免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 提公因式法 【教学目标】 1、知识与技能 (1)在具体情境中认识公因式 (2)通过对具体问题的分析及逆用分配律,使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因 式法分解因式 2、过程与方法: 1)树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想,培养学生完整地、辨证地看问题的思想 (2)树立学生全面分析问题,认识问题的思想,提高学生的观察能力,分析问题及逆向思想能力。 3、情感、态度与价值观:在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识,并使学生体验 到学习的乐趣和数学的探索性 【教学重点、难点】 1.教学重点:掌握公因式的概念,会使用提取公因式法进行因式分解,理解添括号法则。 2.教学难点:正确地找出公因式 【教学过程】 ()预学 如图8-1,一块菜园由两个长方形组成,这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何 计算这块菜园的面积呢? 3.8 列式:3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式) 有简便算法吗? =3.7×(38+6.2) 3.7×10=37(m2) 6.2图8-1 在这一过程中,把3.7换成皿,3.8换成6.2换成b,于是有: ma+mb =m(a+b) 利用整式乘法验证:m(a+b)=ma+mb 白探究 让学生观察多项式:ma+mb (让学生说出其特点:都有m,含有两种运算乘法、加法:然后教师规范其特点,从而引出新知。) 各项都含有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式 注意:公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 又如:b是多项式ab-b2各项的公因式 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式 让学生说出公因式,学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等,最后一起确定公因式 2xy,让学生初步体会到确定公因式的方法 白精导 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 提公因式法 【教学目标】 1、知识与技能： ⑴在具体情境中认识公因式 ⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因 式法分解因式 2、过程与方法： ⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。 ⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。 3、情感、态度与价值观：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验 到学习的乐趣和数学的探索性。 【教学重点、难点】 1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 ⒉．教学难点∶正确地找出公因式 【教学过程】 ㈠预学 如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m,6.2m,宽都是 3.7 m,如何 计算这块菜园的面积呢？ 3.8 列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式) 3.7 有简便算法吗? =3.7×(3.8+6.2) 3.7 =3.7×10=37(m2 ) 6.2 图 8-1 在这一过程中,把 3.7 换成 m,3.8 换成 a,6.2 换成 b,于是有: ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb ㈡探究 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有 m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 。 又如：b 是多项式 ab-b 2 各项的公因式 2xy 是多项式 4x2 y-6xy2 z 各项的公因式 让学生说出公因式，学生可能会说是 2 或者是 x 、 y、2x、2y、2xy 等，最后一起确定公因式 2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 ㈢精导
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 指出下列各多项式中各项的公因式(以抢答的形式) (2)5x2y2-10x2y (5xy) (3)24abc-9a2b2(3ab) )mi (5)x(x-y)2-y(x-y)(x 说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式寻找出这个多项式的 公因式.) (1)ax+ay-a(25x2y3-10x3y(3)24abc-9ab2(4)m2n+mn2(⑤5)x(x-y)2-y(x-y) 5xy, 5xy, 5xy 3abc gab. 3ab x(x-y), y(x-y),(x-y) 游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同 学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由 显然由定义可知,提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法:(可以由学生讨 论总结,然后教师进行归纳) (1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时) (2)字母取各项的相同字母,且各字母的指数取最低次幂 根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb逆变形,使得到ma+m的因式分解形式:ma+mb=m(a+b) 这说明多项式mamb各项都含有的公因式可提到括号外面,将多项式ma+mb写成m(a+b)的形式, 这种分解因式的方法叫做提取公因式法 定义:一般地,如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行分解的方 法叫做提取公因式法。 四例题教学,运用新知 例 把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习,学生会比较容易地找出公因式,所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板 上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步:第一步:找出 公因式;第二步:提取公因式 解:3pq3+15pq=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2) 让学生口答:把2x2+6x2分解因式 【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能,但真正达到掌握知识与技能,还需要教师 示范,学生模仿性学习,经过规范化的示范,就能逐步培养学生严谨的思维,正确的计算能力。】 说明:(①)应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取 (2)刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解 把4x2-8ax+2x分解因式(让学生做,教师下去观察并选择有代表性的解答。) 学生可能出现的解答:①4x2-8ax+2x=x(4x-8a+2)②4x2-8ax+2x=2(2x24ax+x) ③4x2-8ax+2x=2x(2x-4a)④4x2-8ax+2x=2x(2x-2a+1) ⑤4x2-8ax+2x=2x(2x-8ax+2x) 教师出示学生的解答,可先让学生自行点评,找出分解因式的错误,而且这些错误都是以后学生 练习中的常犯错误,接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效 【先让学生自己动手做,暴露他们的错误,然后再进行点评,加深他们的记忆。】 分析:找出公因式2x,强调多项式中2x=2x×1 解:4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x(2x-4a+1) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式） ⑴ax+ay-a （a） ⑵5x2 y 3 -10x2 y （5x2 y） ⑶24abc-9a2 b 2 （3ab） ⑷m 2 n+mn2 （mn） ⑸x(x-y)2 -y(x-y) (x-y) 说明:本活动也可以改为寻找公因 式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的 公因式.) ⑴ax+ay-a ⑵5x2 y 3 -10x2 y ⑶24abc-9a2 b 2 ⑷m 2 n+mn2 ⑸x(x-y)2 -y(x-y) a, x, y 5xy,5x2 y 3 ,5x2 y 3abc,9ab,3ab mn,m2 n,mn 2 x(x-y),y(x-y),(x-y) 游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中 3 个同 学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨 论总结，然后教师进行归纳） ⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时） ⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂 根据分配律，可得 m（a+b）=ma+mb 逆变形，使得到 ma+mb 的因式分解形式：ma+mb=m（a+b） 这说明多项式 ma+mb 各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式 ma+mb 写成 m（a+b）的形式， 这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方 法叫做提取公因式法。 ㈣例题教学，运用新知 例1． 把 3pq3 +15p3 q 分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板 上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出 公因式；第二步：提取公因式 解：3pq3 +15p3 q=3pq×q 2 +3pq×5p2 =3pq(q2 +5p2 ) 让学生口答：把 2x3 +6x2 分解因式 【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师 示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。】 说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取. ⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解 例2． 把 4x2 -8ax+2x 分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。） 学生可能出现的解答：①4x2 -8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2 -8ax+2x=2（2x2- 4ax+x） ③4x2 -8ax+2x=2x（2x-4a） ④4x2 -8ax+2x=2x（2x-2a+1） ⑤4x2 -8ax+2x=2x（2x-8ax+2x） 教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生 练 习 中 的 常 犯 错 误 ， 接 着 由 教 师 总 结 。 这 样 做 比 教 师 直 接 给 出 可 能 会 更 有 效 。 【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。】 分析：找出公因式 2x，强调多项式中 2x=2x×1 解：4x2 -8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 说明:当多项式的某一项恰好是公因式时,这一项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应 是1。1作为项的系数通常可省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏项。这类题常有 学生犯下面的错误:4x2-8ax+2x=2x(2x-4a) 注意:提公因式后的项数应与原多项式的项数一样,这样可检查是否漏项。 例3.把-3ab+6abx-9aby分解因式 【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】 学生可能会指出字母的个数不同…(只要学生说得合理,教师应及时给予肯定与鼓励) 他们很快就会发现第一项的系数是“-”的,那么如何转化呢? 【由学生各述己见,教师不加评定,然后集体总结学生思维中的闪光点。】 应先把它转化成前面的情形,便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提 ”号时,教师可适当地引出添括号法则,可谓解决“燃尾之急 添括号法则:括号前面是 括到括号里的各项都不变号:括号前面是“-”号,括到括 号里的各项都要变号。 课堂练习:P15T2【巩固添括号法则】 M:-3ab+6abx-gaby=-(3ab-6abx + gaby )=-3ab(1-2x+3y) 说明:通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时 运用添括号法则要提出负因数,此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见 P15 课堂练习:P15T3 【通过纠错题,及时反馈信息,进行点评】 例4. 探索:2(a-b)2-a+b能分解因式吗? 还是把问题先交给学生进行小组讨论(四人一小组),鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提 出好象没有公因式?此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为:2(a-b)2-(a-b),然 后启发学生如何转化?从而解决问题 解:2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b)=(a-b)[2(a-b)-1]=(a-b)(2a-2b-1) 然后可追加一问:2(ab)2-(b-a)呢? 让学生积极思考,讨论回答 注:n为偶数 Ca-b)=(b-a) n为奇数 (a-b)"=-(b-a) 【让他们从合作中去感受群体合作的力量,体验展示自我的愉悦。】 指出:我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因 式不明显,但仔细观察可发现,利用添括号法则把-a+b可变形成-(a+b),若把(a-b)看作m,原 多项式就可以提取公因式a-b 【向学生渗透换元思想】 【例题4培养学生分析问题的能力,优化学生思维品质,让学生区分方法的差异。】 (四)提升 把下列各式分解因式 (1)2ax+2ay(2)x2y-xy2(3a3+2a2-a(4)2m-6mn2+14mn3(5)-ab2c+2a2b-5ac2 (6)x(a+b)-y(a+b)(7a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) 【让学生上来板演,练习都是针对例题的直接应用,同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。】 (五)课后作业 A组:将下列各式分解因式 (1)3(a-b)2-6a+6b (2)-0.01x3y+o.2x2yz2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与 1 的乘积，提公因式后剩下的应 是 1。1 作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有 学生犯下面的错误：4x2 -8ax+2x=2x（2x-4a） 注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。 例3． 把-3ab+6abx-9aby 分解因式 【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】 学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励） 他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？ 【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】 应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提 “-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括 号里的各项都要变号。 课堂练习：P156T 2【巩固添括号法则】 解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y） 说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时， 运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见 P155 课堂练习：P156T3 【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】 例4． 探索： 2（a-b）2 -a+b 能分解因式吗？ 还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提 出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b） 2 -（a-b），然 后启发学生如何转化？从而解决问题。 解：2（a-b）2 -a+b= 2（a-b）2 -（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1） 然后可追加一问： 2（ a-b） 2 -（b-a） 3 呢？ 让学生积极思考，讨论回答。 注：n 为偶数 （a-b）n =（b-a）n n 为奇数 （a-b） n = -（b-a） n 【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。】 指出：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因 式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b 可变形成-（a+b），若把（a-b）看作 m，原 多项式就可以提取公因式 a-b。 【向学生渗透换元思想】 【例题 4 培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。】 （四）提升 把下列各式分解因式 ⑴2ax+2ay ⑵x 2 y-xy 2 ⑶a 3 +2a2 -a ⑷2mn-6m2 n 2 +14m3 n 3 ⑸-ab2 c+2a2 b-5ac2 ⑹x（a+b）-y（a+b） ⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a） 【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。】 （五）课后作业 A 组:将下列各式分解因式 ⑴3（a-b） 2 -6a+6b ⑵-0.01x3 y+o.2x2 yz 2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (3)利用因式分解计算 22×3.145+53×3.145+31.45×2.5 B组:分解因式x-x"+x2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ⑶利用因式分解计算 22×3.145+53×3.145+31.45×2.5 B 组: 分解因式 x a -x a-1 +xa-2