画《时 垂径定理
垂径定理
与 如图,CD是⊙0的一条弦 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 画直径AB,使AB⊥CD,垂足为P;将圆形纸片沿AB对折 ●你能发现图中有哪些等量关系? ①AB是直径 CPEDP ②AB⊥CD C BC=BD 为什么 B
CP=DP, 如图,CD是⊙O的一条弦. ●你能发现图中有哪些等量关系? 画直径AB,使AB⊥CD,垂足为P;将圆形纸片沿AB对折 ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? C D ◼ ① AB是直径 ② AB⊥CD ⌒ ⌒ BC=BD, ⌒ ⌒ AC=AD. A B P ∟ 为什么？
探究活动 已知:在⊙O中,AB是直径,CD是弦, AB⊥CD,垂足为P 求证:CP=DPBC=BD,AC=AD 证明:连结OC、OD,则oC=D394 在∠OCD中, D OC=0DoP⊥CD B CP=DP∠1=∠2 ∴∠3=∠4 作半径是解决 题圆中问题 B=BD.AC=A合
探究活动 已知：在⊙O中，AB是直径，CD是弦， AB⊥CD，垂足为P. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CP＝DP,BC＝BD,AC＝AD 证明：连结OC、OD，则OC＝OD 在⊿OCD中， ∵OC=OD,OP⊥CD A B .O C P D └ 作半径是解决问 题圆中问题常用 的辅助线之一。 1 2 3 4 ∴ CP=DP, ∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴ BC=BD, AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
Q记-记 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对 的两条弧 ● 条件 结论 直径 平分弦 0 arrrgrrr 平分弦所对的优弧 直径垂直于弦 C 平分弦所对的弧 B ∴AB是直径,AB⊥CD PC= PD BCSBDAO≌A
记一记 直径 直径垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的弧 条件 结论 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧. 符号语言：∴PC=PD , ⌒ ⌒ BC=BD , AC=A ⌒ ⌒ D. ∵AB是直径, AB⊥CD A B .O C P D └ c′ D′ ∟ ●
Q记一记 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对 的两条弧 记住这个基本图形哦! A 如图,设CD=a 0C=8?a 2 弦心一
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧. 记一记 记住这个基本图形哦！ O A B . C P D └ 弦 心 距 如图，设CD=a, OC=r,OP=d, 则CP= a, 2 1 2 2 2 a d r + = 1 2
N、0 1、判断 (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦 所对的两条弧 (×) (2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(X) D E E B B (3)
1、判断： (2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( ) (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦 所对的两条弧. ( ) o C D A B E (4) • C D A B E (3) •o
例翘辱学 例1、已知:如图,在以0为圆心的两个同心 圆中,大圆的弦AB交小圆于0,D两点.你认为 AC和BD有什么关系?为什么? 解:AC=BD 过O作OE⊥AB于E, AE= BE CE= DE AE- CE= BE- DE B 即AC=BD 意:解决和弦有关的问题时, 的垂线(段)
例1、已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为 AC和BD有什么关系？为什么？ 解：AC=BD 过O作OE⊥AB于E， ∴AE＝BE，CE＝DE ∴ AE－CE＝BE－DE 即AC＝BD . A C D B O E 注意：解决和弦有关的问题时， 常过圆心作弦的垂线（段）． └ 例题导学
变式: 已知:如图,线段AB与⊙O交于C、D两点 且OA=OB.求证:AC=BD
变式： 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点， 且OA=OB ．求证：AC=BD ．
②例辱学 例2:如图,已知在⊙0中,弦AB的长为8cm, 圆心0到AB的距离为3cm,求⊙0的半径 解:连接OA OE⊥ABAB=8 ∴AE=BE=-AB=-×8=4 在 RtAAOE中,0A2=AE2+0E2 OA=√42+32=5cm
例2:如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3㎝，求⊙O的半径. 解：连接OA E O A B └ ∵ OE⊥AB,AB=8 在Rt△AOE中， 2 2 2 O A = A E + O E 2 2 OA cm = + = 4 3 5 4 3 例题导学 1 1 8 4 2 2 = = = = AE BE AB
大刀阔斧N 变式1、在半径为5cm的⊙0中,弦AB=8cm 求点0与弦AB的距离
变式1、在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8㎝ ， 求点O与弦AB的距离. E O A B 5 4 大刀阔斧 例题导学