12一定是直角三角形吗 学习目标: 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究 意识和合作交流的习惯。 2.掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点: 重点:能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 难点:用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1.把握勾股定理的逆定理 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 学习过程 1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c有下面关系: 那么这个三角形是直角三角形 注意:勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定 理 1.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤 (1)首先求出最大边(如c) (2)验证a2+b2与c2是否具有相等关系; 若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形 若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形 2.直角三角形的判定方法小结: (1)三角形中有两个角互余 (2)勾股定理的逆定理; 3.紧记一些常用的勾股数,将为我们应用勾股定理逆定理带来方便,如3、4、5:5、 12、13:6、8、10;12、16、20等 四、典型例题 例1.在 RIAABO中,∠C=90°,CD⊥AB于D,求证: (1) AB-=AD+DB+2CD (2)CD= AD DB 分析:在图中有△ABC、△ADC与△BCD三个直角三角形,利用勾股定理可以求证。 证明 (1). AB2=AC2 + BC2, AC2= AD+CD2, BC2= BD2+CD2
1.2 一定是直角三角形吗 学习目标： 1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究 意识和合作交流的习惯。 2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点： 重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理； 2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 学习过程 1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 有下面关系： a 2 +b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定 理。 1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）首先求出最大边（如 c）； （2）验证 a 2 +b 2 与 c 2 是否具有相等关系； 若 c 2=a 2+b 2 ，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。 若 c 2 ≠a 2+b 2 ，则△ABC 不是直角三角形。 2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理； 3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如 3、4、5；5、 12、13；6、8、10；12、16、20 等。 四、典型例题 例 1. 在 RtABC 中， C = 90 ，CD⊥AB 于 D，求证： （1） AB AD DB CD 2 2 2 2 = + + 2 （2） CD AD DB 2 = 分析：在图中有 ABC、ADC 与 BCD 三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。 证明： （1） AB AC BC AC AD CD BC BD CD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + ， = + ， = + C A D B
∴AB2=AC2+B AD-+CD-+bd-+cD AD2+DB2+2CD2 (2)又∵AB=AD+DB AB=(AD+ DB)=AD+DB+2 AD DB AD-+DB+2CD= AD-+DB+2AD DB 2CD-=2AD DB 即CD2=AD·DB 例2、已知△ABC中,AB=5Ccm,BC=12cm,AC=13cm,求AC边上的高线的长 分析:首先通过所给的三角形的三边长,判断出所求高线长的三角形为直角三角形,并 且要求的为斜边上的高线,通过勾股定理可解,未知量可用方程的思想求得 解:∵AB2=25,BC2=144,AC2=169,∴25+144=169 AB+BC= AC △ABC为R团,且∠B=90 作BD⊥AC于D 设AD=x,则CD=13-x BD2= BC2-CD2= AB2-AD2 122-(13-x)2=25-x2 AB-AD 13 答:AC边上的高线长为Cm 例3.已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点
= + = + + + = + + AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 （2）又 AB = AD + DB AB = AD + DB = AD + DB + AD DB 2 2 2 2 ( ) 2 + + = + + = AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 CD AD DB 2 = 例 2、 已知 ABC 中， AB cm BC cm AC cm = = = 5 12 13 ， ， ，求 AC 边上的高线的长。 分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并 且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。 解： AB BC AC 2 2 2 = 25， = 144， = 169，25 + 144 = 169 AB + BC = AC 2 2 2 ABC 为 Rt ，且 B = 90 作 BD⊥AC 于 D 设 AD = x ，则 CD = 13 − x BD BC CD AB AD x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 12 13 25 25 13= − = − − − = − = ( ) = − = − = BD AB AD 2 2 2 2 25 25 13 60 13 ( ) 答：AC 边上的高线长为 60 13 cm。 例 3.已知：如图，△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上任一点， B 12 5 C 13 D A
求证:AB2-AD2=BD·DC 思路分析:通常遇到等腰三角形问题, 都是作底边上的高转化为直角三角形,再按 解直角三角形的思路探索。本例首先作AE ⊥BC于E,便出现两个全等的直角三角形。B E D C 由AB=AC→BE=EC 结论又以平方差“面目”出现,也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好 方法,那么在Rt△ABE,Rt△ADE中,由勾股定理,得 AB=AE+BE AD2=AE+DE2 →AB2-AD2=BE2-DE2 由于BE、DE均在一条直线BC上,通常是平方差公式进行因式分解,转化 为求同一条线段的和差问题,使结论明朗化,于是 AB--AD=(BE+DE)(BE-DE 结合图形知:BE+DE=BD →AB2-AD2=BD·CD BE-DECE-DE=CD 例4如图,已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、 12,∠CBA=90°,求S四边形ABCD 思路分析:遇到四边形,通常是连对角线转化为三 角形问题,对本例连对角线AC为佳,因∠CBA=90° 便出现了直角三角形ABC,由勾股定理可求 AC2=AB2+BC2=32+42=25 在△CAD中,我们又可发现: AC2+AD2=25+122=169 DC2=132=1 AC2+AD2=CD2,由勾股定理逆定理知 ∴△ACD为Rt△,且∠DAC=90 此时,已清晰可知,这个四边形由两个直角三角形构成,求其面积便容易了 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD AB·BC+-AC·AD 2 ×3×4+=×5×12 6+30=36(平方单位)
求证：AB2－AD2=BD·DC 思路分析：通常遇到等腰三角形问题， 都是作底边上的高转化为直角三角形，再按 解直角三角形的思路探索。本例首先作 AE ⊥BC 于 E，便出现两个全等的直角三角形。 由 AB=AC BE=EC 结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好 方法，那么在 Rt△ABE，Rt△ADE 中，由勾股定理，得 AB2=AE2+BE2 AD2=AE2+DE2 由于 BE、DE 均在一条直线 BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化 为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE) 结合图形知：BE+DE=BD BE－DE=CE－DE=CD 例 4.如图，已知四边形 ABCD 的四边 AB、BC、CD 和 DA 的长分别为 3、4、13、 12，∠CBA=90°,求 S 四边形 ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三 角形问题，对本例连对角线 AC 为佳，因∠CBA=90°， 便出现了直角三角形 ABC，由勾股定理可求 AC2=AB2+BC2=32+42=25 在△CAD 中，我们又可发现： AC2+AD2=25+122=169 DC2=132=169 ∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为 Rt△，且∠DAC=90° 此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。 S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD = + = + = + = 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 5 12 6 30 36 AB BC AC AD (平方单位) AB2－AD2=BE2－DE2 AB2－AD2=BD·CD
例5、在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=1BC,求证 ∠EFA=90 分析:通过图形结构和求证本题思路十分明显,就是要找RtΔ,那就是要通过勾股定理 逆定理来完成。 证明:设正方形ABCD的边长为4a W EC=a. be=3a. CF=DF= 2a 在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2=(4a)2+(x)2=25 在Rt△ADF中AF2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20n2 在Rt△ECF中EF2=PC2+EC2=(2a)2+a2=52 由上述结果可得AE2=AF2+EF2 由勾股定理逆定理可知△AEF为Rt△,且AE是最大边,即∠AFE=90° 例6、已知:如图,在正方形ABCD中,E,F分别AB,AD上的点,又AB=12, EF=10,△AEF的面积等于五边形 EBCDF面积的,求AE, AF的长。 思路分析:依题意知△AEF为Rt△用勾股定理,立马而定, 于是有EF2=AE2+AF2 设AE=xAF=y,又EF2=100,则x2+y2=100① 又SABF=S 五边形 EBCDA △AEF xy==×12 即2xy x+2xy+ →(x+y)2=196 x+y=14或-14 x2-2xy+y2=4 →(x-y)2=4 x-y=2或-2 解得:x=8.,y=6或x=6y=8 即AE=8,AF=6或AE=6,AF=8
例 5、在正方形 ABCD 中, F 为 DC 的中点, E 为 BC 上一点, 且 EC = 1 4 BC , 求 证 : EFA = 90 分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找 Rt , 那就是要通过勾股定理 逆定理来完成。 证明: 设正方形 ABCD 的边长为 4a 则 EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a 在 Rt ABE 中 AE AB BE ( a) ( a) a 2 2 2 2 2 2 = + = 4 + 3 = 25 在 Rt ADF 中 AF AD DF ( a) ( a) a 2 2 2 2 2 2 = + = 4 + 2 = 20 在 Rt ECF 中 EF FC EC ( a) a a 2 2 2 2 2 2 = + = 2 + = 5 由上述结果可得 AE AF EF 2 2 2 = + 由勾股定理逆定理可知 AEF 为 Rt , 且 AE 是最大边, 即AFE = 90 例 6、 已知：如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别 AB，AD 上的点，又 AB=12， EF=10，△AEF 的面积等于五边形 EBCDF 面积的 1 5 ，求 AE， AF 的长。 思路分析：依题意知△AEF 为 Rt△用勾股定理，立马而定， 于是有 EF2=AE2+AF2 设 AE=x,AF=y,又 EF2=100,则 x 2+y 2=100 ① 又 即 ② ① ② 或 ① ② 或 解得 或 即 或 五边形 正方形 S S S S xy xy x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y AE AF AE AEF EBCDF AEF = = = = + + + = + = + = − − − + = − = − = − = = = = = = = 1 5 1 6 1 2 1 6 12 2 96 2 196 196 14 14 2 4 4 2 2 8 6 6 8 8 6 6 2 2 2 2 2 2 2 : ( ) : ( ) : , , , , AF = 8
本例未告知AFAE谁大所以应取两解.C
本例未告知 AF,AE 谁大,所以应取两解