22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数
22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数
预习号学 设一个正方形的边长为x,则该正方形的面积y 其 中变量是ⅹ’y,y是x的函数 2·一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0) 的函数,叫做二次函数,其中x是自变量,a,b,c分别为二次项系 数、一次项系数、常数项
x 1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝______，其 中变量是_______，_______是_______的函数． 2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(__________________________) 的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系 数、一次项系数、常数项． y a，b，c为常数且a≠0 x 2 x，y
课内精练 知识点1:二次函数的定义 下列函数是二次函数的是(C) A·y=2x+1 B.y=-2x+1 C·y=x2+2 D.y=0.5x-2 2·下列说法中,正确的是(B) A·二次函数中,自变量的取值范围是非零实数 B·在圆的面积公式S=mP2中,S是r的二次函数 C·y=(x-1)(x+4)不是二次函数 D·在y=1-2x2中,一次项系数为1 3·若y=(a+3)x2-3x+2是二次函数,则a的取值范围是 a≠-3 4·已知二次函数y=1-3x+2x2,则二次项系数a=2 次 项系数b=-3,常数项c=1
C B 知识点1：二次函数的定义 1．下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．y＝0.5x－2 2．下列说法中，正确的是( ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C．y＝12 (x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在y＝1－ 2x2中，一次项系数为1 3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是 ___________． 4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次 项系数b＝_____，常数项c＝_______． 2 －3 1 a≠－3
③课内睛练 5·已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2x-3 (1)当a2时,x,y之间是二次函数关系; (2)当a=2且b≠-2 时,x,y之间是一次函数关系 6·已知两个变量x,y之间的关系为y=(m-2)xm2-2+x-1, 若x,y之间是二次函数关系,求m的值 解:根据题意,得m2-2=2,且m-2≠0,解得m=-2 知识点2:实际问题中的二次函数的解析式 7·某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以 自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品, 那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为(B) A·y=-10x2-560x+7350 B·y=-10x2+560x-7350 C·y=-10x2+350x+7350 D·y=-10x2+350x-7350
5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___________时，x，y之间是二次函数关系； (2)当_________________时，x，y之间是一次函数关系． 6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1， 若x，y之间是二次函数关系，求m的值． 解：根据题意，得m2－2＝2，且m－2≠0，解得m＝－2 知识点2：实际问题中的二次函数的解析式 7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以 自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品， 那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为( ) A．y＝－10x 2－560x＋7350 B．y＝－10x 2＋560x－7350 C．y＝－10x 2＋350x＋7350 D．y＝－10x 2＋350x－7350 B a＝2且b≠－2 a≠2
③课内睛练 8·某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(ms)之间满足二次函 数y=20×(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速 度为(C) A·40m/s B. 20 m/s C·10m/sD.5m/s 9·(2014安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月 新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产 品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2 10·多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为d=2n=2n 自变量n的取值范围是n3且为整数;当d=35时,多边形的边数 10
C 8．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函 数y＝ 1 20x 2 (x＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速 度为( ) A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月 新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产 品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝___________． 10．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为_____________， 自变量n的取值范围是_______________；当d＝35时，多边形的边数 n＝__________． a(1＋x)2 n≥3且为整数 10 d＝ 1 2 n 2－ 3 2 n
③课内睛练 11·如图,有一个长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为 10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x 米,面积为S平方米 (1)求S与x的函数关系式; (2)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长为多少米? 解:(1)S=x(24-3x),即S=-3x2+24x (2)当S=45时,-3x2+24x=45解得x1=3x2=5,当x=3时 24-3x=15>10,不合题意,舍去;当x=5时,24-3x=9<10, 符合题意,故AB的长为5米
11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为 10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x 米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？ 解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x 2＋24x (2)当S＝45时，－3x 2＋24x＝45，解得x1 ＝3，x2 ＝5，当x＝3时， 24－3x＝15＞10，不合题意，舍去；当x＝5时，24－3x＝9＜10， 符合题意，故AB的长为5米
①课时达軛 12·已知二次函数y=x2-2x-2,当x=2时,y=-2 3或-1时,函数值为1 13·边长为4m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x<4)的小正方形 剩余的四方框的面积为ym2),则y与x之间的函数关系式为 y=16-x2(0<x<4),它是二次函数 14·设y=y1-y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,则y与x的函 数关系是(C) A·正比例函数 B.一次函数 C·二次函数 D.以上都不正确 15·(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正 比,设边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边 长为(A) A·6厘米B.12厘米 C·24厘米 D.36米
A C 二次 12．已知二次函数y＝ x 2－2x－2，当x＝2时，y＝________；当x ＝_________时，函数值为1. 13．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形， 剩余的四方框的面积为 y(m2 ) ， 则 y与 x之间的函数关系式为 __________________，它是__________函数． 14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x 2成正比例，则y与x的函 数关系是( ) A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不正确 15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正 比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边 长为( ) A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米 －2 y＝16－x 2 (0＜x＜4) 3或－1
课时达标 16·某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm设底面的宽为x,抽屉的 体积为y时,求y与x之间的函数关系式.(材质及其厚度等暂忽略不 计) 解:根据题意得y=20x(90-x),整理得y=-20x2+1800x 17·某商店经营一种小商品,进价为2.5元,据市场调查,销售单 价是13.5元时,平均每天销售量是500件,而销售单价每降低1元, 平均每天就可以多售出100件.假定每件商品降价x元,商店每天销 售这种小商品的利润是y元,请写出y与x之间的函数关系式,并注 明x的取值范围 解:降低x元后,所销售的件数是(500+100x), 则y=(13.5-2.5-x)(500+100x), 即y=-100×2+600x+5500(0<x≤11
16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.设底面的宽为x，抽屉的 体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不 计) 解：根据题意得y＝20x(90－x)，整理得y＝－20x 2＋1800x 17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单 价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元， 平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销 售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注 明x的取值范围． 解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)， 则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)， 即y＝－100x 2＋600x＋5500(0＜x≤11)
课时达标 18·一块矩形的草坪,长为8m,宽为6m,若将长和宽都增加xm 设增加的面积为ym (1)求y与x的函数关系式; (2)若使草坪的面积增加32m2,求长和宽都增加多少米? 解:(1)y=x2+14x(x≥0) (2)当y=32时,x2+14x=32,x1=2,x2=-16(舍去) 即长和宽都增加2m
18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m， 设增加的面积为y m2 . (1)求y与x的函数关系式； (2)若使草坪的面积增加32 m2，求长和宽都增加多少米？ 解：(1)y＝x 2＋14x(x≥0) (2)当y＝32时，x 2＋14x＝32，x1 ＝2，x2 ＝－16(舍去)， 即长和宽都增加2 m
自雅船战 19·如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm, 动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合) 动点Q从点B开始沿边BC向C以4mms的速度移动(不与点C重 合).如果P,Q分别从A,B同时出发,设运动的时间为xs,四边 形APQC的面积为ymm2 (1)求y与x之间函数关系式; (2)求自变量x的取值范围 (3)四边形APQC的面积能否等于172mm2?2若能,求出运动的时间; 若不能,说明理由 解:(1)由运动可知,AP=2x,BQ=4x,则y=BCAB-BQBP ×24×12-2×4x(12-2x),即y=4x2-24x+144 (2)0≤x<6(3)当x=172时,4x2-24x+1414172解得x=7x 1.又∵0<x<6,∴四边形APQC的面积不能等于1
19．如图，在△ABC中，∠B＝90° ，AB＝12 mm，BC＝24 mm， 动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)， 动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重 合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x s，四边 形APQC的面积为y mm2 . (1)求y与x之间函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)四边形APQC的面积能否等于172 mm2？若能，求出运动的时间； 若不能，说明理由． 解：(1)由运动可知，AP＝2x，BQ＝4 x，则y＝ 1 2 BC·AB－ 1 2 BQ·BP ＝ 1 2 ×24×12－ 1 2 ×4x(12－2x)，即y＝4x2－24x＋144 (2)0＜x＜6 (3)当x＝172时，4x 2－24x＋144＝172，解得x1 ＝7，x2 ＝－1.又∵0＜x＜6，∴四边形APQC的面积不能等于172 mm2