授课时间 授课地点 教室 授课班级 金脸1401.1402,1403 误型 新授课 课题 51角的展念推广52弧度制 教学目标 知识目标 1理解正角、负角、终边相月的角、第儿象限的角等概名。掌 深角的加减运算 2理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换 算 能力目标 培养学生的观察能力，树立运动变化的观点。 情感目标 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思塑，使学生体会 等价转化与料证统一的思想。 教学重点 理解任意角（正角、负角、零角》，终边相同的角、第几象限的角的概念， 掌握终边相同的角的表示方法和判定方法：弧度制的慢念，拿挥弧度制与 角度制的换算 数学难点 任意角和峰边相同的角的概念：弧度制的概 教学关健 通过观察实例。使学生认识角的慢念推广的可能性和必要性：体会弧度制 的倪越性， 教学方法 讨论法讲练姑合 类比教学法 教学用具 白板授能影仪 教学 深堂敏学过程 步露 师生 月好 教学内容 师生互动 设计意图 () 导 1.复习初中学习过的角的定义 师：初中学过的角的 复习旧知，使学生 定义是什么？ 生：在平面内，角可 发现旧知识的局展 新 以看作一条射线烧着它的 性，激发学习新知 端点隆转而成的图形. 提 识的兴愿。 (分)
授课时间 授课地点 教室 授课班级 金融 1401，1402，1403 课型 新授课 课题 5.1 角的概念推广 5.2 弧度制 教学目标 知识目标 1理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌 握角的加减运算 2理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换 算 能力目标 培养学生的观察能力，树立运动变化的观点。 情感目标 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想，使学生体会 等价转化与辩证统一的思想． 教学重点 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念， 掌握终边相同的角的表示方法和判定方法；弧度制的概念，掌握弧度制与 角度制的换算 教学难点 任意角和终边相同的角的概念；弧度制的概念． 教学关键 通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性；体会弧度制 的优越性。 教学方法 讨论法 讲练结合 类比教学法 教学用具 白板 投影仪 教 学 步 骤 课堂教学过程 师生 问好 （ ） 教学内容 师 生 互 动 设 计 意 图 导 入 新 课 （分） 1．复习初中学习过的角的定义． 师：初中学过的角的 定义是什么？ 生：在平面内，角可 以看作一条射线绕着它的 端点旋转而成的图形． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限 性，激发学习新知 识的兴趣．
2,提出新问题： 师：如图 运动员辄随球时，旋转方向可以 ∠A0B=∠B0A-120 是逆时针也可以是顺时针，旋转 量也不止一个平角，椰如知何米度 量角的大小呢？ 0 A 初中时的角不考虑 能转方向。只考虑靛转的 绝对量而且角的范围在 0-360°. 讲 一、角的辰老的推广 数师西图说明正角， 1,任意角的概念 负角，零角，以及角的始 授 (1)射线的靛转方向： 边、终边. 新 逆时针方向一一正角： 教师小结：由靛转方 顺时针方向一一负角： 向的不同定义正负角，由 误 没有旋转——零角. 旋转量的不洞得到任意 () 腾图时，常用带箭头的元来 范围内的角， 表示旋转的方向和旋转的绝对 量，旋转生成的角，又常称为转 角. 例如。 ∠AOB=120°，∠B0A= 12r. 1.数师画图，学生说角 B 的度数 2.学生练习1面出下列 各角： 学生通过自己练 (1)0.360°，72r, 习面图，深刻体会 1080°，-360°，-720P: “旋转”两个字的 (2)射线的旋转量 (2)90.450,-27, 含义，加深对任意 当射线饶端点能转时，能转 -630° 角的概之的理解， 量可以超过一个，角，形成任意 大小的角.角的度数表示旋转量 的大小. 例如450°，-60° 2,角的加减运算. 90-30炉 学生练习：求和并作图表 学生白己动手 =0°+（一30） 示 图求和，加深对 -60°. 30+45°，60°-180. 旋转变化的理解
2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转 量也不止一个平角，那如何来度 量角的大小呢？ 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， 初中时的角不考虑 旋转方向，只考虑旋转的 绝对量而且角的范围在 0~360°． 讲 授 新 课 （） 一、角的概念的推广 1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来 表示旋转的方向和旋转的绝对 量．旋转生成的角，又常称为转 角． 例如， ∠AOB＝120°，∠BOA＝－ 120°． （2）射线的旋转量： 当射线绕端点旋转时，旋转 量可以超过一个周角，形成任意 大小的角.角的度数表示旋转量 的大小． 例如 450°，－630°． 2．角的加减运算． 90°－30° ＝90°＋（－30°） ＝60°． 教师画图说明正角， 负角，零角，以及角的始 边、终边. 教师小结：由旋转方 向的不同定义正负角，由 旋转量的不同得到任意 范围内的角． 1．教师画图，学生说角 的度数． 2．学生练习：画出下列 各角： （1）0，360°，720°， 1 080°，－360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°． 学生练习：求和并作图表 示： 30°＋45°，60°－180°． 学生通过自己练 习画图，深刻体会 “旋转”两个字的 含义，加深对任意 角的概念的理解． 学生自己动手 画图求和，加深对 旋转变化的理解． O A B 120° O A B －120°
师：覆察我们刚画过的 角， (1)0,360°.720°，1080r -360°，-720°： (2)90.450r,-270, 0 -630°. 思考：始边、终边相 各角和的旋转量等于各角 同的两个角的度数有什 旋转量的和。 么关系？ 3.锋边相同的角 学生讨论后同答：终 所有与：终边相同的角构 边相同的两个角的度数相 成的集合可记为 差360矿的整数倍， S=x|x=a+k60°， 师：与0°始边、终 kez). 边都相同的角有哪些？有 多少个？它们能不能统一 例1(1) 写出与下列各角终 用一个集合来表示？ 边相同的角的集合 得出结论， (1045: (2)135: 将例1分解为 (3)240° (4)330°. 两个小题，边讲边 解略. 练。小步子，低台 4,第几象限的角 例1(1)由学生口答： 阶。学生容易消化 在直角坐标系中讨论角时， 收师给出规范的书写格 吸收。 通常使角的顶点和坐标原点重 式 合，角的始边与x轴的正半轴重 合这样角的大小和方向可确定 降边在坐标系中的位置这样放 置的角，我们说它在坐标系中处 例1(2)学生口答. 于标准位量， 处子标准位置的角的终边 落在第几象限，就肥这个角叫做 第几象限的角.如果角的降边落 讲解例2时，教师结 在坐标蛙上，就认为这个角不属 合数材图示的平面直角 于任何象限， 坐标系。带领学生分析圆 例1(2)指出下列各角分别 意. 是第几象限的角 师：角的终边落在y (1)45:(2)135°：(3)240： 轴上包含哪两种情况？ (4)330. 生：终边落在y轴正 半轴上或者落在y轴负半 例2写出终边在y轴上的角的 轴上， 例2难度较大， 集合 师：90°的角终边落在 教师应详细讲解两 解凳边在y轴拍正竿轴上的 y轴的正半轴上吗？与它 个集合如何求并 一个角为90，锋边在y轴负 终边相同的角的集合是 集 车轴上的一个角为一0，因此， 什么？ 终边在y轴正半轴和负半轴上 一心的角终边落在y
各角和的旋转量等于各角 旋转量的和． 3．终边相同的角． 所有与 α 终边相同的角构 成的集合可记为 S＝{x x ＝ α ＋ k·360°， kZ}． 例 1（1） 写出与下列各角终 边相同的角的集合． (1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°． 解 略． 4．第几象限的角． 在直角坐标系中讨论角时， 通常使角的顶点和坐标原点重 合，角的始边与 x 轴的正半轴重 合.这样角的大小和方向可确定 终边在坐标系中的位置.这样放 置的角，我们说它在坐标系中处 于标准位置． 处于标准位置的角的终边 落在第几象限，就把这个角叫做 第几象限的角．如果角的终边落 在坐标轴上，就认为这个角不属 于任何象限． 例 1（2） 指出下列各角分别 是第几象限的角． (1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°． 例 2 写出终边在 y 轴上的角的 集合． 解 终边在 y 轴正半轴上的 一个角为 90°， 终边在 y 轴负 半轴上的一个角为－90°，因此， 终边在 y 轴正半轴和负半轴上 师：观察我们刚画过的 角， （1）0，360°，720°，1080°， －360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°． 思考：始边、终边相 同的两个角的度数有什 么关系？ 学生讨论后回答：终 边相同的两个角的度数相 差 360°的整数倍． 师：与 30°始边、终 边都相同的角有哪些？有 多少个？它们能不能统一 用一个集合来表示？ 得出结论． 例 1（1）由学生口答， 教师给出规范的书写格 式． 例 1（2）学生口答． 讲解例 2 时，教师结 合教材图示的平面直角 坐标系，带领学生分析题 意． 师：角的终边落在 y 轴上包含哪两种情况？ 生：终边落在 y 轴正 半轴上或者落在 y 轴负半 轴上． 师：90°的角终边落在 y 轴的正半轴上吗？与它 终边相同的角的集合是 什么？ －90°的角终边落在y 将例 1 分解为 两个小题，边讲边 练，小步子，低台 阶，学生容易消化 吸收． 例 2 难度较大， 教师应详细讲解两 个集合如何求并 集． B o A o 60° 90° C 30°
的角的集合分别是 轴的负率轴上吗？与它 S={a|a=90+ 终边相同的角的集合是 k360°，kG四 什么？ ={a1a=-0+ 这两个集合的并集怎 k360°，ke召 么求？ 所以终边在y轴上的角的 集合为 U号={da-90r+ 例3引导学生图解 A-36r,keZ别 决，成者用计算器解容 U{国a--90+ k360°，kG 教师结合平面直角坐标 -fa|c-90°+k-180°， 系讲解例4. keZ). 木核仿炼习意 学生分组练习： 在渗通练习的解思 模仿练习： (1)写出第二象限角的 思路 写出终边在x轴上的角的 集合： 集合， (2)写出第三象限角的 集合： (3)写出第四象限角的 例3在0一360°之间，找出与下 集合 列各角终边相同的角，并分别判 可增加判断愿：使学生准 定各是第几象限的角？ (1)-120:(2)640°：(3) 确区分0一90°的角，规 -950°. 角。小于90的角，第一 象限角。 例4写出第一象限的角的集 合， 解在0一360°之间，第一 象限的角的取值蓖围是°<a< 了，所以第一象限角的集合是 {dk-360°<a<90+k·360, 数师引导学生考察 AeZ). 圆心角、弧长和半径之间 的关系： 如图。两个大小不同 二、氟度制 的同心圆中圆心角为 】.弧度制的度量单位一一 设a=P,则 通过说明月心 仁N 2xr 置中%长与半径的 1氧度的角 360· 比值是一个仅与圈 (仙弧长与半径的此值！等子 r-n 2ar 心角a的大小有关 360 的常数，引入1弧 一个常数，只与a的大小有 由此。 度的概念。 关，与半径长无关
的角的集合分别是 S1 ＝ {α α ＝ 90°＋ k·360°，kZ} S2 ＝ {α α ＝ － 90°＋ k·360°，kZ} 所以终边在 y 轴上的角的 集合为 S1∪S2 ＝ {αα ＝ 90° ＋ k ·360°，kZ} ∪{α α ＝ － 90°＋ k·360°，kZ} ＝{α α＝90°＋k ·180°， kZ}． 模仿练习： 写出终边在 x 轴上的角的 集合． 例 3 在 0～360°之间，找出与下 列各角终边相同的角，并分别判 定各是第几象限的角？ （1）－120°；（2）640°；（3） －950°． 例 4 写出第一象限的角的集 合． 解 在 0～360°之间，第一 象限的角的取值范围是0°＜α＜ 90°，所以第一象限角的集合是 {αk ·360°＜α＜90°＋k ·360°， kZ}． 二、弧度制 1. 弧度制的度量单位—— 1 弧度的角． (1) 弧长与半径的比值 l r 等于 一个常数，只与 的大小有 关，与半径长无关． 轴的负半轴上吗？与它 终边相同的角的集合是 什么？ 这两个集合的并集怎 么求？ 例 3 引导学生画图解 决，或者用计算器解答． 教师结合平面直角坐标 系讲解例 4． 学生分组练习： （1）写出第二象限角的 集合； （2）写出第三象限角的 集合； （3）写出第四象限角的 集合． 可增加判断题：使学生准 确区分 0～90°的角，锐 角，小于 90°的角，第一 象限角． 教师引导学生考察 圆心角、弧长和半径之间 的关系： 如图，两个大小不同 的同心圆中圆心角为， 设 = n°，则 l＝n 2 π r 360 ， l' ＝n 2 π r' 360 ， 由此， l r ＝ l' r' ＝n 本模仿练习意 在渗透练习的解题 思路． 通过说明同心 圆中弧长与半径的 比值是一个仅与圆 心角 α 的大小有关 的常数，引入 1 弧 度的概念．
2发 所以，对于任何一个 圈心角a,所对组长与半 径的比值是一个仅与角a 的大小有关的常数， (2)定义：等于半径长的圆 这就启示我们可以 羞所对的圆心角叫做】氧度的 用圆的半径作单位去度量 红，从面得到一种新的度 角：弧度记作ad 量角的制度一—氧度制。 2.角度制与氧度制的换算公式 周角-360-2女-2a rad, 即 3600=2x rad. 平角=180°=xrd, 师举例：若所对的弧 即 180°=xnd. 长1一2，那么属心角的强 由定义出发。 度数就是2rad: md0.01745md, 若所对的弧长/=3r, 让学生在教师的问 1侧=gr730 椰么圈心角的度数是 题引导下自己探究 多少？生13d. 得出角度制与弧度 制之间的换算公式 5718'. 若所对的弧长就是 和算长公式 由此得到产与ad的 换算公式： 那么圆心角的弧度数是 a=品哦者心=g 多少？ 180 182· 特殊角的弧度数与角度数 的互化，见数材P137对应值 师：圆的周长所对的 表. 圆心角是多少度？ 生：属的周长/-2， 例1把67严0“化成氟度. 周角=3600=2L=2x 67°30-5)， P 解 2 ad,即360-2znd. 高ad 师：180等于多少弧 6产30= 2 度190r呢760°，4学.30 帮时学生热记 特殊角的江度数 呢7 8 得到特殊角的角度 数与弧度量的换算。利用 熟练角的度 练习1牧材P158,练习1,234 教材P10的对应值表或 者数轴米记亿特殊角的 数与角度数的互 例2 肥 ad化成度。 弧度数， 化 解 rad =(180 例1和例2可由学生
（2）定义：等于半径长的圆 弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角；弧度记作 rad． 2．角度制与弧度制的换算公式． 周角＝ 360°＝ 2πr r ＝ 2π rad， 即 360°＝2π rad． 平角＝180°＝π rad， 即 180°＝π rad． 1°＝ π 180 rad≈0.017 45 rad， 1 rad＝( 180 π )≈57.30°＝ 5718 ． 由此得到 n° 与 rad 的 换算公式： ＝ n π 180 或者 n°＝ ·（ 180 π ）° 特殊角的弧度数与角度数 的互化，见教材 P 137 对应值 表． 例 1 把 6730 化成弧度． 解 6730 ＝（135 2 ）， 6730 ＝ π 180 rad× 135 2 ＝ 3π 8 rad． 练习 1 教材 P138，练习 1,2,3,4 例 2 把 3 π 5 rad 化成度． 解 3π 5 rad ＝（ 180 π ）× 3π 5 2 π 360 ． 所以，对于任何一个 圆心角，所对弧长与半 径的比值是一个仅与角 的大小有关的常数． 这就启示我们可以 用圆的半径作单位去度量 弧，从而得到一种新的度 量角的制度——弧度制． 师举例：若所对的弧 长 l＝2r，那么圆心角的弧 度数就是 2 rad； 若所对的弧长 l＝3r， 那么圆心角的弧度数是 多少？生：3 rad． 若所对的弧长就是 l， 那么圆心角的弧度数是 多少？ 生： l r rad． 师：圆的周长所对的 圆心角是多少弧度？ 生：圆的周长 l＝2πr， 周角＝360°＝ 2 π r r ＝2π rad，即 360°＝2π rad． 师：180°等于多少弧 度？90°呢？60°，45°，30° 呢？ 得到特殊角的角度 数与弧度数的换算．利用 教材 P130 的对应值表或 者数轴来记忆特殊角的 弧度数． 例 1 和例 2 可由学生 由定义出发， 让学生在教师的问 题引导下自己探究 得出角度制与弧度 制之间的换算公式 和弧长公式． 帮助学生熟记 特殊角的弧度数． 熟练角的弧度 数与角度数的互 化． l' l O r' r
=108°. 自己完成。教师只指导书 写格式. 由于角有正负，我们规定：正角 相应的练习思的练 的弧度数为正数，负角的度数 习方式： 为负数，零角的弧度数为0 (1)教师说出特殊 这种用“氧度”做单位米度量角 角的角度。学生说无度： 的制度叫酸弧度制 (2)教师说出特殊 无论是用角度制还是弧度 角的度数，学生说角度 制，都能在角的集合与实数集R 数 之间建立一一对应的关系 3.弧长公式 由弧度的定义，我们知道 弧长/与半径：的比值等于所对 心角a的氧度数（正值）.即 a,得到仁r 这是弧度制下的流长计算公 式 在例3中，可如 上求扇形的面积一 例3知图。AB所对的圆心角为 月，为误后练习第1 题作准备， 6炉，率径为5cm,求AB的长1 (精确到 0.1cm- 60* A 解 因为 60-号， 所以=-雪X552 即B的长约为5.2cm
＝108°． 由于角有正负，我们规定：正角 的弧度数为正数，负角的弧度数 为负数，零角的弧度数为 0. 这种用“弧度”做单位来度量角 的制度叫做弧度制. 无论是用角度制还是弧度 制，都能在角的集合与实数集 R 之间建立一一对应的关系. 3．弧长公式． 由弧度的定义，我们知道 弧长 l 与半径 r 的比值等于所对 圆心角 α 的弧度数(正值),即 α ＝ l r ，得到 l＝ α·r． 这是弧度制下的弧长计算公 式. 例 3 如图，⌒AB所对的圆心角为 60°，半径为 5 cm，求⌒AB的长 l (精确到 0.1 cm)． B 解 因为 60°＝ π 3 ， 所以 l＝ αr＝ π 3 ×5≈5.2. 即⌒AB的长约为 5.2 cm 自己完成，教师只指导书 写格式． 相应的练习题的练 习方式： （1）教师说出特殊 角的角度，学生说弧度； （2）教师说出特殊 角的弧度数，学生说角度 数． 在例 3 中，可加 上求扇形的面积一 问，为课后练习第 1 题作准备． 60 O A
总结 1.任意角的餐念 本节课概念众多， 练习 2.角的加减运算. 通过棱理脉络，帮 (5) 3.终边相同的角的集合 助学生巩倒知识。 4,象限角的概之 5,弧度制的定义 自的整理知识点， 明确弧度制的意义 6.角度制与弧度制的换算公式 7.氢长公式 作业 习题一2、3、4,6 巩因知识 (6) 板 书 5.152 设 一，角的概念的推广 二、氟度制 计 1.任意角的展多 1.弧度制的定义 2.角的加减运算 2.角度制与弧度制的换算公式 3,绕边相月的角的集合，3属长公式 4。象限角的慢念 例1例2 反
总结 练习 （5） 1．任意角的概念． 2．角的加减运算． 3．终边相同的角的集合． 4．象限角的概念． 5．弧度制的定义 6. 角度制与弧度制的换算公式 7. 弧长公式 本节课概念众多， 通过梳理脉络，帮 助学生巩固知识． 归纳整理知识点， 明确弧度制的意义 作业 （ 5） 习题一 2、3、4、6 巩固知识 板 书 设 计 教 学 反 思 5.1 5.2 一、角的概念的推广 二、弧度制 1．任意角的概念 1. 弧度制的定义 2．角的加减运算 2.角度制与弧度制的换算公式 3．终边相同的角的集合．3.弧长公式 4．象限角的概念． 例 1 例 2