教学设计 数案编号：7-8 课题 6.3平面向量的坐标表示 课型 新授课 课程 数学 学时安排 2 班领 金壁1301一1305 所选 数学基础模块（上册） 授课 9月22日23日25日 时间 一、教学日标与任务 1.学习目标描述 (1)知识与能力：理解平面向量的坐标表示，掌挥平而向量的坐标运算。 (2)情感态度与价值观：通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的 相互联系，培养学生瓣证思推能力 2。学习重点及难点分析 (1)教学重点：平面向景的坐标表示，平面向量的坐标运算，积据平面向量的坐标 判断向量是否平行。 (2)敦学难点及对策： 难点：理解平面向量的坐标表示 对策：数形结合的方式 二。教学教法设计 1,教学方法：启发式教学 讲练结合 2,学法指导：始终注重数形结合 三、学习活动组织 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 组织 师生问好，清点人数 较学 导入 1,平面内建立了直角坐标系，点A 散师提出问题. 为知识迁移做 可以怎么表示？ 学生回忆解答， 准备， M(a.b)
1 教学设计 教案编号：7-8 课 题 6.3 平面向量的坐标表示 课 型 新授课 课 程 数学 学时安排 2 班 级 金融 1301—1305 所 选 教 材 数学基础模块（上册） 授 课 时 间 9 月 22 日 23 日 25 日 一、教学目标与任务 1．学习目标描述 （1）知识与能力：理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算． （2）情感态度与价值观：通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的 相互联系，培养学生辩证思维能力． 2．学习重点及难点分析 （1）教学重点：平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标 判断向量是否平行． （2）教学难点及对策： 难点：理解平面向量的坐标表示 对策：数形结合的方式 二、教学教法设计 1．教学方法：启发式教学 讲练结合 2．学法指导： 始终注重数形结合 三、学习活动组织 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 组织 教学 师生问好，清点人数 导入 1．平面内建立了直角坐标系，点 A 可以怎么表示? 教师提出问题． 学生回忆解答． 为知识迁移做 准备． a O x y A(a，b)
2,平面向量是否也有类叙的表示呢？ 3.平面向量基本定理的内容是什么？ 讲授 1,肉量的直角坐标 学生阅读误 月题是为 新深 在直角坐标系内，我们分别 本，讨论并回容教 突出本课重点 ()取基向量：取与，轴和y轴的 师提出的问题： 而设计.通过对 正方向相同的两个单位向量，白作为基 (1)e:与平 比教学可以加 向量 面向量基本定理中 深学生的印 (2)得到实数对：任作一个白量 的，西有什么区 象.通过问题的 由平面向量基本定理，有且具有一对实数 别？ 详细探究，比直 :出，使得#=十欣在，我们把(m: (2)向量的坐 接给出说明更 )叫做向量：的坐标。记作 标与有序实数对之 符合学生的特 a=(1。 ① 问是什么关系？ 点，容易技学生 其中函叫做a在x轴上的坐标，废叫做 教师针对学生 接受 a在y轴上的坐标。白，一叫做直角坐标 的回答进行点评. 平面上的基向量， 敦师引导学生 ①式叫做向量的坐标表示， 学习向量的直角坐 标表示， 4 探究： (1)如图，，是直角坐标平面 上的基向量，你能写出0，，的坐标 吗？ 求特殊向 y 量的坐标，可以 学生尝试解 加深学生对向 答，教师针对学生的 量坐标微念的 目答进行点评. 理解，从面提高 4=(1,0),安=(0,1).0=(0.0) 学生的读图能 (2)向量的坐标与点的坐标之阿有 力 2
2 2．平面向量是否也有类似的表示呢? 3．平面向量基本定理的内容是什么? 讲授 新课 1．向量的直角坐标 在直角坐标系内，我们分别： (1) 取基向量: 取与 x 轴和 y 轴的 正方向相同的两个单位向量 e1，e2 作为基 向量． (2) 得到实数对：任作一个向量 a， 由平面向量基本定理，有且只有一对实数 a1，a2，使得 a＝a1e1＋a2e2，我们把(a1， a2)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(a1，a2)， ① 其中 a1 叫做 a 在 x 轴上的坐标，a2 叫做 a 在 y 轴上的坐标．e1，e2 叫做直角坐标 平面上的基向量． ①式叫做向量的坐标表示． 探究： （1）如图，e1，e2 是直角坐标平面 上的基向量，你能写出 0，e1，e2 的坐标 吗？ e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0＝(0，0)． （2）向量的坐标与点的坐标之间有 学生阅读课 本，讨论并回答教 师提出的问题： （1）e1，e2 与平 面向量基本定理中 的 e1，e2 有什么区 别？ （2）向量的坐 标与有序实数对之 间是什么关系？ 教师针对学生 的回答进行点评． 教师引导学生 学习向量的直角坐 标表示． 学生尝试解 答．教师针对学生的 回答进行点评． 问题是为 突出本课重点 而设计．通过对 比教学可以加 深学生的印 象．通过问题的 详细探究，比直 接给出说明更 符合学生的特 点，容易被学生 接受． 求特殊向 量的坐标，可以 加深学生对向 量坐标概念的 理解，从而提高 学生的读图能 力． e2 x y O e1 O x y e1 e2 a1 e1 a2 e2 a
何关系？ y A,功 加深对“向 量0的坐标与 敦师提出月 题， 点A的坐标一 设点A的坐标为州x,功，则 师生共同解 一对应”这个结 =十的-(，功 容， 论的理解，在向 即点A的位置向量列的坐标x,: 量坐标与原有 也就是点A的坐标：反之，点A的坐标 试一试：在平 的点坐标之间 面直角坐标系Oy 架起桥梁，为应 也是点A相对于坐标原点的位置向量 中作向量a(1, 用向量如识解 的坐标， 决几何问题莫 2),f作有向线段0， 例】如图。用基向量，的分别表 定基础. 示向量a,,Cd。并求出它们的坐标， 使得点1,2)，并 说明向量：与有向 线段O表示的向 量的关系， 2 3 通过例1 可让学生如深 对向量的直角 坐标表示概念 的理解，从而进 学生时论求解。 解由图可知 一步提高学生 =30+2a=(3,2: 的读图能力， =-2阳+3地=(-2,3)： c=-2e-36=(-2,-3) d-2a-30=(2,-3. 2.向量的直角坐标运算 (1)如果a-(@,四，b-(,的
3 何关系？ 设点 A 的坐标为(x，y)，则 →OA＝xe1＋ye2＝(x，y)． 即点 A 的位置向量→OA的坐标(x，y)， 也就是点 A 的坐标；反之，点 A 的坐标 也是点 A 相对于坐标原点的位置向量→OA 的坐标． 例 1 如图，用基向量 e1，e2 分别表 示向量 a，b，c，d，并求出它们的坐标． 解 由图可知 a＝3e1＋2e2＝(3，2 )， b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)， c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)， d＝2e1－3e2＝(2，－3)． 2．向量的直角坐标运算 (1) 如果 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 教师提出问 题． 师 生 共 同 解 答． 试一试：在平 面直角坐标系 xOy 中作向量 a＝(1， 2)，作有向线段→OA， 使得点 A(1，2)，并 说明向量 a 与有向 线段→OA表示的向 量的关系． 学生讨论求解． 加深对“向 量 →OA的坐标与 点 A 的坐标一 一对应”这个结 论的理解，在向 量坐标与原有 的点坐标之间 架起桥梁，为应 用向量知识解 决几何问题奠 定基础． 通过例 1 可让学生加深 对向量的直角 坐标表示概念 的理解，从而进 一步提高学生 的读图能力． －1 e1 e2 a x y O 1 2 3 1 2 3 －3 －2 －1 －2 －3 b c d e2 O e1 A(x，y) x y x y
a十b=(@,函)t(b,b) =(m十b,金十b -b=(,)-(,) =(m一b,一 a■从a,)=(0a, 其中玉是实数 证明 a十b=(@a,的+(b·) 在板书证 明的过程中，实 =(ame+ael+(b1a+e》 出解题思路与 =e+1e1十ae+ 步骤， =(m+b)+(+b) =(a+b,a+ 学生阅读误本 请同学伪里上而的证明，自己证明其白量的直角坐标述 他两个结论 算公式，在理解的基 通过学生 上述向量的坐标运算公式，也可用语础上记忆坐标运算 时论，老师点 言分别表述为： 按，可以突出解 公式 题思路，深化解 两个向量和与差的坐标分别第于这 题步露，分解难 两个向量相应坐标的和与差： 点。 数乘向量积的坐标等于数乘上向量 相应坐标的积 例2己知0=(2,1)，=(-3.40： 求a十b,一b,3a十4b. 敦师对于第一 解m+b=(2,1)+(一3,4) 个性质引领学生仔 细推导.教师给出 -(-1,5: 巩固理 具体的证明步瓷， 解，形成技能。 a-=2,1)-《-3,40=(5,-3 3a+4h=32.10+4-3,4) =(6,3)十(-12.160 -(-6,19. 学生可分组讨 论证明其能两个公 例3已知A国，h,点Be,), 式： 小组时论后， 求A方的坐标 教师对学生的日容 解A市=0成-0 给以补充、完睿， 师生共同总结
4 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1＋b1，a2＋b2)； a－b＝(a1，a2)－(b1，b2) ＝(a1－b1，a2－b2)； λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)， 其中 λ 是实数． 证明 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2) ＝a1e1＋b1e1＋a2e2＋b2e2 ＝(a1＋b1) e1＋(a2＋b2) e2 ＝(a1＋b1，a2＋b2)． 请同学仿照上面的证明，自己证明其 他两个结论． 上述向量的坐标运算公式，也可用语 言分别表述为： 两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量积的坐标等于数乘上向量 相应坐标的积． 例 2 已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)， 求 a＋b，a－b，3a＋4b． 解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4) ＝(－1，5)； a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)； 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16) ＝(－6，19)． 例 3 已知 A (x1，y1)，点 B (x2，y2)， 求 →AB的坐标． 解 →AB＝ →OB－ →OA 学生阅读课本 向量的直角坐标运 算公式，在理解的基 础上记忆坐标运算 公式． 教师对于第一 个性质引领学生仔 细推导．教师给出 具体的证明步骤． 学生可分组讨 论证明其他两个公 式； 小组讨论后， 教师对学生的回答 给以补充、完善． 师生共同总结 在板书证 明的过程中，突 出解题思路与 步骤． 通过学生 讨论，老师点 拨，可以突出解 题思路，深化解 题步骤，分解难 点． 巩固理 解，形成技能．
=(2:2）一（知·n) 向量的直角坐标运 可以进一步 =(知一·力一片 算公式及文字叙 培养学生的读 述 图，识图能力， 培养学生数形 B(. 结合的思想 敦师简单点 拨，学生会试解答a 此结论可用语言表述为： +b.a=b,3a+46. 一个向量的坐标等于表示此向量的 教师点评，并 有向线段的终点坐标减去始点的相应坐 板书详细的解题过 标 程 练习一 L.己知@，b的坐标，求a+,一： ()m-(4,3,b-(-4,8 (2)a=(3,0,6=(0,4) 2,已知4，B两点的坐标，求店 教师出示列 题 的坐标： 学生阅读图 (1)A(-3.46.3h 2)A(-3.6),-8,一7) 形，讨论并国答教 师提出的问题： 例4己知A(-2,1点B(1,): (1)店是哪两 求线段AB中点M的坐标 个向量的差向量？ (2)Oi和0 坐标分别为什么？ 敦师针对学生 的回答进行点评. 在板书例 题的过程中，突 出解题思路与 步覆， 解因为 师生共同总结 醇-0萌- 文字结论。 -(1,3)-(-2,1)-(3,2): 5
5 ＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)． 此结论可用语言表述为： 一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的相应坐 标． 练习一 1．已知 a，b 的坐标，求 a＋b，a－b： (1) a＝(4，3)，b＝(－4，8)； (2) a＝(3，0)，b＝(0，4)． 2．已知 A，B 两点的坐标，求 →AB， →BA 的坐标： (1) A(－3，4)，B(6，3)； (2) A(－3，6)，B(－8，－7)． 例 4 已知 A (－2，1)，点 B (1，3)， 求线段 AB 中点 M 的坐标． 解 因为 →AB ＝ →OB－ →OA ＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)； 向量的直角坐标运 算公式及文字叙 述． 教师简单点 拨，学生尝试解答 a ＋b，a－b，3a＋4b． 教师点评，并 板书详细的解题过 程． 教师出示问 题． 学生阅读图 形，讨论并回答教 师提出的问题： （1） →AB是哪两 个向量的差向量？ （2） →OA和 →OB 坐标分别为什么？ 教师针对学生 的回答进行点评． 师生共同总结 文字结论． 可以进一步 培养学生的读 图，识图能力， 培养学生数形 结合的思想． 在板书例 题的过程中，突 出解题思路与 步骤． x y o B (x2，y2) A M B O x y 1 1
所以 0=+ -+正 =-2.0+5.2 学生抢答， 教师点搜，学生 -宁2 讨论解容. 因此M一宁2 老师运目观黎点 拨、解答学生疑难 3,用向量的坐标表示向量平行的条件 敦师点评，并 复习： 板节详细的解愿过 程 (1)平行向量基本定理：如果向量 师生共同复习 ®0，则国b的充分您要条件是，存在 唯一实数，使=协 (2)数乘白量：已知b=(, 为知识迁 则通=(b1,加) 移殿准备。 月圈：在直角坐标系中，向量可以用 教师提出月 坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示 愿.引出探究的问 两个向量的平行呢T 恩 探究：设a=(a,,b=b1。的： 如果。中0，则条件a一边可用坐标表 师生共同探究 示为 用向量的坐标表示 (a,a)-ib,b2) 向量平行的条 即 件。教师给出具体 4=h 的探究步骤。 4=6 消去：得 学生尝试解 a1b:-a:b1=0. 容 一般地，对于任意向量=（小， b-(b,b,都有 ab台ab-ab=0. 师生共月解谈例5， 例5判断下列两个向量是否平行： 敦师详细板书解题 通过例5可让 (1)a=(-1,3,b=(5,-15): 过程，带领学生仔 细分析解墨步囊。 学生加深对向
6 所以 →OM＝ →OA＋ →AM ＝ →OA＋ 1 2 →AB ＝(－2，1)＋ 1 2 (3，2) ＝(－ 1 2 ，2)． 因此 M(－ 1 2 ，2)． 3．用向量的坐标表示向量平行的条件 复习： （1）平行向量基本定理：如果向量 b≠0，则 a//b 的充分必要条件是，存在 唯一实数 λ，使 a＝λb； （2）数乘向量：已知 b＝(b1，b2)， 则 λb＝(λb1，λb2) ． 问题：在直角坐标系中，向量可以用 坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示 两个向量的平行呢？ 探究：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 如果 b ≠ 0，则条件 a＝λb 可用坐标表 示为 (a1，a2)＝λ(b1，b2)， 即 = = 2 2 1 1 a b a b 消去 λ，得 a1b2－a2b1＝0． 一般地，对于任意向量 a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，都有 a//b a1b2－a2b1＝0． 例 5 判断下列两个向量是否平行： (1) a＝(－1，3)，b＝(5，－15)； 学生抢答． 教师点拨，学生 讨论解答． 老师巡回观察点 拨、解答学生疑难． 教师点评，并 板书详细的解题过 程． 师生共同复习． 教师提出问 题．引出探究的问 题． 师生共同探究 用向量的坐标表示 向量平行的条 件．教师给出具体 的探究步骤． 学生尝试解 答． 师生共同解决例 5， 教师详细板书解题 过程，带领学生仔 细分析解题步骤． 为知识迁 移做准备． 通过例 5 可让 学生加深对向
2)e=2,0,=0,3. 量平行的条件 的理解， 解()因为州-)×（一5）一3×5= 0:所以向量：和向量b平行 2)因为2×3-0×0-6≠0，所以 向量e和了不平行. 例6已知点雀一2，一1)，B0,4), 数师点拔，学 生讨论解答. 通过例6 向量每=（小，功，并且凉Ma。求a的枫 进一步加深学 生对向量的坐 坐标卫 标表示向量平 解由己知条件得 行的条件的理 A8=0,4-(-2,-10=(2,5). 解. 因为A正∥a,所以 1×5-2×y=0. 糊得一是 例7已知点(-2，一3).0,1). 师生合作共同 Q2.5),求证：A,B,C三点共线， 完成 证明由已知条件得 通过学生 时论、教师点 A2-0,10-(-2,-)-(2,4 拔，帮助学生顺 利证明A·B, C-2,5)-(-2,-3-(4,8). C三点共线.再 次巩四用向量 因为2×8-4×4=0，所以AB∥ 的坐标表示向 量平行的思路 心。又线段AB和AC有公共点A,所以 和步骤， A,B,C三点共线 练习二 1.已知=（一3，-4，=(2，功，并且 a∥，求 学习新知后紧 罪练习有利于 2.已知点4(-1，-3,0，一1C1 帮助学生更好 1),求证：A,B,C三点共线 的核理和总结 本节所学内
7 (2) e＝(2，0)，f＝(0，3)． 解 (1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝ 0，所以向量 a 和向量 b 平行； (2) 因为 2×3－0×0＝6≠0，所以 向量 e 和 f 不平行． 例 6 已知点 A(－2，－1)，B(0，4)， 向量 a＝(1，y)，并且→AB∥a，求 a 的纵 坐标 y． 解 由已知条件得 →AB＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)， 因为→AB∥a，所以 1×5－2×y＝0． 解得 y＝ 5 2 ． 例 7 已知点 A(－2，－3)，B(0，1)， C(2，5)，求证：A，B，C 三点共线． 证明 由已知条件得 →AB＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)， →AC＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)． 因为 2×8－4×4＝0，所以 →AB∥ →AC，又线段 AB 和 AC 有公共点 A，所以 A，B，C 三点共线． 练习二 1．已知 a＝(－3，－4)，b＝(2，y)，并且 a ∥b，求 y． 2．已知点 A(－1，－3)，B(0，－1)，C(1， 1)，求证：A，B，C 三点共线． 教师点拨，学 生讨论解答． 师生合作共同 完成． 量平行的条件 的理解． 通过例 6 进一步加深学 生对向量的坐 标表示向量平 行的条件的理 解． 通过学生 讨论、教师点 拨，帮助学生顺 利证明 A ，B， C 三点共线．再 次巩固用向量 的坐标表示向 量平行的思路 和步骤． 学习新知后紧 跟练习有利于 帮助学生更好 的梳理和总结 本节所学内
容，有利于教师 检验学生的拿 小结 学生阅读课本，畅 据情况。 该本节课的收获， 梳理总结也可 1.向量的直角坐标 n=a十=(ai,) 老师引导梳理，总 针对学生薄离 2.向量的直角坐标运算： 结本节课的知识 暖易错处进行 (1)两个向量和与差的坐标分别等于这 点， 强调和总结. 两个向量相应坐标的和与差 (2)数乘向量积的坐标等于数乘上向量 相应坐标的积 (3)一个向量的坐标等于向量终点 的坐标减去始点的相应坐标， 3.若=(@，，b=(b:b2,则 aMb台m向一云b=0, 布置 203习题三4.5,7 巩发提高 作业 四、板书设计 6.3平面向量的坐标表示 1。向量的直角坐标 a=g白十空女=(m,西h 2。向量的直角坐标运算 3.若a-(m,a》,-(b1,b2小，则 a∥春÷ab一ab1=0. 例一一例7 五、放学评价与反思
8 小结 1．向量的直角坐标 a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)． 2．向量的直角坐标运算： （1） 两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差； （2） 数乘向量积的坐标等于数乘上向量 相应坐标的积； （3）一个向量的坐标等于向量终点 的坐标减去始点的相应坐标． 3．若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a∥b a1b2－a2b1＝0． 学生阅读课本，畅 谈本节课的收获， 老师引导梳理，总 结本节课的知识 点． 容．有利于教师 检验学生的掌 握情况． 梳理总结也可 针对学生薄弱 或易错处进行 强调和总结． 布置 作业 P203 习题三 4,5,7 巩固提高 四、板书设计 五、教学评价与反思 6.3 平面向量的坐标表示 1．向量的直角坐标 a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)． 2．向量的直角坐标运算： 3．若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a∥b a1b2－a2b1＝0． 例 1——例 7