,弧长等于,则该扇形的半径是 (2)如果一个扇形的半径是1,弧长是2,那么此扇形的圆心角的大小为 45×π×RT 解析:(1)若设扇形的半径为R,则根据题意,得 180 解得R=2;(2)根据弧 n×TX1T 长公式得180=3,解得n=60,故扇形因心角的大小为60°故答案分别为2:;60 方法总结:逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题 【类型三】國的切线与弧长公式的综合 3如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D (1)求证:AE是⊙O的切线 (2)当BC=4,AB=8时,求劣弧AC的长 解析:(1)连接BC,由AB是⊙O的直径,根据半圆或直径所对的囻周角是直角,可得 ∠ACB=90°,又由∠EAC=∠D,则可得AE是⊙O的切线;(2)首先连接OC,易得∠ABC 60°,则可得∠AOC=120°,由弧长公式,即可求得劣弧AC的长 (1)证明:如图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠BAC+∠ABC=90°又∵∠EAC ∠D,∠B=∠D,∴∠BAC+∠CAE=90°,即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线 (2解:如图,连接OC,…∵△ABC是直角三角形,:sn∠BAC=BC=4=1,∴:∠BAC 120·Ⅱ×4 ∠ABC=60°,∴∠AOC=120°∴劣弧AC的长 180 方法总结:此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识.注意数形结合思 想的应用,注意辅助线的作法 探究点二:扇形的面积公式 【类型一】求扇形面积 例4一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为 (结果保留
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 1 题 【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角 (1)已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π 2 ，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是 1，弧长是π 3 ，那么此扇形的圆心角的大小为________． 解析：(1)若设扇形的半径为 R，则根据题意，得 45×π×R 180 ＝ π 2 ，解得 R＝2；(2)根据弧 长公式得 n×π×1 180 ＝ π 3 ，解得 n＝60，故扇形圆心角的大小为 60°.故答案分别为 2；60°. 方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2 题与第 4 题 【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，点 E 在⊙O 外，∠EAC＝∠D. (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)当 BC＝4，AB＝8 时，求劣弧 AC 的长． 解析：(1)连接 BC，由 AB 是⊙O 的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得 ∠ACB＝90°，又由∠EAC＝∠D，则可得 AE 是⊙O 的切线；(2)首先连接 OC，易得∠ABC ＝60°，则可得∠AOC＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧 AC 的长． (1)证明：如图，连接 BC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAC＋∠ABC＝90°.又∵∠EAC ＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，即 BA⊥AE，∴AE 是⊙O 的切线； (2)解：如图，连接 OC，∵△ABC 是直角三角形，∴sin∠BAC＝ BC AB＝ 4 8 ＝ 1 2 ，∴∠BAC ＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.∴劣弧 AC 的长＝120·π×4 180 ＝ 8π 3 . 方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思 想的应用，注意辅助线的作法． 探究点二：扇形的面积公式 【类型一】 求扇形面积 一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的面积为________(结果保留 π)．
n2120×32 解析:把圆心角和半径代入扇形面积公式S= =3π故答案为3T 360 方法总结:公式中涉及三个字母,只要知道其中两个,就可以求出第三个.扇形面积还 有另外种求法S=5,其中是弧长,r是半径 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】求阴影部分的面积 例5如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是AB的中点,连接AC、 BC,则图中阴影部分的面积是() 3 B.2丌-2 解析:连接OC,过O作OM⊥AC于M∴∠AOB=120°,C为AB中点∴∠AOC=∠BOC 609:OA=OC=OB=2,∴AOC、△BOC是等边三角形,AC=BC=OA=2,AM=1 AOC的边AC上的高OM=2-12=3,4BOC边BC上的高为,阴影部分的面积 60×22 是( 3602 ×2×√3)×2 4.2故选A 方法总结:本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质,解决此 题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】求不规则图形的面积 例6如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧 围成的“叶状”阴影图案的面积为() A.4丌-2
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式 S＝ nπr 2 360 ＝ 120×3 2π 360 ＝3π.故答案为 3π. 方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还 有另外一种求法 S＝ 1 2 lr，其中 l 是弧长，r 是半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 5 题 【类型二】 求阴影部分的面积 如图，扇形 AOB 中，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，C 是AB ︵ 的中点，连接 AC、 BC，则图中阴影部分的面积是( ) A. 4π 3 －2 3 B．2π－2 3 C.4π 3 － 3 D. 2π 3 － 3 解析：连接 OC，过 O 作 OM⊥AC 于 M，∵∠AOB＝120°，C 为AB ︵ 中点，∴∠AOC＝∠BOC ＝60°.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC 是等边三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1， ∴△AOC 的边 AC 上的高 OM＝ 2 2－1 2＝ 3，△BOC 边 BC 上的高为 3，∴阴影部分的面积 是( 60π×2 2 360 － 1 2 ×2× 3)×2＝ 4π 3 －2 3.故选 A. 方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此 题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型三】 求不规则图形的面积 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两种弧 围成的“叶状”阴影图案的面积为( ) A．4π－2
B.2Ⅱ-2 C.4丌-4 90×22 解析:连接AB,由题意得阴影部分面积=2(S扇形AOB-SAoB)=2 -×2×2)=2 T-4故选D 方法总结:关键是需要同学们仔细观察图形,将不规则图形的面积转化为规则图形的面 积的和或差 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 三、板书设计 弧长及扇形的面积 I R 1.弧长公式:l nI R 2.扇形的面积公式:S形=360 错课!未定义书签。IR 数学反思 本节课的授课思路是:复习圆周长公式,推出弧长公式,由圆面积公式类比导出扇形面积公 式.使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中,获取广泛的数学活动经 验,进而促进自身的主动发展
B．2π－2 C．4π－4 D．2π－4 解析：连接 AB，由题意得阴影部分面积＝2(S 扇形 AOB－S△AOB)＝2( 90π×2 2 360 － 1 2 ×2×2)＝2 π－4.故选 D. 方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面 积的和或差． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 三、板书设计 弧长及扇形的面积 1．弧长公式：l＝ nπR 180 2．扇形的面积公式：S 扇形＝ nπR 2 360 ＝ 2 1 错误!未定义书签。lR 本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积公 式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经 验，进而促进自身的主动发展