25二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 学司目标 1己知二次函数y=2x 的图象与 1.经历探索二次函数与一元二次方程 的关系的过程,体会方程与函数之间的联 系:(重点) 解析:y=2x2-4x-6=2(x2-2x-3)= 2.理解二次函数与x轴交点的个数与 一元二次方程的根的关系,理解何时方程有4(x-3)(x+1),设2(x-3)(x+1)=0,解得 两个不等的实根、两个相等的实根和没有实 根;(重点) x1=3,x=-1,∴它的图象与x轴交点的坐 3.通过观察二次函数与x轴交点的个 数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步 标是(3,0),(-1,0).故答案为(3,0),(- 培养学生的数形结合思想.(难点) 方法总结:抛物线与x轴的交点的横坐 数学心程 、情境导入 标,就是二次函数为0时,一元二次方程的 个涵洞成抛物线形,它的截面如图所 示,现测得,当水面宽AB=16m时,涵洞解 顶点与水面的距离OC=24m当水位上升 变式训练:见《学练优》本课时练习 定高度到达点F时,这时,离水面距离堂达标训练”第6题 CF=1.5m,则涵洞宽ED是多少?是否会超 【类型二】判断抛物线与x轴交点的 过 2已知关于x的二次函数y=mx2 (1)求证:此抛物线与x轴总有两个交 (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且 它们的横坐标都是整数,求正整数m的值 根据已知条件,要求ED宽,只要求出 FD的长度.在如图所示的直角坐标系中 解析:(1)只需证明Δ=(m+2)2 只要求出点D的横坐标即可 由已知条件可得到点D的纵坐标,又因4m×2≥0即可;(2)利用因式分解法求得抛 为点D在涵洞所成的抛物线上,所以利用抛 物线的函数关系式可以进一步算出点D的物线与x轴交点的横坐标,然后根据x的值 横坐标.你会求吗? 二、合作探究 来求正整数m的值. 探究点一:二次函数与一元二次方程 (1)证明:∵m≠0,∴△=(m+2) 【类型一】求抛物线与x轴的交点坐4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∴(m 2)2≥0,∴△≥0,∴此抛物线与x轴总有两
2.5 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 1．经历探索二次函数与一元二次方程 的关系的过程，体会方程与函数之间的联 系；(重点) 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与 一元二次方程的根的关系，理解何时方程有 两个不等的实根、两个相等的实根和没有实 根；(重点) 3．通过观察二次函数与 x 轴交点的个 数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步 培养学生的数形结合思想．(难点) 一、情境导入 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所 示．现测得，当水面宽 AB＝1.6m 时，涵洞 顶点与水面的距离 OC＝2.4m.当水位上升 一定高度到达点 F 时，这时，离水面距离 CF＝1.5m，则涵洞宽 ED 是多少？是否会超 过 1m? 根据已知条件，要求 ED 宽，只要求出 FD 的长度．在如图所示的直角坐标系中， 只要求出点 D 的横坐标即可． 由已知条件可得到点 D 的纵坐标，又因 为点 D 在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛 物线的函数关系式可以进一步算出点 D 的 横坐标．你会求吗？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与 x 轴的交点坐 标 已知二次函数 y＝2x 2－4x－6，它 的图象与 x 轴交点的坐标是 ________________． 解析：y＝2x 2－4x－6＝2(x 2－2x－3)＝ 2(x－3)(x＋1)，设 2(x－3)(x＋1)＝0，解得 x1＝3，x2＝－1，∴它的图象与 x 轴交点的坐 标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－ 1，0)． 方法总结：抛物线与 x 轴的交点的横坐 标，就是二次函数为 0 时，一元二次方程的 解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 判断抛物线与 x 轴交点的 个数 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－ (m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交 点； (2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且 它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 解析： (1) 只需证明Δ ＝ (m ＋ 2)2 － 4m×2≥0 即可；(2)利用因式分解法求得抛 物线与 x 轴交点的横坐标，然后根据 x 的值 来求正整数 m 的值． (1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－ 4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2 .∵(m－ 2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与 x 轴总有两
个交点 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (2)解:令y=0,则(x-1)mx-2)=0,后巩固提升”第5题 所以x-1=0或mx-2=0,解得x1=1, 【类型四】二次函数与二元二次方程 二.当m为正整数1或2时,x为整数, 的判别式、根与系数的关系的综合 例4已知:抛物线y=x2+ax+a-2 即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横 (1)求证:不论a取何值时,抛物线y= 坐标都是整数.所以正整数m的值为1或x2+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点 (2)设这个二次函数的图象与x轴相交 于A(x1,0),B(x2,0),且x、x的平方和 方法总结:解答本题的关键是明确当根为3,求a的值 的判别式△≥0抛物线与x轴有两个交点 解析:(1)利用关于x的一元二次方程 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第8题 x2+ax+a-2=0的根的判别式的符号进行 【类型三】已知抛物线与x轴的交点 求字母系数的取值范围 证明;(2)利用根与系数的关系写出x1、x 例3己知函数y=(k-3)x2+2x+1的 图象与x轴有交点,求k的取值范围 的平方和是x1+x2=(x1+x2)2-2xx2=a2 解析:应分k-3=0和k-3≠0两种情2a+4=3,由此可以求得a的值 况进行讨论,(1)当k-3=0即k=3时,此 (1)证明:∵△=a2-4(a-2)=(a-2) 4>0,∴不论a取何值时,抛物线y=x2 ax+a-2与x轴都有两个不同的交点 函数是一次函数;(2)当k-3≠0,即k≠3 (2)解:∵x1+x= 时,此函数是二次函数,根据函数图象与x ∴x+x2=(x+x2)2-2x1·x2=a2-2a+4= 3 轴有交点可知△=b2-4ac≥0,求出k的取 方法总结:判断元二次方程与x轴的 值范围即可 交点,只要看根的判别式的符号即可,而要 解:当k=3时,函数y=2x+1是一次 函数.∵一次函数y=2x+1与x轴有一个 判断元二次方程根的情况,要利用根与系 交点,∴k=3; 当k≠3时,F=(k-3)x2+2x+1是二次数关系 函数.∴二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac≥0.∵b2-后巩固提升”第6题 4ac=22-4(k-3)=-4k+16, 4k+ 16≥0.∴k≤4且k≠3 综上所述,k的取值范围是k≤4 探究点二:利用二次函数解决运动中的 方法总结:由于k的取值范围不能确定 抛物线问题 5如图,足球场上守门员在O处开 所以解决本题的关键是要注意分类讨论,不一高球,球从离地面1米的A处飞出(4 在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处 要漏解 发现球在自己头的正上方达到最高点M,距
个交点； (2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0 或 mx－2＝0，解得 x1＝1， x2＝ 2 m .当 m 为正整数 1 或 2 时，x2 为整数， 即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横 坐标都是整数．所以正整数 m 的值为 1 或 2. 方法总结：解答本题的关键是明确当根 的判别式Δ≥0 抛物线与 x 轴有两个交点． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 已知抛物线与 x 轴的交点 个数，求字母系数的取值范围 已知函数 y＝(k－3)x 2＋2x＋1 的 图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 解析：应分 k－3＝0 和 k－3≠0 两种情 况进行讨论，(1)当 k－3＝0 即 k＝3 时，此 函数是一次函数；(2)当 k－3≠0，即 k≠3 时，此函数是二次函数，根据函数图象与 x 轴有交点可知Δ＝b 2－4ac≥0，求出 k 的取 值范围即可． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次 函数．∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个 交点，∴k＝3； 当 k≠3 时，y＝(k－3)x 2＋2x＋1 是二次 函数．∵二次函数 y＝(k－3)x 2＋2x＋1 的图 象与 x 轴有交点，∴Δ＝b 2－4ac≥0.∵b 2－ 4ac＝2 2－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋ 16≥0.∴k≤4 且 k≠3. 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. 方法总结：由于k的取值范围不能确定， 所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不 要漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 【类型四】 二次函数与一元二次方程 的判别式、根与系数的关系的综合 已知：抛物线 y＝x 2＋ax＋a－2. (1)求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝ x 2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与 x 轴相交 于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和 为 3，求 a 的值． 解析：(1)利用关于 x 的一元二次方程 x 2＋ax＋a－2＝0 的根的判别式的符号进行 证明；(2)利用根与系数的关系写出 x1、x2 的平方和是 x 2 1＋x 2 2＝(x1＋x2) 2－2x1x2＝a 2－ 2a＋4＝3，由此可以求得 a 的值． (1)证明：∵Δ＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2 ＋4＞0，∴不论 a 取何值时，抛物线 y＝x 2 ＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x 2 1＋x 2 2＝(x1＋x2) 2－2x1·x2＝a 2－2a＋4＝ 3，∴a＝1. 方法总结：判断一元二次方程与 x 轴的 交点，只要看根的判别式的符号即可，而要 判断一元二次方程根的情况，要利用根与系 数关系． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 探究点二：利用二次函数解决运动中的 抛物线问题 如图，足球场上守门员在 O 处开 出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处 发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距
地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实 验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的或y=-12+x+1: 抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大 高度的一半 (2)令y=0,则-12(x-6)2+4=0 (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该 所以(x-6)2=48,所以x1=43+6≈ 抛物线的表达式 13,x2=-4√3+6<0舍去 (2)足球第一次落地点C距守门员多少 所以足球第一次落地距守门员约13米 米取43=7)? (3)如图,第二次足球弹出后的距离为 (3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应CD,根据题意:CD=EF(即相当于将抛物 再向前跑多少米(取26=5)? 线 AEMFC向下平移了2个单位 所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6 所以CD=x-x=46≈10 所以BD=13-6+10=17(米) 解析:要求足球开始飞出到第一次落地 方法总结:解决此类问题的关键是先进 时,抛物线的表达式,则需要根据已知条件行数学建模,将实际问题中的条件转化为数 确定点A和顶点M的坐标,因为OA 学问题中的条件.常有两个步骤:(1)根据题 OB=6,BM=4,所以点A的坐标为(0,1),意得出二次函数的关系式,将实际问题转化 顶点M的坐标是6,4).根据顶点式可求得为纯数学问题;(2)应用有关函数的性质作 抛物线关系式因为点C在x轴上,所以要答 、板书设计 求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0代 次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 入函数关系式通过解方程求得OC的长要 2利用二次函数解决运动中的抛物线问题 计算运动员乙要抢到第二个落点D,他应再 向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解本节课注意发挥学生的主体作用,让学生通 过自主探究、合作学习来主动发现问题、提 的方法有多种 出问题、解决问题,实现师生互动,通过这 解:(1)设第一次落地时,抛物线的表达样的教学实践取得一定的教学效果,再次认 式为y=a(x-6)2+4 识到教师不仅要教给学生知识,更要培养学 由已知:当x=0时,y=1,即1=36a生良好的数学素养和学习习惯,让学生学会 +4,所以a=-12 学习,使他们能够在独立思考与合作学习交 流中解决学习中的问题 所以函数表达式为y==12(x-6)2+4
地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实 验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的 抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大 高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该 抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点 C 距守门员多少 米(取 4 3＝7)? (3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应 再向前跑多少米(取 2 6＝5)? 解析：要求足球开始飞出到第一次落地 时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件 确定点 A 和顶点 M 的坐标，因为 OA＝1， OB＝6，BM＝4，所以点 A 的坐标为(0，1)， 顶点 M 的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得 抛物线关系式．因为点 C 在 x 轴上，所以要 求 OC 的长，只要把点 C 的纵坐标 y＝0 代 入函数关系式，通过解方程求得 OC 的长．要 计算运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再 向前跑多少米，实际就是求 DB 的长．求解 的方法有多种． 解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达 式为 y＝a(x－6)2＋4， 由已知：当 x＝0 时，y＝1，即 1＝36a ＋4，所以 a＝－ 1 12. 所以函数表达式为 y＝－ 1 12(x－6)2＋4 或 y＝－ 1 12x 2＋x＋1； (2)令 y＝0，则－ 1 12(x－6)2＋4＝0， 所以(x－6)2＝48，所以 x1＝4 3＋6≈ 13，x2＝－4 3＋6<0(舍去)． 所以足球第一次落地距守门员约13米； (3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物 线 AEMFC 向下平移了 2 个单位)． 所以 2＝－ 1 12(x－6)2＋4，解得 x1＝6－ 2 6，x2＝6＋2 6， 所以 CD＝|x1－x2|＝4 6≈10. 所以 BD＝13－6＋10＝17(米)． 方法总结：解决此类问题的关键是先进 行数学建模，将实际问题中的条件转化为数 学问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题 意得出二次函数的关系式，将实际问题转化 为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作 答． 三、板书设计 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题 本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通 过自主探究、合作学习来主动发现问题、提 出问题、解决问题，实现师生互动，通过这 样的教学实践取得一定的教学效果，再次认 识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学 生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会 学习，使他们能够在独立思考与合作学习交 流中解决学习中的问题