二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程
问题:以40m/s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物 线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单 位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h =20t-5t2 考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多 少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多 少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到205m?为什么 (4)球从飞出到落地要用多少时间?
一、问题：以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物 线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单 位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h ＝20t－5t2 ． 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多 少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多 少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么 （4）球从飞出到落地要用多少时间？
、观察图象: (1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有 个交点,则一元二次方程x2+x-2=0的 根的判别式△ (2)二次函数y=x2-6x+9的图像与x轴有 个交点,则一元二 次方程x2-6x+9=0的根 的判别式△ (3)二次函数y=x2-x +1的图象与x轴有公 共点,则一元二次方程x2 x+1=0的根的判别式 0
二、观察图象： （1）二次函数y＝x 2＋x－2的图象与x轴有 ____个交点，则一元二次方程x 2＋x－2＝0的 根的判别式△______0； （2）二次函数y＝x 2－6x＋9的图像与x轴有 ______个交点，则一元二 次方程x 2－6x＋9＝0的根 的判别式△_______0； （3）二次函数y＝x 2－x ＋1的图象与x轴有_____公 共点，则一元二次方程x 2 －x＋1＝0的根的判别式 △_______0．
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关 系:一元二次方程ax2+bX+c=0的根 的判别式△=b2-4ac (1)当△=b2-4ac>0时一抛物线y=ax2+bx +c与x轴有两个交点; (2)当△=b2-4ac=0时抛物线y=ax2+bx +c与x轴只有一个交点; (3)当△=b2-4ac<0时抛物线y=ax2+bx +c与x轴没有公共点
（1）当△＝b 2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx ＋c与x轴有两个交点； （2）当△＝b 2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx ＋c与x轴只有一个交点； （3）当△＝b 2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx ＋c与x轴没有公共点． 归纳总结 二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关 系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 的判别式△＝b2－4ac．
例1.如右图,利用抛物线图象求解一元二 次方程及二次不等式 (1)方程ax2+bx+c=0的根为 (2)方程ax2+bx+c=-3的根为 (3)方程ax2+bx+c=-4的根为 (4)不等式ax2+bx+c>0的解集为; (5)不等式ax2+bx+c<0的解集为; x=1 y-ax+bx+e
例1．如右图，利用抛物线图象求解一元二 次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为________ （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为_____； （3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为_____； （4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为___； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为___；
x=1 y-ax+bx +c 例2如右图,填空: (1) (2)b 0 (3)c (4)△=b2-4ac 0 (5)a+b+c 0 (6)a-b+c 0 (7)2a+b 0 (8)当y>0时,x的范围为 (9)当y<0时,x的范围为
例2.如右图，填空： （1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）△＝b2－4ac_____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0； （8）当y＞0时，x的范围为___________； （9）当y＜0时，x的范围为___________；
1.已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上, 则k 2.已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交 点,则k的取值范围 3如图一元二次方程ax2+bx+c=3的解为 (1) (2)b 0 (3) (4)△=b2-4ac0; (5)a+b+ (6)2a+b 0 y-ax+bx+c
1．已知抛物线y＝x 2－2kx＋9的顶点在x轴上， 则k＝__． 2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交 点，则k的取值范围_________． 3.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为____ （1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）2a＋b_____0；
试一试 (1)抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有(C) A0个 B.1个 C.2个 D.3 (2)抛物线y=mx3x+3m+m经过原点则其顶点 顶点坐标为(2,4 (3)关于x的一元二次方程x-x-n=0没有实数根,则 抛物线y=x2-x-n的顶点在(A) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
) 4 3 , 2 1 (− 第三象限 第四象限 第一象限 第二象限 抛物线 的顶点在 关于 的一元二次方程 没有实数根 则 顶点坐标为 抛物线 经过原点 则其顶点 个 个 Ｃ．个 Ｄ．个 抛物线 与 轴的交点个数有 . . . . ( ). (3) 0 , __________ . (2) 3 3 , .0 .1 2 3 (1) 2 3 ( ). 2 2 2 2 2 C D A B y x n x x n y m x m A B y x x x x x m x = − − − − = = − + + = + − C A ?
(4)已知二次函数y=a+bx+c的图象如图所示,则 元二次方程ax+bx+c=0的解是X1=0,x2=5 (5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是 (c) A无交点 B只有一个交点 c有两个交点D不能确定
(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 . X Y 0 5 2 2 (5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是 ( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定 C X1=0，x2=5
(6)如果关于x的一元二次方程x22x+m=0有两个相 等的实数根则m=1 ,此时抛物线y=x22x+m 与x轴有 个交点 (7)已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则c=16 (8)一元二次方程3x2x-10=0的两个根 是x12,x2=5/3,那么二次函数y=3 x2+x-10与x轴的交点坐标是(2、0)(5,0)
(6)如果关于x的一元二次方程 x 2 -2x+m=0有两个相 等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2 -2x+m 与x轴有＿＿＿＿个交点. (7)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 则c=＿＿＿＿. 1 1 16 (8)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x 2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿ （ . -2、0）（5/3、0）