3.6直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质 学习目标 求线段的长或取值范围 圆2在Rt△ABC中,∠C=90°,AC 1.理解直线和圆的相交、相切、相离BC,CD⊥AB于点D,若以点C为圆心, 三种位置关系:(重点) 以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,那么 2.掌握直线和圆的三种位置关系的判BC的长等于() 定方法:(难点) A. 2cm B 3.掌握切线的性质定理,会用切线的 C.2√3cmD.4cm 性质解决问题.(重点) 解析:如图所示,:在Rt△ABC中,∠C 90°,AC=BC,CD⊥AB,∴△ABC是等腰 、情境导入 直角三角形 在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作 圆,在纸上移动硬币,你能发现直线与圆的 公共点个数的变化情况吗?公共点个数最 少时有几个?最多时有几个? 、合作探究 探究点一:直线和圆的位置关系 【类型一】判定直线和圆的位置关系 以点C为圆心,以2cm长为半径的圆 1己知⊙O半径为3,M为直线AB 上一点,若MO=3,则直线AB与⊙O的位与斜边AB相切,CD=2cm:∠B=45° 置关系为() A.相切B.相交 CD= BD=2cm,. BC=\CD+BD2= C.相切或相离D.相切或相交 2222Vcm).故选B 解析:因为垂线段最短,所以圆心到直 方法总结:解决问题的关键是根据题意 线的距离小于等于3,则直线和圆相交、相 画出图形,利用直线和圆的三种位置关系解 切都有可能.故选D 答 方法总结:判断直线和圆的位置关系 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 必须明确圆心到直线的距离特别注意:这后巩固提升”第2题 【类型三】在平面直角坐标系中,解 里的3不一定是圆心到直线的距离 决直线和圆的位置关系的问题 3如图,在平面直角坐标系中,已 变式训练:见《学练优》本课时练习“课知⊙O的半径为1,动直线AB与x轴交于 堂达标训练”第3题 点P(x,0),且满足直线AB与x轴正方向夹 【类型二】根据直线和圆的位置关系,角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则
3.6 直线和圆的位置关系 第 1 课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 1．理解直线和圆的相交、相切、相离 三种位置关系；(重点) 2．掌握直线和圆的三种位置关系的判 定方法； (难点) 3．掌握切线的性质定理，会用切线的 性质解决问题．(重点) 一、情境导入 在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作 圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的 公共点个数的变化情况吗？公共点个数最 少时有几个？最多时有几个？ 二、合作探究 探究点一：直线和圆的位置关系 【类型一】 判定直线和圆的位置关系 已知⊙O 半径为 3，M 为直线 AB 上一点，若 MO＝3，则直线 AB 与⊙O 的位 置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交 解析：因为垂线段最短，所以圆心到直 线的距离小于等于 3，则直线和圆相交、相 切都有可能．故选 D. 方法总结：判断直线和圆的位置关系， 必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这 里的 3 不一定是圆心到直线的距离． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 根据直线和圆的位置关系， 求线段的长或取值范围 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC，CD⊥AB 于点 D，若以点 C 为圆心， 以 2cm 长为半径的圆与斜边 AB 相切，那么 BC 的长等于( ) A．2cm B．2 2cm C．2 3cm D．4cm 解析：如图所示，∵在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC 是等腰 直角三角形． ∵以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径的圆 与斜边 AB 相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45°，∴ CD ＝ BD ＝ 2cm， ∴ BC＝ CD2＋BD2 ＝ 2 2＋2 2＝2 2(cm)．故选 B. 方法总结：解决问题的关键是根据题意 画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解 答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 在平面直角坐标系中，解 决直线和圆的位置关系的问题 如图，在平面直角坐标系中，已 知⊙O 的半径为 1，动直线 AB 与 x 轴交于 点 P(x，0)，且满足直线 AB 与 x 轴正方向夹 角为 45°，若直线 AB 与⊙O 有公共点，则
x的取值范围是() A.-1≤x≤1B.-V<x<√2 可得关于x的方程,求出x的值 C.0≤x≤2D.-V≤x≤√2 解:如图,连接OA,∵PA切⊙O于A 点,∴OA⊥PA⊥设OA=x,∴OP=x+2在 R△OPA中,x2+42=(x+2)2,∴x=3,∴ ⊙O的半径为3 方法总结:运用切线的性质来进行计算 或证明时,常通过作辅助线连接圆心和切 解析:当直线AB与⊙O相切且与x轴 点,利用垂直构造直角三角形解决有关问 正半轴相交时,设切点为C,连接OC∴直 题 线AB与x轴正方向夹角为45°,∴△POC是 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 等腰直角三角形.∵⊙O的半径为1,OC堂达标训练”第8题 【类型二】圆的切线与相似三角形的 PC=1,:OP=T12+12=√2,点P的 综合 圆5如图,在Rt△ABC中,∠ACB 坐标为(,0).同理可得,当直线AB与x 90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点 轴负半轴相交时,点P的坐标为(-2,0),接0D作⊙O的切线,交BC于E,连 (1)求证:点E是边BC的中点; x的取值范围为-√2≤x≤故选D (2)求证:BC2=BDBA; (3)当以点O、D、E、C为顶点的四边 方法总结:解决本题要熟知直线和圆的形是正方形时,求证:△4BC是等腰直角三 三种位置关系,关键是有公共点的情况不要 遗漏 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第3题 解析:(1)利用切线的性质及圆周角定理 探究点二:切线的性质 【类型一】秒用切线的性质求线段长证明;(2,用相似三角形证明;(3利用正 例4如图,CB是⊙O的直径,P是CB 延长线上一点,PB=2,PA切⊙O于A点, 方形的性质证明 PA=4求⊙O的半径 证明:(1)如图,连接OD∵DE为切线 ∴∠EDC+∠ODC=90°∵∠ACB=90° ∠ECD+∠OCD=90°又∵OD=OC, ∠ODC=∠OCD,∴∠EDC=∠ECD,∴ ED=EC∴∵AC为直径,∴∠ADC=90° ∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD= ∴∠B=∠BDE,∴ED=BE.∴EB 解析:设圆的半径是x,利用勾股定理
x 的取值范围是( ) A．－1≤x≤1 B．－ 2 ＜x＜ 2 C．0≤x≤ 2 D．－ 2 ≤x≤ 2 解析：当直线 AB 与⊙O 相切且与 x 轴 正半轴相交时，设切点为 C，连接 OC.∵直 线 AB 与 x 轴正方向夹角为 45°，∴△POC 是 等腰直角三角形．∵⊙O 的半径为 1，∴OC ＝PC＝1，∴OP＝ 1 2＋1 2＝ 2，∴点 P 的 坐标为( 2，0)．同理可得，当直线 AB 与 x 轴负半轴相交时，点 P 的坐标为(－ 2，0)， ∴x 的取值范围为－ 2≤x≤ 2.故选 D. 方法总结：解决本题要熟知直线和圆的 三种位置关系，关键是有公共点的情况不要 遗漏． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 3 题 探究点二：切线的性质 【类型一】 利用切线的性质求线段长 如图，CB 是⊙O 的直径，P 是 CB 延长线上一点，PB＝2，PA 切⊙O 于 A 点， PA＝4.求⊙O 的半径． 解析：设圆的半径是 x，利用勾股定理 可得关于 x 的方程，求出 x 的值． 解：如图，连接 OA，∵PA 切⊙O 于 A 点，∴OA⊥PA.设 OA＝x，∴OP＝x＋2.在 Rt△OPA 中，x 2＋4 2＝(x＋2)2，∴x＝3，∴ ⊙O 的半径为 3. 方法总结：运用切线的性质来进行计算 或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切 点，利用垂直构造直角三角形解决有关问 题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型二】 圆的切线与相似三角形的 综合 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于 E，连 接 CD. (1)求证：点 E 是边 BC 的中点； (2)求证：BC2＝BD·BA； (3)当以点 O、D、E、C 为顶点的四边 形是正方形时，求证：△ABC 是等腰直角三 角形． 解析：(1)利用切线的性质及圆周角定理 证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正 方形的性质证明． 证明：(1)如图，连接 OD.∵DE 为切线， ∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°， ∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴ ∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ ED＝EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝90°， ∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝ 90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝
EC,即点E为边BC的中点; (2)∵AC为直径,∴∠ADC=∠ACB解直角三角形解答 ∠BDC=90°又∵∠B=∠B,∴△ABC (1)证明:∵BF为⊙O的切线,∴AB⊥ AB=BC,∴BC=BDBA BF∵CD⊥AB,∴∠ABF=∠AHD=90 ∽△CBD,·BCBD ∴CD∥BF.∴∠ADC=∠F.又∵∠ABC (3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD∠ADC,∴∠ABC=∠F; 45°∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴ (2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径, ∠CAD=180°—∠ADC-∠OCD=180°∴∠ADB=90 ∠A+∠ABD=90°由 90°-45°=45°,∴R△ABC为等腰直角(1)可知∠ABF=90°,∴∠ABD+∠DBF= 三角形 90°,∴∠A=∠DBF.又∵∠A=∠C,∴∠ 方法总结:本题的综合性比较强,但难C=∠DBF在Rt△DBF中,sin∠DBF=sinC 5,DF=6,…BF=10,BD=8在Rt△ 度不大,解决问题的关键是综合运用学过的 ABD中,sin=sin_3BD=8,…∴AB= 知识解答.另外,连接圆心和切点,构造直 ∴⊙O的半径 角三角形也是解题的关键 【类型三】圆的切线与三角函数的综 方法总结:运用切线的性质来进行计算 合 或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点, 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 三、板书设计 直线和圆的位置关系及切线的性质 直线和圆的位置关系: 6如图,AB为⊙O的直径,弦 ①直线l与圆O相交兮dF (1)求证:∠ABC=∠F 2.切线的性质及运用 (2)若sinC=,DF=6,求⊙O的半径 数学反思 解析:(1)由切线的性质得AB⊥BF,因在探索直线和圆位置关系所对应的数量关 系时,先引导学生回顾点和圆的位置关系所 为CD⊥AB,所以CD∥BF,由平行线的性对应的数量关系,启发学生运用类比的思想 来思考问题,解决问题,学生很轻松地就能 够得出结论,从而突破本节课的难点,使学 质得∠ADC=∠F,由圆周角定理的推论得 生充分理解位置关系与数量关系的相互转 ∠ABC=∠ADC,于是证得∠ABC=∠F2) 化 连接BD由直径所对的圆周角是直角得 ∠ADB=90°,因为∠ABF=90°,然后运用
EC，即点 E 为边 BC 的中点； (2)∵AC 为直径， ∴∠ADC＝∠ACB ＝∠BDC＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC ∽△CBD，∴ AB BC＝ BC BD，∴BC2＝BD·BA； (3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD ＝45°.∵AC 为直径，∴∠ADC＝90°，∴ ∠CAD＝180°－∠ADC－∠OCD＝180° －90°－45°＝45°，∴Rt△ABC 为等腰直角 三角形． 方法总结：本题的综合性比较强，但难 度不大，解决问题的关键是综合运用学过的 知识解答．另外，连接圆心和切点，构造直 角三角形也是解题的关键． 【类型三】 圆的切线与三角函数的综 合 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，过点 B 作⊙O 的切线与 AD 的延长线交于 F 点． (1)求证：∠ABC＝∠F； (2)若 sinC＝ 3 5 ，DF＝6，求⊙O 的半径． 解析：(1)由切线的性质得 AB⊥BF，因 为 CD⊥AB，所以 CD∥BF，由平行线的性 质得∠ADC＝∠F，由圆周角定理的推论得 ∠ABC＝∠ADC，于是证得∠ABC＝∠F；(2) 连接 BD. 由直径所对的圆周角是直角得 ∠ADB＝90°，因为∠ABF＝90°，然后运用 解直角三角形解答． (1)证明：∵BF 为⊙O 的切线，∴AB⊥ BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90°， ∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝ ∠ADC，∴∠ABC＝∠F； (2)解：连接 BD，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.由 (1)可知∠ABF＝90°，∴∠ABD＋∠DBF＝ 90°，∴∠A＝∠DBF.又∵∠A＝∠C，∴∠ C＝∠DBF.在 Rt△DBF 中，sin∠DBF＝sinC ＝ 3 5 ，DF＝6，∴BF＝10，∴BD＝8.在 Rt△ ABD 中，sinA＝sinC＝ 3 5 ，BD＝8，∴AB＝ 40 3 . ∴⊙O 的半径为20 3 . 方法总结：运用切线的性质来进行计算 或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点， 利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 三、板书设计 直线和圆的位置关系及切线的性质 1．直线和圆的位置关系： ①直线 l 与圆 O 相交⇔d＜r； ②直线 l 与圆 O 相切⇔d＝r； ③直线 l 与圆 O 相离⇔d＞r. 2．切线的性质及运用 在探索直线和圆位置关系所对应的数量关 系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所 对应的数量关系，启发学生运用类比的思想 来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能 够得出结论，从而突破本节课的难点，使学 生充分理解位置关系与数量关系的相互转 化