教学设计 教案骗号：5-6 课思 62向量的减法与数乘向量 课型 新授课 课程 数学 学时安排2 班级 金融1301一1305 所选 授课 9月15日16日19 教 材 数学基础核块（上册） 时间 日 一、散竿目标与任务 1. 学习口标播述 (1)知识与能力：理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量！ 拿握数乘向量的运算， (2)情感态度与价值观：通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的恩 想方法 2.学习重点及难点分析 (1)敦学重点：向量减法的三角形法则：数乘向量运算及运算律 (2)教学难点及对策： 谁点：向量减法的三角形法测；对数乘向量定义的理解 对策：数形结合的运用 二、教学教法设计 1.教学方法：启发式教学讲练结合 2.学法指导：始悴注重数形结合 三、学习话动组织 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 组织 师生问好，清点人数 敏学 导入 在某地的一条大河中，水速度为 教师提出问题，引 門，摆波船需要以防的实际航速到达河对 入课题. 从实际生活经 历出发，激发学 岸，那么摆菠船白身应以怎样的航行速度 学生思考， 生的学习兴整。 行驶呢？ 同时体现向量 的应用价值。 讲授 1,向量减法法则 敦师引导学生 在向量加法的 新课
1 教学设计 教案编号：5-6 课 题 6.2 向量的减法与数乘向量 课 型 新授课 课 程 数学 学时安排 2 班 级 金融 1301—1305 所 选 教 材 数学基础模块（上册） 授 课 时 间 9 月 15 日 16 日 19 日 一、教学目标与任务 1．学习目标描述 （1）知识与能力：理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量； 掌握数乘向量的运算。 （2）情感态度与价值观：通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思 想方法 2．学习重点及难点分析 （1）教学重点：向量减法的三角形法则；数乘向量运算及运算律 （2）教学难点及对策： 难点：向量减法的三角形法则；对数乘向量定义的理解 对策：数形结合的运用 二、教学教法设计 1．教学方法：启发式教学 讲练结合 2．学法指导： 始终注重数形结合 三、学习活动组织 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 组织 教学 师生问好，清点人数 导入 在某地的一条大河中，水流速度为 v1，摆渡船需要以 v2 的实际航速到达河对 岸，那么摆渡船自身应以怎样的航行速度 行驶呢？ 教师提出问题，引 入课题． 学生思考． 从实际生活经 历出发，激发学 生的学习兴趣， 同时体现向量 的应用价值． 讲授 新课 1．向量减法法则 教师引导学生 在向量加法的
已知向量a,b,作才-，殖-B, 由向量加法得到向 基础上引入减 量减法 法定文和作图 则由向量加法的三角形法则，得十B一 法则，符合学生 a,我们把向量叫做向量：与春的 认知提律，有利 于减法运算的 差，记作a一，即 学生比较向量 掌握， Bi-a-b-0i-08. 加法的三角形法则 b 与向量减法的作图 比较学习， 法则的不同，总结规 印象深刻 律 两个向量的差是减向量的锋点到敲 减向量的终点的向量， 当两个向量同向时 师生合作完成 有向量加 法的基础，学生 解决这类习题 A CB 应该更轻松，所 以建议由学生 a--店-心-Ci。 师生合作完成。 为主教师为辅 当两个向量反向时 来完成，但向量 加法运算和减 法运算又有不 0-6 同，在如法如识 C A B 先入为主的思 -bAi-元C, 维障骨下，有些 学生加诚法会 2,相反向量 混浦，所以数师 与向量：等长且方向相反的向量叫 一定要引导学 做。的相反向量。记作一 生来区分两者， 加深印象 教师作图，引 思考：向量减法是加法运算的道运算 导学生完成证明： 吗？ -b-w十(-
2 已知向量 a，b，作 →OA＝a， →OB＝b， 则由向量加法的三角形法则，得b＋ →BA＝ a，我们把向量 →BA 叫做向量 a 与 b 的 差，记作 a－b，即 →BA＝a－b＝ →OA－ →OB． 两个向量的差是减向量的终点到被 减向量的终点的向量． 当两个向量同向时 a－b=→AB－ →AC= →CB ． 当两个向量反向时 a－b=→AB－ →AC= →CB ． 2．相反向量 与向量 a 等长且方向相反的向量叫 做 a 的相反向量，记作－a． 思考：向量减法是加法运算的逆运算 吗？ 由向量加法得到向 量减法． 学生比较向量 加法的三角形法则 与向量减法的作图 法则的不同，总结规 律． 师生合作完成 师生合作完成． 教师作图，引 导学生完成证明： a－b=a＋(－b) 基础上引入减 法定义和作图 法则，符合学生 认知规律，有利 于减法运算的 掌握． 比较学习， 印象深刻． 有向量加 法的基础，学生 解决这类习题 应该更轻松，所 以建议由学生 为主教师为辅 来完成．但向量 加法运算和减 法运算又有不 同，在加法知识 先入为主的思 维障碍下，有些 学生加减法会 混淆，所以教师 一定要引导学 生来区分两者， 加深印象． a b O A B a－b a －a a b a－b C A B a－b a b A C B
数师给出月 愿. 学生根据向量 的加法运算和减法 运算完成解答， 制1己知口ACD,凉=a.市 一®，试用向量4和。分别表示 平行四边 D 形是向量运算 向量心和D殖 中经常活到的 图形，此恩作为 重点让学生熟 练草挥。 解连接AC,D3,由向量求和的平 数师给出月 题 行四边形法则，有元一丽+市一a 十 学生作图解 容 由减法定义，得D=A店一币= 数师结合学生 一h, 解容情况纠错总 结 例2已知向量品，®，c与d,求作向量
3 例 1 已知 ABCD， →AB＝a， →AD ＝b，试用向量 a 和 b 分别表示 向量 →AC 和 →DB． 解 连接 AC，DB，由向量求和的平 行四边形法则，有→AC＝ →AB＋ →AD＝a ＋b； 由减法定义，得→DB＝ →AB － →AD＝a －b． 例 2 已知向量 a，b，c 与 d，求作向量 a－b，c－d． 教师给出问 题． 学生根据向量 的加法运算和减法 运算完成解答． 教师给出问 题． 学生作图解 答． 教师结合学生 解答情况纠错总 结． 平行四边 形是向量运算 中经常遇到的 图形，此题作为 重点让学生熟 练掌握． b a a－b O a＋(－b) A B －b C b a c d A O a－b b a c d c－d B a b D C B A
解在平面内任取一点O,作= O丽=b,作向量，则一b=O-O丽 =BA. 作O元=c,心=d,作向量元，则 e-=元-0亦=D 练习中作图与 练习 化简两类思型 I.已知白量a、b,求作向量a一b. 都要练到，使学 (1) 2) 生对减法法则 认识更如深刻 学生练习巩固 (3) 2.如图是平行四边形，化简： (1)亦-市： D (2)-配 )0i-0 B 3,已知口ACD,成=4，A币=b,试用 向量：和。分别表示以下向量 )i,, (2)d.C 玉数乘向量的定义 实数1和向量a的乘积是一个向量： 记作a. 向量加(@≠0，≠勇的长度与方向 援定为 教师由具体例 (1)川a-Ala: 2)当>0时，a与g的方向相 子引导学生得到数 培养学生 月：当<0时，加与@的方向相反 乘向量的定义 由特殊到一般 当-0时，0g-g:当a-0时，0 的归纳总结能 =0. 力
4 解 在平面内任取一点 O，作 →OA＝a， →OB＝b，作向量 →BA，则 a－b＝ →OA－ →OB ＝ →BA． 作 →OC＝c， →OD＝d，作向量→DC ，则 c－d＝ →OC－ →OD＝ →DC． 练习 1．已知向量 a、b，求作向量 a－b． (1) (2) (3) 2．如图是平行四边形，化简： (1) →AB－ →AD； (2) →BA－ →BC； (3) →OD－ →OA． 3．已知 ABCD， →AB＝a， →AD＝b，试用 向量 a 和 b 分别表示以下向量 (1) →CD， →CA ； (2) →BD， →CA 3. 数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量， 记作 λa． 向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向 规定为： (1) | λa |＝| λ | | a |； (2) 当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相 同；当 λ＜ 0 时，λa 与 a 的方向相反． 当 λ＝0 时，0a＝0；当 a＝0 时，λ0 ＝0． 学生练习巩固 教师由具体例 子引导学生得到数 乘向量的定义． 练习中作图与 化简两类题型 都要练到，使学 生对减法法则 认识更加深刻． 培养学生 由特殊到一般 的归纳总结能 力． a b a b a b D C B A o
4.数乘向量的几何意义 紧扣向量的 把向量。沿着？的方向或。的反 方向，长度故大或缩小 两要素分析定 教师由具体例 如2每的儿何意义就是沿着向量@ 义，便于理解数 的方向，长度放大到原来的2倍， 子引导学生得到数 乘向量的几何意 练习一 乘向量的定义， 义， 任作向量，再作出向量一3a,一 并说出它们的几何意义。 5数乘向量运算的运算神 设，后R。有： (1)很十a=a十s: (2))=(加m: (3)a+b)-a十b. 请观察，数乘向量运算律与实数乘法 运算律有什么相似之处？ 例3计算下列各式： (1)(-2 师生合作完成。 (2)2a+b)-3到a-b: (3)(2+a-)-(2-填a+b). 解（D(-24-2x克a- 一： (2)2(a+b)-3(a-b) -2a-3a+2b+36 教师提出问题， 类比学习， =(2-3)a+(2+3)b =-a十5b. 学生观察解答 (3)(2+4Ma-b)-(2一a+) -(2+4a-(a+b-(a-叫a-(2 师生合作完成， 一b =(以+4-A+a-(a+H+2-通 =2m-2h 练习二 化商：(1)2（一b)+3新a+b (2)Ha+b)+(a-B). 例4设x是未知向量，解方程 5x+a)+3x-b)-0. 有实数运 算法则做基础， 解式可变形为 学生解决这部
5 4．数乘向量的几何意义 把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反 方向，长度放大或缩小． 如 2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大到原来的 2 倍． 练习一 任作向量 a，再作出向量－3a， 1 2 a，－ 1 3 a， 并说出它们的几何意义． 5．数乘向量运算的运算律 设 λ，μR，有： (1) (λ＋μ)a＝λa＋μa； (2) λ(μa)＝(λμ)a； (3) λ(a＋b)＝λa＋λb． 请观察，数乘向量运算律与实数乘法 运算律有什么相似之处？ 例 3 计算下列各式： （1）(－2) 1 2 a； （2）2(a＋b)－3(a－b)； （3）(+)(a－b)－(－)(a+b) ． 解 （1）(－2) 1 2 a＝(－2 1 2 ) a＝ －a； （2）2 (a＋b)－3 (a－b) ＝2 a－3 a＋2 b＋3 b ＝(2－3) a＋(2＋3) b ＝－a＋5 b． （3）(＋)(a－b)－(－)(a＋b) ＝(＋)a－(＋)b－(－)a－( －)b ＝(＋－＋)a－(＋＋－)b ＝2a－2b． 练习二 化简：（1）2(a－b)＋3(a＋b)； (2) 1 2 (a＋b)＋ 1 2 (a－b)． 例 4 设 x 是未知向量，解方程 5 (x＋a)＋3 (x－b)＝0． 解 原式可变形为 教师由具体例 子引导学生得到数 乘向量的定义． 师生合作完成． 教师提出问题． 学生观察解答． 师生合作完成． 紧扣向量的 两要素分析定 义，便于理解数 乘向量的几何意 义． 类比学习． 有实数运 算法则做基础， 学生解决这部
5x+5a+3w-36=0. 学生练习巩 分题目很容易， 周 是醒学生向景 8=一5w+3h, 敦师引导学生 上加清头。 完成。 练习三 解关于x的方程： (1)3a十x)= (2)x十21a十x0=0. 例5己知O=3O,市=3A店，说明 向量殖与的关系 学生练习巩 解因为 图 0谢-0才+壶-30才+3 由本例引 入平行向量定 理，由转殊到一 =3我0+A8)=308 般，便于学生接 受. 所以O京与亦共线且同方向，长度是 教师给出问圈 并引导学生解容. O的3倍， 学生根据向量 6.平行向量基本定理 加法的三角形法则 如果=b,则反之如果a 及数乘向量定义完 且≠，则一定存在一个实数，使= 成解答， ib. 例如。如果g=2b,则a如果c =一26，则d:如果/b,且d的长 度是。的一半，并且方向相反，则=
6 5x＋5a＋3x－3b＝0， 8 x＝－5a＋3b， x＝－ 5 8 a＋ 3 8 b． 练习三 解关于 x 的方程： (1) 3(a＋x)＝x； (2) x＋2(a＋x)＝0． 例 5 已知→OA＝3 →OA，A →B＝3 →AB，说明 向量→OB与 →OB的关系． 解 因为 →OB＝ →OA＋A →B＝3 →OA＋3 →AB ＝3(→OA＋ →AB)＝3 →OB． 所以→OB与 →OB共线且同方向，长度是 →OB的 3 倍． 6．平行向量基本定理 如果 a＝λb，则 a//b；反之如果 a//b， 且 b≠0，则一定存在一个实数 λ，使 a＝ λb． 例如，如果 a＝2b，则 a//b；如果 c ＝－2b，则 c//b；如果 d//b，且 d 的长 度是 b 的一半，并且方向相反，则 d＝ － 1 2 b． 学生练习巩 固． 教师引导学生 完成． 学生练习巩 固． 教师给出问题 并引导学生解答． 学生根据向量 加法的三角形法则 及数乘向量定义完 成解答． 分题目很容易， 提醒学生向量 上加箭头． 由本例引 入平行向量定 理，由特殊到一 般，便于学生接 受． a 2b b c － －2b 1 2 b
7,非零向量a的单位向量 教师由上例列 与。月方向且长度为1的向量，称 为非零向量。的单位向量。易知，？的 导学生推广到一般 单包向量为合 的平行向量. 例6若MW是△MBC的中位线，求证： MN-BC. MN/BC, 正明因为M,N是AB,AC边上的 中点，所以 本题是首次应 用向量知识米 -,成-记 解决平面儿何 问题，对学生来 =-=花-液 说有些难度，教 数师引导学生 师须根据向量 -记-- 分析. 的运算法则详 细讲解。 所以AN=BC,且AN∥BC 练习四 已知点D是线段BC的中点，求 证： 市-市+花. 学生练习巩固
7 7．非零向量 a 的单位向量 与 a 同方向且长度为 1 的向量，称 为非零向量 a 的单位向量．易知，a 的 单位向量为 a | a | ． 例 6 若 MN 是△ABC 的中位线，求证： MN＝ 1 2 BC，且 MN∥BC． 证明 因为 M，N 是 AB，AC 边上的 中点，所以 →AM＝ 1 2 →AB， →AN＝ 1 2 →AC， →MN＝ →AN－ →AM＝ 1 2 →AC－ 1 2 →AB ＝ 1 2 ( →AC－ →AB)＝ 1 2 →BC． 所以 MN＝ 1 2 BC，且 MN ∥BC． 练习四 已知点 D 是线段 BC 的中点， 求 证： →AD＝ 1 2 ( →AB＋ →AC)． 教师由上例引 导学生推广到一般 的平行向量． 教师引导学生 分析． 学生练习巩固． 本题是首次应 用向量知识来 解决平面几何 问题，对学生来 说有些难度，教 师须根据向量 的运算法则详 细讲解．
1.向量的减法法则. 2.相反白量 小结 3.数乘向量的定义及其几何意义 师生合作 餐理总结也可 4。数乘向量运算律 5,平行向量基本定理， 针对学生薄弱 6.单位向量. 或易错处进行 强调和总站， 布置 P198习题二3,4 巩置提商 作业 四、版书设计 6,2向量的减法与数乘向量 1。向量的减法法则。例1 例2例3例4例5例6 2. 相反向量 3.数乘向量的定义及其几何意义： 4。数乘向量运算律 5. 平行向量基本定理 6. 单位向量 五、教学评价与反思
8 小结 1．向量的减法法则． 2．相反向量． 3．数乘向量的定义及其几何意义． 4．数乘向量运算律． 5．平行向量基本定理． 6．单位向量． 师生合作 梳理总结也可 针对学生薄弱 或易错处进行 强调和总结． 布置 作业 P198 习题二 3，4 巩固提高 四、板书设计 五、教学评价与反思 6.2 向量的减法与数乘向量 1．向量的减法法则．例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 2．相反向量． 3．数乘向量的定义及其几何意义． 4．数乘向量运算律． 5．平行向量基本定理． 6．单位向量