27二次根式 第1课时二次根式及其化简 学习目标 1、了解最简二次根式的意义,并能作出准确判断。 2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。 3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。 4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力,提高运算能力。 5、通过多种方法化简二次根式,渗透事物间相互联系的辩证观点。 6、通过本节的学习,渗透转化的数学思想。 二、重点难点 1、学习重点 会把二次根式化简为最简二次根式 2、学习难点 准确运用化二次根式为最简二次根式的方法 三、学习方法 程序式学习 四、课时安排 二课时 五、学习过程 准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料 【预备资料】 (1)、二次根式的性质 =a.(a≥ab≥0) (a≥0,b>0) (2)、二次根式性质例题 (3)、二次根式性质练习题 【引入材料】 看下面的问题: 已知:5=1.732,如何求出7的近似值? 解法1:43 732=0.577 w法2==5=132=05m 比较两种解法,解法1很繁,解法2较简便,比例说明,将二次根式化简,有时会带来方便。 2、概念讲解与巩固
2.7 二次根式 第 1 课时 二次根式及其化简 一、学习目标 1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。 2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。 3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。 4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。 5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。 6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。 二、重点难点 1、学习重点 会把二次根式化简为最简二次根式 2、学习难点 准确运用化二次根式为最简二次根式的方法 三、学习方法 程序式学习 四、课时安排 二课时 五、学习过程 1、复习引入 准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。 【预备资料】 ⑴、二次根式的性质 ⑵、二次根式性质例题 ⑶、二次根式性质练习题 【引入材料】 看下面的问题： 已知： ＝1.732，如何求出 的近似值? 解法 1： 解法 2： 比较两种解法，解法 1 很繁，解法 2 较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。 2、概念讲解与巩固
【概念讲解材料】 满足下列条件的二次根式,叫做最简二次根式: (1)、被开方数的因数是整数,因式是整式 (2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 如 x,42都不是最简二次根式,因为被开方数的因数(或系数)为分数或因 式为分式,不符合条件(1),条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号 又如27,√3(a-b)2,√x2+2xy+y也不是最简二次根式,因为被开方数中含有 能开得尽方的因数或因式,不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解 成因式后而言的,如27=32×3,√x+y)2。 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查定义中的两个条件是否同 时满足,同时满足两个条件的就是,否则就不是。 【概念理解学习材料1】 例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式?哪些不是?为什么 分析:判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查定义中的两个条件是否 同时满足,同时满足两个条件的就是,否则就不是 解:最简二次根式有5,因为45=√5×9=√5×5=35 被开方数中含能开得尽方的因数9,所以它不是最简二次根式 说明:判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或 直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分 母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察 【概念理解巩固材料1】 正选练习题 判断下列各式是否是最简二次根式? (2,(2)2,③323,(128,(5,(6)√40 【概念理解学习材料2】 例2、判断下列各式是否是最简二次根式? 5.a)35 分析:(1)2显然满足最简二次根式的两个条件。 3√2√ (2) √22√22或V2
【概念讲解材料】 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)、被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 如: 都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因 式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。 又如 也不是最简二次根式，因为被开方数中含有 能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解 成因式后而言的，如 。 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同 时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。 【概念理解学习材料 1】 例 1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？ 分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否 同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。 解：最简二次根式有 ，因为 被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。 说明：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或 直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数 2，且被开方数中不含有分 母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。 【概念理解巩固材料 1】 正选练习题 1 判断下列各式是否是最简二次根式？ 【概念理解学习材料 2】 例 2、判断下列各式是否是最简二次根式？ 分析：（1） 显然满足最简二次根式的两个条件。 （2） 或
3 解:最简二次根式只有2,因为 √√5√√6 V2互五2或 5 2×22 说明:最简二次根式应该分母里没根式,根式里没分母(或小数) 【概念理解巩固材料2】 正选练习题2 判断下列各式是否是最简二次根式? (232,(2,(4128,(5,,(6)64 【概念理解学习材料3】 例3判断下列各式是否是最简二次根式? √2a,a,18ab,ab, 分析:最简二次根式应该分母里没根式,根式里没分母(或小数)来进行判断发现√3ab和 Jab ab是最简二次根式,而√2不是最简二次根式,因为 在根据定义知8a2b 也不是最简二次根式,因为 √18a2b=ya2×2b= 解:最简二次根式有V和 因为 62a √8a2b=√9a2×2b=a2x历=32b 【概念理解巩固材料3】 正选练习题3 判断下列各式是否是最简二次根式? 1l4ab5,(2 √a2b3a20a2b x2 【概念理解学习材料4】
解：最简二次根式只有 ，因为 或 说明：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）。 【概念理解巩固材料 2】 正选练习题 2 判断下列各式是否是最简二次根式？ 【概念理解学习材料 3】 例 3 判断下列各式是否是最简二次根式？ 分析：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现 和 是最简二次根式，而 不是最简二次根式，因为 在根据定义知 也不是最简二次根式，因为 解：最简二次根式有 和 ，因为 ， 【概念理解巩固材料 3】 正选练习题 3 判断下列各式是否是最简二次根式？ 【概念理解学习材料 4】
例4判断下列各式是否是最简二次根式? x2 (2 分析:被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断 (1) 不能分解因式 显然满足最简二次根式的两个条件。 (2) 25m3+72:=2m2+2=5mm+2 解:最简二次根式只有 说明:被开方数比较复杂时,应先进行因式分解再观察 【概念理解巩固材料5】 正选练习题5 判断下列各式是否是最简二次根式? (2)√x2+2x+1 3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固 【化简方法学习材料1】 例1、把下列二次根式化为最简二次根式 (22)5x2y 分析:本例题中的2道题都是基础题,只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它 的算术平方根代替后移到根号外面即可。 √48 (2 75x2y=52x23y=5x,By 【化简方法巩固材料1】 正选练习题1 化简 0(2(,1(0(0 y2:02 9)y 【化简方法学习材料2】 例2、把下列二次根式化为最简二次根式 (x2-2x+1(x〈(D;(2√4xy2+12x9y2 分析:本例题中的2道题被开方数都是多项式,应先进行因式分解
例 4 判断下列各式是否是最简二次根式？ 分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。 （1） 不能分解因式， 显然满足最简二次根式的两个条件。 （2） 解：最简二次根式只有 ，因为 说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。 【概念理解巩固材料 5】 正选练习题 5 判断下列各式是否是最简二次根式？ 3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固 【化简方法学习材料 1】 例 1、把下列二次根式化为最简二次根式 分析：本例题中的 2 道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它 的算术平方根代替后移到根号外面即可。 解： 【化简方法巩固材料 1】 正选练习题 1 化简 【化简方法学习材料 2】 例 2、把下列二次根式化为最简二次根式 分析：本例题中的 2 道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解
x+1 1=1-x(x1) 【化简方法学习材料3】 例3、把下列二次根式化为最简二次根式 (1) x-y(x>y>0) +(a>0,b>0 分析:被开方式比较复杂时,要先对被开方式进行处理。解: (x-) (x>p>0 a (a>0,b>0)
解： 说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题。 在化简二次根式时，要防止出现如下的错误: 化简二次根式的步骤是： (1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式。 (2)化去根号内的分母，即分母有理化。 (3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来。 【化简方法巩固材料 2】 正选练习题 2 化简 【化简方法学习材料 3】 例 3、把下列二次根式化为最简二次根式 分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。解：
说明:运算中要注意运算的准确性和合理性 【化简方法巩固材料3】 正选练习题3 化简 x>1,y>0);(2) +1(a>0) 4、小结 (1)最简二次根式概念 (2)二次根式的化简 化简二次根式的过程,一般按以下步骤:把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分 数,把绝对值小于1的小数化成分数:被开方数是多项式的要因式分解:使被开放数不含分 母:将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面:化去分 母中的根号;约分
说明：运算中要注意运算的准确性和合理性。 【化简方法巩固材料 3】 正选练习题 3 化简 4、小结 ⑴最简二次根式概念 ⑵二次根式的化简 化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于 1 的小数化成假分 数，把绝对值小于 1 的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分 母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分 母中的根号；约分