22.1二次函数的图象和性质 22·13二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质
22．1 二次函数的图象和性质 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
预习号学 1·二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线.它与抛物线y a2的形状相同,只是顶点位置不同,它的对称轴为 轴,顶点坐标为(0,k) 2·二次函数y=ax2+k的图象可由抛物线y=ax2平移得到, 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k个单位得y=ax2+k;当k <0时,抛物线y=ax2向下平移k个单位得y=ax2+k
1．二次函数y＝ax2＋k的图象是一条___________．它与抛物线y ＝ax2的__________相同，只是____________不同，它的对称轴为 ________轴，顶点坐标为____________． 2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2_________得到， 当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移_______个单位得y＝ax2＋k；当k ＜0时，抛物线y＝ax2向________平移|k|个单位得y＝ax2＋k. 顶点位置 下 k 抛物线 平移 y (0，k) 形状
课内精练 知识点1:二次函数y=ax2+k的图象和性质 1·抛物线y=2x2+2的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2) 它与抛物线y=2x2的形状相同 2·抛物线y=-3x2-2的开口向下,对称轴是y轴,顶点 坐标是(0,-2) 3·若点x1y1)和(x2,y2)在二次函数y=-2x2+1的图象上,且x0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增 大
(0 ，2) 相同 知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 1．抛物线y＝2x2＋2的对称轴是________，顶点坐标是___________， 它与抛物线y＝2x2的形状_________． 2．抛物线y＝－3x2－2的开口向_______，对称轴是_________，顶点 坐标是__________． 3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－12 x2＋1的图象上，且x1＜x2 ＜0，则y1与y2的大小关系为____________． 4．对于二次函数y＝x2＋1，当x＝________时，y最______＝______； 当x_______时，y随x的增大而减小；当x_______时，y随x的增大而增 大． 下 y轴 (0 ， －2) y 1 ＜ y2 0 小 1 ＞ 0 y轴 ＜ 0
③课内睛练 5·已知二次函数y=-x2+ (1)当x为何值时,y随x的增大而减小? (2)当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少? (4)求图象与x轴、y轴的交点坐标 解:(1)x>0(2)x<0(3)x=0时,y最大=4 (4)与x轴交于(-2,0),(2,0),与y轴交于(0,4 知识点2:二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的平移 6·将二次函数y=x2的图象向上平移1个单位,则平移后的抛物线的 解析式是 x2+1 7·抛物线y=ax2+c向下平移2个单位得到抛物线y=-3x2+2,则a 4
－3 5．已知二次函数y＝－x 2＋4. (1)当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ (4)求图象与x轴、y轴的交点坐标． y＝x 2＋1 解：(1)x＞0 (2)x＜0 (3)x＝0时，y最大＝4 (4)与x轴交于(－2，0)，(2，0)，与y轴交于(0，4) 知识点2：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移 6．将二次函数y＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的 解析式是______________． 7．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x 2＋2，则a ＝_________，c＝__________ 4 ．
③课内睛练 8.在同一个直角坐标系中作出y=2xy=2x2-1的图象 (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标; (2)抛物线y=2x2-1与抛物线y=2x有什么关系? 解:(1)图象略y2X开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标0,0 y=2x2-1开口向上,对轴轴为y轴,顶点坐标(0,-1) (2)抛物线y=2x2-1可由抛物线y=2x2向下平移1个单位得到
8．在同一个直角坐标系中作出y＝ 1 2 x 2，y＝ 1 2 x 2－1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y＝ 1 2 x 2－1与抛物线y＝ 1 2 x 2有什么关系？ (2)抛物线y＝ 1 2 x 2－1可由抛物线y＝ 1 2 x 2向下平移1个单位得到 解：(1)图象略，y＝ 1 2 x 2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)； y＝ 1 2 x 2－1开口向上，对轴轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
③课内睛练 知识点3:抛物线y=ax2+k的应用 9·如图,小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-5x2 3.5的一部分.若命中篮圈中心,则她与篮底的距离是(B) A·3.5 B. 4m C·4.5 D.4.6 3.05 2.5m
B 知识点3：抛物线y＝ax2＋k的应用 9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－ 1 5 x 2＋ 3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ) A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
课时达标 10·如果抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解 析式是(C A·y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)+2 x2+1 D x2+3 11·已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1),B(1,y2),C(, y3),且y20 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0 12·已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,则 △ABC的面积为22 13·若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-4x2+3关于x轴对称,则a= c
C A 10．如果抛物线y＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解 析式是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x 2＋1 D．y＝x 2＋3 11．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2， y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( ) A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 12．已知抛物线y＝－x 2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则 △ABC的面积为________． 13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ _______ 4 ，c＝_______ －3 ． 2 2
课时达标 14·如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于A,过 点A作与x轴平行的直线交抛物线y=3x于点B,C,则BC的长度为 15·直接写出符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式 (1)经过点(-3,2); (2)与y=2x2的开口大小相同,方向相反 (3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4 解:(13x2-1 (2)y 第14题图 (3)-x2
(3)－x 2－1 6 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过 点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝ 1 3 x 2于点B，C，则BC的长度为 ______． 15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式： (1)经过点(－3，2)； (2)与y＝ 1 2 x 2的开口大小相同，方向相反； (3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4. 第14题图 (2)y＝－ 1 2 x 2－1 解：(1)y＝ 1 3 x 2－1
课时达标 16·把y=-2x2的图象向上平移2个单位 (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴; (2)画出平移后的函数图象 (3)求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值 解:(1)y=-x2+2,顶点坐标是(0,2),对称轴是y轴 (2)图象略3)x=0时,y有最大值,为2 17·已知抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2),且经过(1,3), 求此抛物线的解析式 解:设抛物线解析式为y=ax2+k,将(0,2),(1,3)代入y=ax2xk 得k=2,a=1,∴y=x2+2
解：(1)y＝－x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴 (2)图象略 16．把y＝－ 1 2 x 2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值． 17．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)， 求此抛物线的解析式． 解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k， 得k＝2，a＝1，∴y＝x 2＋2 (3)x＝0时，y有最大值，为2
自雅船战 18·若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等, 则当x取x1+x2时,函数值为(D) A·a+ B. a-c c D 19·廊桥是我国古老的文化遗产,如图所示是一座抛物线形廊桥的 示意图已知抛物线对应的函数关系式为y=-10x2+10,为保护廊 桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏 警示灯,求这两盏灯的水平距离.(5≈224,结果精确到1米) 解:由题意得点E,F的纵坐标为8,把y=8 4y米 代入y=-40×2+10,解得x=45或x=-45 EF=45-(-4、5)=85≈18(米),即这两盏 x米 灯的水平距离约为18米
18．若二次函数y＝a x2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等， 则当x取x1＋x2时，函数值为( ) A．a＋c B．a－c C．－c D．c 19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的 示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－ 1 40x 2＋10，为保护廊 桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏 警示灯，求这两盏灯的水平距离．( 5≈2.24，结果精确到1米) 解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8 代入y＝－ 1 40x 2＋10，解得x＝4 5或x＝－4 5， EF＝|4 5－(－4 5 )|＝8 5≈18(米)，即这两盏 灯的水平距离约为18米 D