免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 因式分解 、因式分解的概念 例1下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的为 B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4) 分析:要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法:B只是分解了局 部,没有整体化成整式的积的形式;而D左右两边不相等,不属于恒等变形,因而也不属于 分解因式. 解:选C. 二、因式分解的方法 例2因式分解:2(a-3)2-a+3 分析:注意到-a+3提出负号后可变成(a-3),所以考虑将负号提出,添括号后提取公因 式(a-3) 解:2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7). 注意:注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并 例3因式分解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n) 分析:可将(m+n)看做一个整体,利用完全平方公式分解 解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+2×2m×3(m+n)+[3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2 (5m+3n) 注意:当所要分解的多项式符合公式的“项数”时,注意灵活进行整体运用 例4因式分解:a2(2x-3)+9(3-2x) 分析:先提取(2x-3),然后用平方差公式分解,注意后一项的符号变化 解:a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3) 三、因式分解相关的计算 例5已知x=a+b,y=a-b,用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值 分析:将代数式(x2+y2)2-(x2y2)2用平方差公式分解后,每个括号内合并,然后观察与 的关系,再将x=a+b,y=a-b代入求解 解:(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y)=2x2·2y2=4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2 4a-8a2b2+4b′ 100 例6计算 (99+198+1) 分析:若直接计算,则分母中的计算量很大,考虑括号内的部分能否用完全平方公式分 1002 解:(9+198+(9+2×91)1(9+=10=100 四、因式分解相关的说明 例7已知a2+b2=1,x2+y2=1. 试说明:(ax+by)2+(bx-ay)2=1 分析:将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示,故考虑将左边因式分解 (ax+by)+(bx-ay)=a x+2abxy +b y +b x-2abxy +ay=ax+b y +bx+a y (a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 因式分解 一、因式分解的概念 例 1 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为( ) A.a(x+y)=ax+ay B.x2 -4x+4=x(x-4)+4 C.10x2 -5x=5x(2x-1) D.x2 -16+6x=（x+4）（x-4） 分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项 A 属于整式乘法；B 只是分解了局 部，没有整体化成整式的积的形式；而 D 左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于 分解因式. 解：选 C. 二、因式分解的方法 例 2 因式分解：2(a-3)2 -a+3= . 分析：注意到-a+3 提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因 式（a-3）. 解：2(a-3)2 -a+3=2(a-3)2 -(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7). 注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并. 例 3 因式分解：4m2 +9(m+n)2 +12m(m+n). 分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解. 解：4m2 +9(m+n)2 +12m(m+n)= (2m)2 +2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2 =[2m+3(m+n)]2 = (5m+3n)2 . 注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用. 例 4 因式分解：a 2 (2x-3)+9(3-2x). 分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化. 解：a 2 (2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2 -9)=(2x-3)(a+3)(a-3). 三、因式分解相关的计算 例 5 已知 x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2 +y2 ) 2 -(x2 -y 2 ) 2 的值. 分析：将代数式(x2 +y2 ) 2 -(x 2 -y 2 ) 2 用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与 x， y 的关系，再将 x=a+b，y=a-b 代入求解. 解：(x2 +y2 ) 2 -(x2 -y 2 ) 2 =(x2 +y2 +x2 -y 2 )(x2 +y2 -x 2 +y2 )=2x2·2y2 = 4x2 y 2 =4(xy)2 =4[(a+b)(a-b)]2 = 4a4 -8a2 b 2 +4b4 . 例 6 计算 2 2 2 100 (99 198 1) + + . 分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分 解. 解： 2 2 2 100 (99 198 1) + + = 2 2 2 100 (99 2 99 1 1 ) + + = 2 2 2 2 4 100 100 1 [(99 1) ] 100 1000 = = + . 四、因式分解相关的说明 例 7 已知 a 2 +b2 =1，x 2 +y 2 =1. 试说明： (ax+by)2 +(bx-ay)2 =1. 分析：将所证式子的左边整理成用 a 2 +b2 和 x 2 +y2 表示，故考虑将左边因式分解. (ax+by)2 +(bx-ay)2 =a 2 x 2 +2abxy+b2 y 2 +b2 x 2 -2abxy+a2 y 2 =a 2 x 2 +b2 y 2 +b2 x 2 +a2 y 2 =(a2 +b2 )x2 +(a2 +b2 )y2 =(a2 +b2 )(x2 +y2 )
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 因为a2+b2=1,x2+y2=1,所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1 注意:此题采用“欲进先退”的策略,即要进行分解因式,先进行整式的乘法,待到式 子化简后,再分解因式进行说明 五、因式分解的实际应用 例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm,它们的面积相差836cm,求 这两个正方形的边长 分析:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,则根据它们的周长相差88cm 可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2,所以x2-y2=836,根据这两个方程可求出x y的值,但是两个方程的数值较大,计算复杂,因此可以考虑将x-y2=836用因式分解法变 形,求解 解:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,根据题意得 ∫4(x-y)=880 方程组等价于 y=22 x2-y2=836② (x+y)x-y)=836④ 将③代入④,得x+y=38⑤ ③和⑤组成方程组得 ∫x-y=22 x+y=38 解得x=30,y=8. 所以大正方形的边长是30cm,小正方形的边长是8cm 误区点拨 误区一因式对分解的概念理解不透彻 例1下列从左到右的变形是分解因式的是() A.x2+x+=(x+ B.x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1 C.(x-y)(x+2y)=x2+xy-2y2 错解:选B、C、D. 错因分析:B中只是将部分写成积的形式,不符合因式分解的概念,C中是整式的乘法, 和因式分解正好互为逆运算;D中的a实质上是一,不是整式,而分解因式是要求把多项 式写成整式的积的形式,所以不正确 正解:选A. 误区二多项式分解不彻底 例2因式分解a-2a2+1. 错解:a-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1) 错因分析:括号内的a2-1还可以利用平方差分解,然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1) 正解:a-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2 误区三利用公式出现偏差 例3因式分解(x+y)2-4xy 错解:(x+y)2-4xy=(x+y+2xy)(x+y-2xy) 错因分析:4xy不是一个整式的平方的形式,不能直接利用平方差公式分解. IEAF: (x+y)-4xy=x+y +2xy-4xy=x+y -2xy=(x-y 误区四提公因式漏项 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 因为 a 2 +b2 =1，x 2 +y2 =1，所以(ax+by)2 +(bx-ay)2 =1. 注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式 子化简后，再分解因式进行说明. 五、因式分解的实际应用 例 8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差 88 cm，它们的面积相差 836 cm2，求 这两个正方形的边长. 分析：设大正方形的边长为 x cm，小正方形的边长为 y cm，则根据它们的周长相差 88 cm， 可得 4(x-y)=88.又因为它们的面积相差 836 cm2，所以 x 2 -y 2 =836，根据这两个方程可求出 x， y 的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将 x 2 -y 2 =836 用因式分解法变 形，求解. 解：设大正方形的边长为 x cm，小正方形的边长为 y cm，根据题意得 2 2 4( ) 88 836 x y x y − = − = ① ② 方程组等价于 22 ( )( ) 836 x y x y x y − = + − = ③ ④ 将③代入④，得 x+y=38⑤. ③和⑤组成方程组得 22 38 x y x y − = + = 解得 x=30，y=8. 所以大正方形的边长是 30 cm，小正方形的边长是 8 cm. 误区点拨 误区一因式对分解的概念理解不透彻 例 1 下列从左到右的变形是分解因式的是( ) A. 2 2 1 1 ( ) 4 2 x x x + + = + B. 2 2 x y x y x y − − = + − − 1 ( )( ) 1 C. 2 2 ( )( 2 ) 2 x y x y x xy y − + = + − D. n n 1 a a − − = 1 (1 ) n a a − − 错解：选 B、C、D. 错因分析：B 中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C 中是整式的乘法， 和因式分解正好互为逆运算；D 中的 a -1 实质上是 1 a ，不是整式，而分解因式是要求把多项 式写成整式的积的形式，所以不正确. 正解：选 A. 误区二 多项式分解不彻底 例 2 因式分解 a 4 -2a2 +1. 错解： a 4 -2a2 +1=(a2 ) 2 -2a2 +1=(a2 -1)2 . 错因分析：括号内的 a 2 -1 还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2 . 正解 ：a 4 -2a2 +1=(a2 ) 2 -2a2 +1=(a2 -1)2 =(a+1)2 (a-1)2 . 误区 三 利用公式出现偏差 例 3 因式分解 (x+y)2 -4xy. 错解 ：(x+y)2 -4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy). 错因分析： 4xy 不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解. 正解： (x+y)2 -4xy=x2 +y2 +2xy-4xy=x2 +y2 -2xy=(x-y)2 . 误区四 提公因式漏项
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc. 错解:3abc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c 错因分析:最后一项提取公因式3abc后,还剩余1单独成一项 正解:3abc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1) 教学反思: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 4 分解因式 3a2 bc3 -12abc2 +3abc. 错解：3a2 bc3 -12a bc2 +3abc=3abc(ac2 -4 c). 错因分析：最后一项提取公因式 3abc 后，还剩余 1 单独成一项. 正解：3a2 bc3 -12abc2 +3abc=3abc(ac2 -4c+1). 教学反思：