23立方根 学习目标: (一)学习知识点 了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根 2能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算 3.了解立方根的性质 4区分立方根与平方根的不同 (二)能力训练要求 1在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比 思想 2发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非 (三)情感与价值观要求 当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的 知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯, 能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点 训练学生的类比思想的养成 学习重点: 立方根的概念 学习难点: 1.正确理解立方根的概念 2会求一个数的立方根 3区分立方根与平方根的不同之处 学习方法 类比学习法 学习过程 I新课导入 上节课我们学习了平方根的定义,若x2=a,则x叫a的平方根,即x=±√a 若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢? 本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢? Ⅱ.新课讲解 1请大家先回忆平方根的定义下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记 法呢? 若x的平方等于a,则x叫a的平方根,记作x=±√a,读作x等于正、负二次根号a, 简称为x等于正,负根号a若x的立方等于a,则x叫a的立方根,记作x=±a,读作x 等于正、负三次根号a,简称x等于正、负根号a [师]请大家对这位同学的回答展开讨论,小组总结后选代表发言 生甲]我认为这位同学回答得不对如果x2=a,则x±√a,x=a时,x=±√a也成 立的话,那如何区分平方根与立方根呢? [生乙]因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如x3=8, 因为23=8,所以x=2,只有一个根而不是±2,所以立方根的个数不正确
2.3 立方根 学习目标： (一)学习知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比 思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. (三)情感与价值观要求 当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的 知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯， 能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点 训练学生的类比思想的养成. 学习重点： 立方根的概念. 学习难点： 1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处. 学习方法： 类比学习法. 学习过程： Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了平方根的定义，若 x 2=a，则 x 叫 a 的平方根，即 x=± a . 若正方体的棱长为 a，体积为 8，根据正方体体积的公式得 a 3=8，那 a 叫 8 的什么呢？ 本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若 x 3=a，则 x 叫 a 的什么呢？ Ⅱ.新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记 法呢？ .若 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的平方根，记作 x=± 2 a ，读作 x 等于正、负二次根号 a， 简称为 x 等于正，负根号 a.若 x 的立方等于 a，则 x 叫 a 的立方根，记作 x=± 3 a ，读作 x 等于正、负三次根号 a，简称 x 等于正、负根号 a. ［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. ［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果 x 2=a，则 x=± a ，x 3=a 时，x=± a 也成 立的话，那如何区分平方根与立方根呢？ ［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如 x 3=8， 因为 2 3=8，所以 x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确
[师]大家的分析非常有道理,请认真看书第13、14页可知,若一个数x的立方等于 a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的立方根( cube oot;也叫三次方根)如2是8的立方根 记为x 读作x等于三次根号 开立方的定义 [师]大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义 [生]求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做 开立方,其中a叫做被开方数 (2)立方根的性质 [师]2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是8? [生]2的立方等于8,(-2)>=-8,所以没有其他的数的立方等于8 [师]-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27? [生]-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27 [师]0的立方等于多少?0有几个立方根? [生]0的立方等于0,0有1个立方根是0. [师]从刚才的讨论中,大家总结一下正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几 个立方根? [生]正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根 [师]对正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根,0的立方根有一个,是0. (3)平方根与立方根的区别与联系 [师]我们已经学习了平方根与立方根的定义,并会求某些数的平方根和立方根,下面 请大家说说它们的联系与区别 [生]从定义来看,若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根:若一个数 x的立方等于a,即x3=a,则x叫a的立方根,都是一个数x的乘方等于a,但一个是平方, 另一个是立方 [生]一个正数的平方根有两个,一个负数没有平方根,零的平方根有一个是零:一个 正数的立方根有一个,并且是正数,一个负数有一个负的立方根,零的立方根有一个是零 [生]它们的表示方法和读法不同,一个正数a的平方根表示为±√a,立方根表示为 下面我再系统地总结一下 平方根与立方根的联系与区别 联系: (1)0的平方根、立方根都有一个是0 (2)平方根、立方根都是开方的结果 区别 (1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“如果一个数的立 方等于a,这个数就叫做a的立方根” (2)个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根 个负数有一个立方根 (3)表示法不同 正数a的平方根表示为±√a,a的立方根表示为
［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第 13、14 页可知，若一个数 x 的立方等于 a，即 x 3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(cube root；也叫三次方根)如 2 是 8 的立方根， 记为 x= 3 a ，读作 x 等于三次根号 a. 开立方的定义 ［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. ［生］求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数 a 的立方根的运算，叫做 开立方，其中 a 叫做被开方数. (2)立方根的性质 ［师］2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 8？ ［生］2 的立方等于 8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于 8. ［师］－3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ ［生］－3 的立方等于－27，3 3=27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0 的立方等于多少？0 有几个立方根？ ［生］0 的立方等于 0，0 有 1 个立方根是 0. ［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数有几 个立方根？ ［生］正数有一个立方根，0 有一个立方根是 0，负数有一个立方根. ［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是 0. (3)平方根与立方根的区别与联系. ［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面 请大家说说它们的联系与区别. ［生］从定义来看，若一个数 x 的平方等于 a，即 x 2=a，则 x 叫 a 的平方根；若一个数 x 的立方等于 a，即 x 3=a，则 x 叫 a 的立方根，都是一个数 x 的乘方等于 a，但一个是平方， 另一个是立方. ［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个 正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零. ［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数 a 的平方根表示为± a ，立方根表示为 3 a . 下面我再系统地总结一下： 平方根与立方根的联系与区别. 联系： (1)0 的平方根、立方根都有一个是 0. (2)平方根、立方根都是开方的结果. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根”；“如果一个数的立 方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根.” (2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一 个负数有一个立方根. (3)表示法不同 正数 a 的平方根表示为± a ，a 的立方根表示为 3 a
(4)被开方数的取值范围不同 ±√a中的被开方数a是非负数:a中的被开方数可以是任何数 2例题讲解 [例1]求下列各数的立方根: (1)-27;(2),:(3)0.216;(4)-5 [师]请大家思考下列问题 表示a的立方根,则a)等于什么?a3等于什么? 大家可以先举例后找规律:(√a)=a 又∵a是a的立方,所以a的立方根就是a,所以va3=a下面就这两个式子进行练习 [例2]求下列各式的值: (1)y-8:(2)√0064:(3) :(4X(9 Ⅲ课堂练习 (一)随堂练习 1求下列各式的值 0125:-6435;(16)3 2一个正方体,它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多 解:设正方体的棱长是x厘米,得 (二)补充练习1求下列各数的立方根 ,0.001 1000 2求下列各式的值 v0027;-1; 1(-122y=2 3.下列说法对不对?
(4)被开方数的取值范围不同 ± a 中的被开方数 a 是非负数； 3 a 中的被开方数可以是任何数. 2.例题讲解 ［例 1］求下列各数的立方根： (1)－27；(2) 125 8 ；(3)0.216；(4)－5. ［师］请大家思考下列问题. 3 a 表示 a 的立方根，则( 3 a ) 3 等于什么？ 3 3 a 等于什么？ 大家可以先举例后找规律.： ( 3 a ) 3=a. 又∵a 3 是 a 的立方,所以 a 3 的立方根就是 a，所以 3 3 a =a.下面就这两个式子进行练习. ［例 2］求下列各式的值： (1) 3 −8 ；(2) 3 0.064 ；(3)－3 125 8 ；(4)( 3 9 ) 3 Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习 1.求下列各式的值： 3 3 3 3 3 3 0.125; −64; 5 ;( 16) . 2.一个正方体，它的体积是棱长为 3 厘米的正方体体积的 8 倍，这个正方体的棱长是多 少？ 解：设正方体的棱长是 x 厘米，得 (二)补充练习 1.求下列各数的立方根： 0，1，－ 81 27 ，6，－ 1000 125 ，0.001 2.求下列各式的值： 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 ) 27 8 1; ( 2) ;( 2) ; ( 64 63 ; 125 1 0.027; −1;− − − − − 3.下列说法对不对？
4没有立方根;1的立方根是士1:1的立方根是 5的立方根是一√5;64的算术 平方根是 Ⅳ.议一议 1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积 是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍? 2.一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍? 解:设原正方体的棱长为a,后来的正方体的棱长为b,得 na'=b3:.b3=Van ∴b=an=3ma 即后来的棱长变为原来的√n倍 V.课时小结1.立方根的定义2立方根的性质3开立方的定义4平方根与立方根的区别 与联系 5会求一个数的立方根 Ⅵ课后作业 习题2.5 Ⅶ活动与探究 1求下列各式中的x (1)8x3+27=0;(2)(x-1)3-0.343=0;(381(x+1)+=16:(4)32x5-1=0
－4 没有立方根；1 的立方根是±1； 36 1 的立方根是 6 1 ；－5 的立方根是－ 3 5 ；64 的算术 平方根是 Ⅳ.议一议 1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积 是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？ 2.一个正方体的体积变为原来的 n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为 a，后来的正方体的棱长为 b，得 na3=b 3∴ 3 3 3 3 b = a n ∴b= a n na 3 3 3 = . 即后来的棱长变为原来的 3 n 倍. Ⅴ.课时小结 1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别 与联系. 5.会求一个数的立方根. Ⅵ.课后作业 习题 2.5. Ⅶ.活动与探究 1.求下列各式中的 x. (1)8x 3+27=0；(2)(x－1)3－0.343=0；(3)81(x+1)4=16；(4)32x 5－1=0