34圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角和圆心角的关系 鲁习目标 方法总结:解决问题的关键是熟练掌握 1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的 圆周角定理 两个特征、定理的内容及简单应用;(重点) 2.能运用圆周角定理及其推论进行简 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 单的证明计算.(难点) 堂达标训练”第2题 【类型二】利用圆周角定理的推论求 角的度数 、情境导入 O 在下图中,当球员在B,DE处射门时, 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角 ∠ABC,∠ADC,∠AEC这三个角的大小 有什么关系? 2如图,在⊙O中,AB 30°,则∠B=() b 解析:因为AB=AC,根据“同弧或等 二、合作探究 弧所对的圆周角相等”得到∠B=∠C,因 探究点:圆周角定理及其推论 【类型一】利用圆周角定理求角的度 为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠B 数 例1如图,已知CD是⊙O的直径 =180°,又因为∠A=30°,所以30°+2∠B 过点D的弦DE平行于半径OA,若∠D的 度数是50°,则∠C的度数是() =180°,解得∠B=75°故选B. B.30°C.40°D.50° 方法总结:解题的关键是掌握在同圆或 等圆中,相等的两条弧所对的圆周角也相 等.注意方程思想的应用 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 解析:∵OA∥DE,∠D=50°,∴∠AOD 堂达标训练”第8题 50°∠C=∠AOD,∴∠C=×50°=25 【类型三】圆周角定理与垂径定理的 合 故选A 例3如图所示,AB是⊙O的一条弦 OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,E
3.4 圆周角和圆心角的关系 第 1 课时 圆周角和圆心角的关系 1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的 两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简 单的证明计算．(难点) 一、情境导入 在下图中，当球员在 B, D, E 处射门时， 他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角 ∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小 有什么关系？ 二、合作探究 探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角的度 数 如图，已知 CD 是⊙O 的直径， 过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的 度数是 50°，则∠C 的度数是( ) A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C＝ 1 2 ∠AOD，∴∠C＝ 1 2 ×50°＝25°. 故选 A. 方法总结：解决问题的关键是熟练掌握 圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 2 题 【类型二】 利用圆周角定理的推论求 角的度数 如图，在⊙O 中，AB ︵ ＝AC ︵ ，∠A ＝30°，则∠B＝( ) A．150° B．75° C．60° D．15° 解析：因为AB ︵ ＝AC ︵ ，根据“同弧或等 弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因 为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B ＝180°，又因为∠A＝30°，所以 30°＋2∠B ＝180°，解得∠B＝75°.故选 B. 方法总结：解题的关键是掌握在同圆或 等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相 等．注意方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的 综合 如图所示，AB 是⊙O 的一条弦， OD⊥AB，垂足为点 C，交⊙O 于点 D，E
在⊙O上 (1)∠AOD=52°,求∠DEB的度数 解析:由点B是CD的中点,得∠BCE (2)若AC=V,CD=1,求⊙O的半径 ∠BAC,即可得∠BEC=∠ACB,然后由 等腰三角形的性质,证得结论 证明:∵B是CD的中点,∴BC=BD, ∴∠BCE=∠BAC.∴∠BEC=180°-∠B ∠BCE,∠ACB=180°-∠BAC-∠B 解析:(1)由OD⊥AB,根据垂径定理的 ∠BEC=∠ACB.∵AB=AC ∠ACB,∴∠B=∠BEC 推论可求得AD=BD,再由圆周角定理及其 方法总结:此题考查了圆周角定理的推 推论求∠DEB的度数;(2)首先设⊙O的半 论以及等腰三角形的性质.解答时一定要结 径为x,然后由勾股定理得到方程解答 解:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB 合图形 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 ∴AD=BD,∴∠DEB=∠AOD=×52 后巩固提升”第7题 =26°; 【类型五】圆周角定理的推论与三角 (2)设⊙O的半径为x,则OC=OD-CD形知识的综合 x-1.OC2+AC=O42,∴(x-1)2+ 5如图,A、P、B、C是⊙O上四点 (√7)2=x2,解得x ⊙O的半径为4且∠APC=∠CPB=60°连接AB、BC、AC 方法总结:本题综合考查了圆周角定理 及其推论、垂径定理以及勾股定理.注意掌 握数形结合思想与方程思想的应用 (1)试判断△ABC的形状,并给予证明 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (2)求证:CP=BP+AP 堂达标训练”第3题 【类型四】圆周角定理的推论与圆心 解析:(1)利用圆周角定理可得∠BAC= 弧、弦之间的关系的综合 4如图,△ABC内接于⊙O,AB ∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB AC,点D在弧AB上,连接CD交AB于点 =60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可 E,点B是CD的中点,求证:∠B=∠BEC 判断△ABC的形状;(2)在PC上截取PD= AP,则△APD是等边三角形,然后证明 D △APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得 (1)解:△ABC是等边三角形.证明如
在⊙O 上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数； (2)若 AC＝ 7，CD＝1，求⊙O 的半径． 解析：(1)由 OD⊥AB，根据垂径定理的 推论可求得AD ︵ ＝BD ︵ ，再由圆周角定理及其 推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半 径为 x，然后由勾股定理得到方程解答． 解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB， ∴AD ︵ ＝BD ︵ ，∴∠DEB＝ 1 2 ∠AOD＝ 1 2 ×52° ＝26°； (2)设⊙O 的半径为 x，则 OC＝OD－CD ＝x－1.∵OC2 ＋AC2 ＝OA2 ，∴(x－1)2 ＋ ( 7) 2＝x 2，解得 x＝4，∴⊙O 的半径为 4. 方法总结：本题综合考查了圆周角定理 及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌 握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型四】 圆周角定理的推论与圆心 角、弧、弦之间的关系的综合 如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝ AC，点 D 在弧 AB 上，连接 CD 交 AB 于点 E，点 B 是CD ︵ 的中点，求证：∠B＝∠BEC. 解析：由点 B 是CD ︵ 的中点，得∠BCE ＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由 等腰三角形的性质，证得结论． 证明：∵B 是CD ︵ 的中点，∴BC ︵ ＝BD ︵ ， ∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B －∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B， ∴∠BEC＝∠ACB.∵AB ＝AC，∴∠B ＝ ∠ACB，∴∠B＝∠BEC. 方法总结：此题考查了圆周角定理的推 论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结 合图形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题 【类型五】 圆周角定理的推论与三角 形知识的综合 如图，A、P、B、C 是⊙O 上四点， 且∠APC＝∠CPB＝60°.连接 AB、BC、AC. (1)试判断△ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CP＝BP＋AP. 解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝ ∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可 判断△ABC 的形状；(2)在 PC 上截取 PD＝ AP，则△APD 是等边三角形，然后证明 △APB≌△ADC，证明 BP＝CD，即可证得． (1)解：△ABC 是等边三角形．证明如
∴∠BAE=∠CBE.∴∠E=∠E(公共角) 下:在⊙O中,∴∠BAC与∠CPB是BC所△BDE∽△ABE,∴BE:AE=DE:BE,∴ BE=AE. DE 对的圆周角,∠ABC与∠APC是AC所对的 圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC 方法总结:圆周角定理的推论是和角有 又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC ∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形; 关系的定理,所以在囻中,解决相似三角形 (2)证明:在PC上截取PD=AP,连接 AD.又∵∠APC=60°,∴△APD是等边三 的问题常常考虑此定理 角形,∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即 三、板书设计 ∠ADC=120°又∵∠APB=∠APC+ 圆周角和圆心角的关系 BPC=120°,∴∠ADC=∠APB在△APB 圆周角的概念 ∠APB=∠ADC 2.圆周角定理 和△ADC中,∠ABP=∠ACD,∴△APB 3.圆周角定理的推论 AP=AD 数学反思 ≌△ADC(AAS),∴BP=CD又∵PD=AP,本节课的重点是圆周角与圆心角的关系,难 ∴CP=BP+AP 点是应用所学知识灵活解题.在本节课的教 学中,学生对圆周角的概念和“同弧所对的 方法总结:本题考查了圆周角定理的理圆周角相等”这一性质较容易掌握,理解起 论以及三角形的全等的判定与性质,正确作来问题也不大,而对圆周角与圆心角的关系 理解起来则相对困难,因此在教学过程中要 出辅助线是解决问题的关键 着重引导学生对这一知识的探索与理解.还 有些学生在应用知识解决问题的过程中往 【类型六】圆周角定理的推论与相似往会忽略同弧的问题,在教学过程中要对此 三角形的综合 予以足够的强调,借助多媒体加以突出 例6如图,点E是BC的中点,点A在 ⊙O上,AE交BC于D求证:BE2=AEDE 解析:点E是BC的中点,根据圆周角 定理的推论可得∠BAE=∠CBE,可证得 △BDE∽△ABE,然后由相似三角形的对应 边成比例得结论 证明:∵点E是BC的中点,即BE=CE
下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵ 所 对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵ 所对的 圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝ ∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形； (2)证明：在 PC 上截取 PD＝AP，连接 AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD 是等边三 角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即 ∠ADC＝120°. 又∵∠APB ＝∠APC＋∠ BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB 和△ADC 中， ∠APB＝∠ADC， ∠ABP＝∠ACD， AP＝AD， ∴△APB ≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP， ∴CP＝BP＋AP. 方法总结：本题考查了圆周角定理的理 论以及三角形的全等的判定与性质，正确作 出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似 三角形的综合 如图，点 E 是BC ︵ 的中点，点 A 在 ⊙O 上，AE 交 BC 于 D.求证：BE2＝AE·DE. 解析：点 E 是BC ︵ 的中点，根据圆周角 定理的推论可得∠BAE＝∠CBE，可证得 △BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应 边成比例得结论． 证明：∵点 E 是BC ︵ 的中点，即BE ︵ ＝CE ︵ ， ∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，∴ △BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴ BE2＝AE·DE. 方法总结：圆周角定理的推论是和角有 关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形 的问题常常考虑此定理． 三、板书设计 圆周角和圆心角的关系 1．圆周角的概念 2．圆周角定理 3．圆周角定理的推论 本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难 点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教 学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的 圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起 来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系 理解起来则相对困难，因此在教学过程中要 着重引导学生对这一知识的探索与理解．还 有些学生在应用知识解决问题的过程中往 往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此 予以足够的强调，借助多媒体加以突出