教学设计 教案编号：9-12 课题 6.4平面向量的内积 课型 新授课 课 程 数学 学时安排 4 班领 金壁1301一1305 所选 授课 10月13日14日16日 教 村 数学基础模块（上册） 时间 20日21日23日 一、教学日标与任务 1.学习目标描述 (1)知识与能力：理解并掌捏平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问愿。 (2)情感态度与价值观：通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的瓣证唑物主义 观点 2.学习重点及难点分析 (1)教学重点：平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律。 (2)敦学难点及对策： 难点：平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解 对策：由浅入深 二、教华教法设计 1.教学方法：启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归钠，形成微念。 2,学法指导：注重提高学生的运算能力 三、学习活功组织 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 组织 师生问好，清点人数 数学 导入 一个物体在力F的作用下产生了位 数师提出问 此引例体 移s,那么力F所做的功应当怎样计算？ 题，并简单讲解什 现了数学知识 么是功，让学生对 与其他学科的 功有个基本了解， 联系，让学生了 师生共同计算 解所学内容在 力做的功为 这个力所能的功， 实际生活中的 =IsI I FI cos8. 我们知道。功只有 具体应用 其中0是F与s的卖角. 大小，没有方向
1 教学设计 教案编号：9-12 课 题 6.4 平面向量的内积 课 型 新授课 课 程 数学 学时安排 4 班 级 金融 1301—1305 所 选 教 材 数学基础模块（上册） 授 课 时 间 10 月 13 日 14 日 16 日 20 日 21 日 23 日 一、教学目标与任务 1．学习目标描述 （1）知识与能力：理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题． （2）情感态度与价值观：通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义 观点． 2．学习重点及难点分析 （1）教学重点：平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律． （2）教学难点及对策： 难点：平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解． 对策：由浅入深 二、教学教法设计 1．教学方法：启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念． 2．学法指导： 注重提高学生的运算能力 三、学习活动组织 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 组织 教学 师生问好，清点人数 导入 一个物体在力 F 的作用下产生了位 移 s，那么力 F 所做的功应当怎样计算？ 力做的功为 W＝∣s∣∣F∣cos θ， 其中 是 F 与 s 的夹角． 教 师 提出问 题．并简单讲解什 么是功，让学生对 功有个基本了解． 师生共同计算 这个力所做的功． 我们知道，功只有 大小，没有方向， 此引例体 现了数学知识 与其他学科的 联系，让学生了 解所学内容在 实际生活中的 具体应用． s F
IF1Gs8是F在物体前进方向上 它由力和位移两个 分量的大小 向量来确定，这给 我们一种启示，能 |s|IF引cos8称为位移s与力向 否靶“功”看成是 量F的内积， 这两个向量的一种 运算的结果呢？引 出课题， 讲授 1.两个非军向量夹角的极念 学生阅读课 此向题是 新深 己知非零向量：与b,作O万=： 本，讨论并回答教 为本误重点向 师提出的（愿： 量的内积概老 O殖一&，则∠AOB叫向量a与b的夹角.记 (1)当，的 而准备，通过阿 f作e,,规定0≤a,b≤180° -0和18r时a与b 题的详细探究 说明： 的方向是怎样的？ 给出概念，比直 (1)当a,的-0°时，a与6同向： (2)当a,b 接给出更符合 (2)当a,一180时，a与b反向： =0时，量与春的方 学生的特点，容 (3)当a,加=90时，a与垂直， 向又是怎样的？ 导被学生接受 记做⊥们 师生共同总 (4)在两向量的夹角定义中，两向量 结，师重点强调说 必须是月起点的。 明(4》， 在本节中首次 2.向量的内积 引入了抽象的 已知非零向量a与b,a,b为两向 向量内积，学生 量的夹角，则数量1a|b|©0s,b叫假a 往往具接受具 与春的内积，记作 体的基本表达 0·=alIb|cooa,b. 式，而不能接受 规定：0向量与任何向量的内积为0. 教师直接给出 a·的含复， 说明： 向量内积的基本表 所以应让学生 (1)两个白量的内积是一个实数， 达式. 从符号的含义 不是向量，可以是正数，负数或零，符号 教师引导学生 开始认识，这部 由Q:的符号所决定 学习向量内积的微 分教师必须讲 (2)两个向量的内积，写成a·6, 解清楚. 符号”·”在向量运算中不是乘号，既不 学生阅读误本 能省略。也不能用“×”代替 中向量内积的概念， 在理解的基础上记 例1求d=5,=4,a,的= 忆向量内积的概念 120.求a·b. 数师总结向量
2 ∣F∣cos θ 是 F 在物体前进方向上 分量的大小． ∣s∣∣F∣cos θ 称为位移 s 与力向 量 F 的内积． 它由力和位移两个 向量来确定，这给 我们一种启示，能 否把“功”看成是 这两个向量的一种 运算的结果呢？引 出课题． 讲授 新课 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b，作 →OA＝a， →OB＝b，则∠AOB 叫向量a与b的夹角．记 作‹a，b›，规定 0≤‹a，b›≤180． 说明： (1)当‹a，b›＝0时，a 与 b 同向； (2)当‹a，b›＝180时，a 与 b 反向； (3)当‹a，b›＝90时，a 与 b 垂直， 记做 a⊥b； (4)在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的． 2．向量的内积 已知非零向量 a 与 b，‹a，b›为两向 量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做 a 与 b 的内积．记作 a·b＝| a | | b | cos‹a，b›． 规定：0 向量与任何向量的内积为 0． 说明： （1）两个向量的内积是一个实数， 不是向量，可以是正数、负数或零，符号 由 cos‹a，b›的符号所决定； （2）两个向量的内积，写成 a·b， 符号“·”在向量运算中不是乘号，既不 能省略，也不能用“×”代替. 例 1 求 |a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝ 120．求 a·b． 学生阅读课 本，讨论并回答教 师提出的问题： （1）当‹a， b› ＝0和 180º时 a 与 b 的方向是怎样的？ （2）当‹a，b› ＝90时，a 与 b 的方 向又是怎样的？ 师生共同总 结，师重点强调说 明（4）． 教师直接给出 向量内积的基本表 达式． 教师引导学生 学习向量内积的概 念． 学生阅读课本 中向量内积的概念， 在理解的基础上记 忆向量内积的概念． 教师总结向量 此问题是 为本课重点向 量的内积概念 而准备．通过问 题的详细探究 给出概念，比直 接给出更符合 学生的特点，容 易被学生接受． 在本节中首次 引入了抽象的 向量内积，学生 往往只接受具 体的基本表达 式，而不能接受 a·b 的含义， 所以应让学生 从符号的含义 开始认识，这部 分教师必须讲 解清楚．
解由已知条件阁 内积的含义，以及 a·b-a川b|co82, 公式中的注意事 求内积愿 =5×4×c0s120=-10. 项。 目不必过难，重 学生讨论求解， 点在理解内积 3,向量的内积的性质 的概念， 设，。为两个非零向量，？是单位 学生阅读课本中向 白量，则： 量内积的性质，在 两向量的内积 (1)ae-ea=lal costa,o: 理解的基础上记忆 是两向量乘法 (2》b分ab=0: 向量内积的性质， 的一种，是学生 (3》aa=aP成|a=a 教师对于每一 以前所未接触 (4)1g61≤1a1161, 个性质都要引领学 过的，与以前数 生从向量内积的表 量间的乘法、实 4.向量的内积的运算律 达式入手。仔细淮 数与向量间的 (1)交换律：ab-b 导 乘法有很大区 (2)结合律：()b=a)=a(b: 教师引导学生学习 别，因此运算法 (3)分配律：(a十b)c=ac十bc 向量内积的运算 则、运算律都要 律。让学生明确内 重新推导，学生 积满足交换律和分 对于概念和运 配律，不满足结合 算法则的理解 律，比如。实数乘 和掌握有些围 法满足结合律： 重.它与实数乘 (ab)￥abg) 法的概念，性质 例2求证： 面向量的内积不满 及运算律有联 (1)(a+b(a-b)=|a|2-|b13: 是：又如实数乘法 系也有区别，这 (2)1a+b1+|a-6|2 满足：a"c=bc→ 一区别是教学 =21a12-161. a=,而向量的内 的重点也是学 证明(1)显然 积不满足这种推出 生学习的难点。 (a十b)(a-b) 关系， =g0一gb十ba一bb 通过例2可让 =1a12-1b12: 学生分组讨论 学生加深树结 (2)因为 证明的方法： 合律与运算律 Ia十b|2=(a+b(a+b) 小组讨论后， 的理解， 教师对学生的目答 通过学生 =1a12+2g6+1612, 时论，老师点 1-61-(-(4-6) 给以补充、完善， 搜，可以突出解
3 解 由已知条件得 a·b＝| a | | b | cos‹a，b› ＝5×4×cos 120＝－10． 3．向量的内积的性质 设 a，b 为两个非零向量，e 是单位 向量，则： （1）a·e＝e·a＝∣a∣cos ‹ a，e›； （2）a⊥b a·b＝0； （3）a·a＝| a | 2 或 | a |＝ a·a； （4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣． 4．向量的内积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 例 2 求证： （1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2 ； （2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2 ＝2(∣a∣2－∣b∣2 )． 证明 （1）显然 (a＋b)·(a－b) ＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝∣a∣2－∣b∣2 ； （2）因为 ∣a＋b∣2＝(a＋b)·(a＋b) ＝∣a∣2＋2 a·b＋∣b∣2， ∣a－b∣2＝(a－b)·(a－b) 内积的含义，以及 公式中的注意事 项． 学生讨论求解． 学生阅读课本中向 量内积的性质，在 理解的基础上记忆 向量内积的性质． 教师对于每一 个性质都要引领学 生从向量内积的表 达式入手，仔细推 导． 教师引导学生学习 向量内积的运算 律．让学生明确内 积满足交换律和分 配律，不满足结合 律．比如，实数乘 法满足结合律： (a·b)·c＝a·(b·c)， 而向量的内积不满 足；又如实数乘法 满足：a·c＝b·c a＝b，而向量的内 积不满足这种推出 关系． 学生分组讨论 证明的方法； 小组讨论后， 教师对学生的回答 给以补充、完善， 求内积题 目不必过难，重 点在理解内积 的概念． 两向量的内积 是两向量乘法 的一种，是学生 以前所未接触 过的，与以前数 量间的乘法、实 数与向量间的 乘法有很大区 别，因此运算法 则、运算律都要 重新推导，学生 对于概念和运 算法则的理解 和掌握有些困 难．它与实数乘 法的概念，性质 及运算律有联 系也有区别，这 一区别是教学 的重点也是学 生学习的难点． 通过例 2 可让 学生加深对结 合律与运算律 的理解． 通过学生 讨论，老师点 拨，可以突出解
=1a12-2ab+1b12, 师生共月总结解答 题思路。深化解 题步露，分解难 所以 方法， 点 1a+b12+18-612 数师给出具体 =2(1a1-11. 的证明步骤 学习新知后紧 跟练习，有利于 练习 帮励学生更好 1.已知1a|b,‘m,的，求gb: 的棱理和总结 (1)1a=7,1b1=12,a,b=120 (2)川a1=8,161=4,4a,的=： 本节所学内 2.已知|a小，|bbab,求‘a,: 容.有利于数师 (1)川e6|=16,g=-8 师生合作共同完 检验学生的拿 2)川eI1=12,g6=65 成 星情况. 赖理总结也可 本节课我们主要学习了平面向量的 学生阅读课本，畅 针对学生薄购 内积，常见的题型主要有： 谈本节误的收获， 或易错处进行 (1)直接计算内积： 老师引导梳理，总 强调和总结， 小结 (2)由内积求向量的核1 (3)运用内积的性质判定两向量是 结本节误的知识 否乐直： 点 (4)性顺和运算律的简单应用. 布置 P208习题四2,3,4,5 现墨提高 作业 四、版书设计 6.4平面向量的内积 1。两个非零白量夹角的概念 2.向量的内积 3向量的内积的性质 4.向量的内积的运算律 例1一一例2 五、教学评价与反要
4 小结 ＝∣a∣2－2 a·b＋∣b∣2， 所以 ∣a＋b∣2＋∣a－b∣2 ＝2(∣a∣2－∣b∣2 )． 练习 1．已知 | a |，| b |，‹a，b›，求 a·b： (1) | a |＝7，| b |＝12，‹a，b›＝120°； (2) | a |＝8，| b |＝4，‹a，b›＝π； 2．已知 | a |，| b |，a·b，求 ‹a，b›： (1) | a || b |＝16，a·b＝－8； (2) | a || b |＝12，a·b＝6 3 本节课我们主要学习了平面向量的 内积，常见的题型主要有： （1）直接计算内积； （2）由内积求向量的模； （3）运用内积的性质判定两向量是 否垂直； （4）性质和运算律的简单应用． 师生共同总结解答 方法． 教师给出具体 的证明步骤． 师生合作共同完 成． 学生阅读课本，畅 谈本节课的收获， 老师引导梳理，总 结本节课的知识 点． 题思路，深化解 题步骤，分解难 点． 学习新知后紧 跟练习，有利于 帮助学生更好 的梳理和总结 本节所学内 容．有利于教师 检验学生的掌 握情况． 梳理总结也可 针对学生薄弱 或易错处进行 强调和总结． 布置 作业 P208 习题四 2，3,4,5 巩固提高 四、板书设计 五、教学评价与反思 6.4 平面向量的内积 1．两个非零向量夹角的概念 2. 向量的内积 3. 向量的内积的性质 4. 向量的内积的运算律 例 1——例 2
5
5