25二次函数与一元二次方程 第2课时利用二次函数求方程的近似根 鲁习目标 1.会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似根;(重点) 3-2 93 4i 2.进一步体会二次函数与一元二次方 程的关系.(难点) 解:方程x2-2x-1=0根是函数 2x-1与x轴交点的横坐标 、情境导入 作出二次函数y=x2-2x-1的图象,如 图所示,由图象可知方程有两个根,一个在 1和0之间,另一个在2和3之间.先求 1和0之间的根,当x=-0.4时,y= 0.04;当x=-0.5时,y=0.25因此,x 04(或x=-0.5)是方程的一个近似根同理 x=2.4(或x=25)是方程的另一个近似根 你能根据函数y=x2+2x-5的图象(如 图),求出方程x2+2x-5=0的近似根吗 方法总结:解答此题的关键是求出对称 (精确到O.)? 由图象知,抛物线与x轴有两个公共点,轴然后由图象解答,锻炼了学生数形结合 它们分别位于x轴上1和2、-4和-3之间 所以一元二次方程x2+2x-5=0有两个的思想方法 根,它们分别介于1和2、-4和一3之间.这 【类型二】烈表求一元二次方程的近 两个根分别是1.5和-35吗? 似根 二、合作探究 2下面表格列出了函数y=ax2+bx 探究点:利用二次函数求方程的近似根+c(a,b,c是常数,且a≠0)部分x与y的 【类型一】利用二次函数估算一元二对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根 次方程的近似根 x的取值范围是() 1利用二次函数的图象估计一元二 次方程x-2x-1=0的近似根(精确到01)·x6176186196.20 解析:根据函数与方程的关系,可得函 0.01 数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方 A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18 6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20 程的解 解析:由表格中的数据得,在6.17<x <620范围内,y随x的增大而增大,当x =6.18时,y=-001,当x=6.19时,y
2.5 二次函数与一元二次方程 第 2 课时 利用二次函数求方程的近似根 1．会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似根；(重点) 2．进一步体会二次函数与一元二次方 程的关系．(难点) 一、情境导入 你能根据函数 y＝x 2＋2x－5 的图象(如 图)，求出方程 x 2 ＋ 2x－5＝0 的近似根吗 (精确到 0.1)? 由图象知，抛物线与x轴有两个公共点， 它们分别位于 x 轴上 1 和 2、－4 和－3 之间， 所以一元二次方程 x 2 ＋ 2x－5＝0 有两个 根，它们分别介于 1 和 2、－4 和－3 之间．这 两个根分别是 1.5 和－3.5 吗？ 二、合作探究 探究点：利用二次函数求方程的近似根 【类型一】 利用二次函数估算一元二 次方程的近似根 利用二次函数的图象估计一元二 次方程 x 2－2x－1＝0 的近似根(精确到 0.1)． 解析：根据函数与方程的关系，可得函 数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方 程的解． 解：方程 x 2－2x－1＝0 根是函数 y＝x 2 －2x－1 与 x 轴交点的横坐标． 作出二次函数 y＝x 2－2x－1 的图象，如 图所示，由图象可知方程有两个根，一个在 －1 和 0 之间，另一个在 2 和 3 之间．先求 －1 和 0 之间的根，当 x＝－0.4 时，y＝－ 0.04；当 x＝－0.5 时，y＝0.25.因此，x＝－ 0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理， x＝2.4(或 x＝2.5)是方程的另一个近似根． 方法总结：解答此题的关键是求出对称 轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合 的思想方法． 【类型二】 列表求一元二次方程的近 似根 下面表格列出了函数 y＝ax2＋bx ＋c(a，b，c 是常数，且 a≠0)部分 x 与 y 的 对应值，那么方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根 x 的取值范围是( ) x 6.17 6.18 6.19 6．20 y －0.03 －0.01 0.02 0.04 A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 解析：由表格中的数据得，在 6.17＜x ＜6.20 范围内，y 随 x 的增大而增大，当 x ＝6.18 时，y＝－0.01，当 x＝6.19 时，y＝
0.02,方程ax2+bx+c=0的一个根x的取 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第6题 值范围是6.18<x<6.19,故选C. 【类型四】利用二次函数和一次函数 的图象求方程的根 4己知二次函数y=2x2-2和函数y 方法总结:利用抛物线的增减来确定抛5x+1 物线与x轴交点的坐标的可能位置 (1)你能用图象法求出方程2x2-2 +1的解吗? 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (2)请通过解方程的方法验证(1)问的 后巩固提升”第1题 解 【类型三】利用图象求一元二次方程 的近似根 解析:(1)根据函数图象的交点坐标是相 例3]已知二次函数y=ax2+bx+c的 图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+ 应方程的解,可得答案;(2)根据因式分解 =0的近似根为() A.x1≈-2.1,x≈0.1B.x≈-2.5, 可得方程的解 x≈0.5 解:(1)如图在平面直角坐标系内画出y C.x1≈-2.9,x2≈0.9D.x1≈-3,=2x2-2和函数y=5x+1的图象,如图所 x≈1 解析:由图象可得二次函数y=ax2+b +c图象的对称轴为x=-1,而对称轴右侧 图象与x轴交点到原点的距离约为05,x2 图象交点的横坐标是一,3,故2x2 十 ≈0.5汉∵对称轴为x=-1则 5x+1的解是x1= x1=2×(-1)-0.5=-25故x≈-2.5,x2 (2)由(1)可知交点横坐标即为方程2 ≈0.5故选B 2=5x+1的解,化简得2x2-5x-3=0,因 式分解,得(2x+1)(x-3)=0.解得x1 方法总结:解答本题首先需要根据图象 x2=3,可知(1)中求得的解正确 估计出一个根,再根据对称性计算出另一个 方法总结:利用图象法求一元二次方程 根,估计值的精确程度,直接关系到计算的的近似根,图象交点的横坐标是方程的解 准确性,故估计尽量要准确 变式训练:见《学练优》本课时练习“课
0.02，方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根 x 的取 值范围是 6.18＜x＜6.19，故选 C. 方法总结：利用抛物线的增减来确定抛 物线与 x 轴交点的坐标的可能位置． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 1 题 【类型三】 利用图象求一元二次方程 的近似根 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的近似根为( ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5， x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3， x2≈1 解析：由图象可得二次函数 y＝ax2＋bx ＋c 图象的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧 图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5，∴x2 ≈0.5；又∵对称轴为 x＝－1，则 x1＋x2 2 ＝－1， ∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故 x1≈－2.5，x2 ≈0.5.故选 B. 方法总结：解答本题首先需要根据图象 估计出一个根，再根据对称性计算出另一个 根，估计值的精确程度，直接关系到计算的 准确性，故估计尽量要准确． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型四】 利用二次函数和一次函数 的图象求方程的根 已知二次函数 y＝2x 2－2 和函数 y ＝5x＋1. (1)你能用图象法求出方程 2x 2－2＝5x ＋1 的解吗？ (2)请通过解方程的方法验证(1)问的 解． 解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相 应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解， 可得方程的解． 解：(1)如图在平面直角坐标系内画出 y ＝2x 2－2 和函数 y＝5x＋1 的图象，如图所 示： 图象交点的横坐标是－1 2 ，3，故 2x 2－2 ＝5x＋1 的解是 x1＝－ 1 2 ，x2＝3； (2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x 2－ 2＝5x＋1 的解，化简得 2x 2－5x－3＝0，因 式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得 x1＝－ 1 2 ， x2＝3，可知(1)中求得的解正确． 方法总结：利用图象法求一元二次方程 的近似根，图象交点的横坐标是方程的解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第4题 【类型五】二次函数与其他函数的综 合 例5利用图象解一元二次方程x2+x 3=0时,我们采用的一种方法是:在平面 直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y= x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的 解 (1)填空:利用图象解一元二次方程x2 +x-3=0,也可以这样求解:在平面直角 坐标系中画出抛物线y 由图象可得,方程一x+3=0的近似根 和直线 x,其交点的横坐标就是该方程的解 为x (2)已知函数y=-的图象(如图所示) 方法总结:利用二次函数图象求元二 利用图象求方程—一x+3=0的近似根(结果次方程的近似根的步骤是(1)作出函数的图 保留两个有效数字) 象,由图象确定方程的解的个数;(2)由图象 与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围 (3)观察图象求得方程的近似根. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第8题 、板书设计 利用二次函数求方程的近似根 解析:(1)一元二次方程x2+x-3=0可 利用二次函数估算一元二次方程的 以转化为x2-3=-x,所以一元二次方程x2近似根 2.列表或利用图象求一元二次方程的 +x-3=0的解可以看成抛物线y=x2-3与近似根 3.利用二次函数和一次函数的图象求 6方程的根 直线y=-x交点的横坐标;(2)函数y= 数学反思 的图象与直线y=-x+3的交点的横坐标就 在教学过程中,教师作为引导者,为学生创 是方 程 设问题情境、提供问题,给学生提供广阔的 x+3=0的近似根 思考空间、活动空间,为学生搭建自主学习 解:(1)x2-3 的平台;学生则在老师的指导下经历操作 2)图象如图所示 实践、思考、交流、合作的过程,其知识的 形成和能力的培养相伴而行,创造“海阔凭 鱼跃,天高任鸟飞”的课堂境界
后巩固提升”第 4 题 【类型五】 二次函数与其他函数的综 合 利用图象解一元二次方程 x 2＋x －3＝0 时，我们采用的一种方法是：在平面 直角坐标系中画出抛物线 y＝x 2 和直线 y＝ －x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的 解． (1)填空：利用图象解一元二次方程 x 2 ＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角 坐标系中画出抛物线 y＝________和直线 y ＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解； (2)已知函数 y＝－ 6 x 的图象(如图所示)， 利用图象求方程6 x －x＋3＝0 的近似根(结果 保留两个有效数字)． 解析：(1)一元二次方程 x 2＋x－3＝0 可 以转化为 x 2－3＝－x，所以一元二次方程 x 2 ＋x－3＝0 的解可以看成抛物线 y＝x 2－3 与 直线 y＝－x 交点的横坐标；(2)函数 y＝－ 6 x 的图象与直线 y＝－x＋3 的交点的横坐标就 是方程6 x －x＋3＝0 的近似根． 解：(1)x 2－3 (2)图象如图所示： 由图象可得，方程6 x －x＋3＝0 的近似根 为 x1＝－1.4，x2＝4.4. 方法总结：利用二次函数图象求一元二 次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图 象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象 与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； (3)观察图象求得方程的近似根． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 利用二次函数求方程的近似根 1．利用二次函数估算一元二次方程的 近似根 2．列表或利用图象求一元二次方程的 近似根 3．利用二次函数和一次函数的图象求 方程的根 在教学过程中，教师作为引导者，为学生创 设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的 思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习 的平台；学生则在老师的指导下经历操作、 实践、思考、交流、合作的过程，其知识的 形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭 鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界