课题:113.2多边形的内角和 教学目标 掌握多边形的外角和及内角和公式.体会转化思想及从特殊到一般的认识问题的方法 重点: 探索多边形的内角和公式及外角和 难点: 利用转化及从特殊到一般思想推导多边形的内角和与外角和 教学流程: 、知识回顾 1.什么是多边形? 答案:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 2.什么是多边形的对角线? 答案:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线 3.从n边形的一个顶点出发,可以引出条对角线,将多边形分割成了个三角形. 答案 二、探究 问题1:三角形的内角和等于180°,长方形、正方形的内角和等于 任意四边形的内 角和是否也等于360°呢? 答案:360°,等于 分析:连接对角线,化四边形为2个三角形 证明:连接AC, ∠BAD+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) ∵∠1+∠B+∠3=180°
课题：11.3.2 多边形的内角和 教学目标： 掌握多边形的外角和及内角和公式．体会转化思想及从特殊到一般的认识问题的方法． 重点： 探索多边形的内角和公式及外角和． 难点： 利用转化及从特殊到一般思想推导多边形的内角和与外角和． 教学流程： 一、知识回顾 1.什么是多边形？ 答案：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.什么是多边形的对角线？ 答案：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 3.从 n 边形的一个顶点出发，可以引出_____条对角线，将多边形分割成了____个三角形. 答案：n－3，n－2 二、探究 1 问题 1：三角形的内角和等于 180°，长方形、正方形的内角和等于______.任意四边形的内 角和是否也等于 360°呢？ 答案：360°，等于. 分析：连接对角线，化四边形为 2 个三角形. 证明：连接 AC， ∠BAD+∠B+∠BCD+∠D ＝∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D ＝（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D） ∵∠1+∠B+∠3＝180°
∠2+∠4+∠D=180° ∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360° 四边形的内角和等于360 问题2:五边形、六边形的内角和呢?n边形呢? 边数 4 5 从二个顶点出发0 上述对角线分成 的三角形的个数1 180°×2 多边形的内角和180°=360° 答案:2,3,180°×3=540°,3,4,180°×4=720°,n-3,n-2,180°×(n-2) 归纳:n边形的内角和等于(n-2)×180 练习1: 1.七边形的内角和等于() A.360° B.900° C.1080° D.1260° 答案:B 2.在四边形ABCD中,若∠A:∠B:∠C:∠D=3:1:2:3,则该四边形中最大的角的度 数是 答 案:120° 探究2 问题:在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出 六边形的外角和吗? 解:∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°, ∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6×180° ∴六边形外角和=总和一内角和 =6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°
∠2+∠4+∠D＝180° ∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360° 四边形的内角和等于 360°. 问题 2：五边形、六边形的内角和呢？n 边形呢？ 答案：2，3，180°×3＝540°，3，4，180°×4＝720°，n－3，n－2，180°×(n－2) 归纳：n 边形的内角和等于（n－2）×180° 练习 1： 1.七边形的内角和等于( ) A.360° B.900° C.1080° D.1260° 答案：B 2.在四边形 ABCD 中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度 数是________. 答案：120° 三、探究 2 问题：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出 六边形的外角和吗？ 解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°， ∴六边形的 6 个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于 6×180°. ∴六边形外角和＝总和－内角和 ＝6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°
想一想:如果将六边形换为n边形呢?(n是不小于3的任意整数 答案:n×180°-(n-2)×180° 2×180° 归纳:多边形的外角和等于360° 欣赏:动画《多边形的外角和》 练习2: 1.若一个多边形的每个内角均为150°,则这个多边形的边数为() 答案:D 2.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于() A.60° B.72° D.108 答案:B 四、应用提高 1.如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系? 解:如图,四边形ABCD中 ∠A+∠C=180° ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°, ∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C) =360°-1 归纳:如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补 2.四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80° (1)如图①,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数 (2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数 B图① B图②C
想一想：如果将六边形换为 n 边形呢？（n 是不小于 3 的任意整数） 答案：n×180°－（n－2）×180° ＝2×180° ＝360° 归纳：多边形的外角和等于 360° 欣赏：动画《多边形的外角和》 练习 2： 1.若一个多边形的每个内角均为 150°，则这个多边形的边数为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案：D 2.一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A.60° B.72° C.90° D.108° 答案：B 四、应用提高 1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，四边形 ABCD 中， ∠A+∠C＝180°． ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝（4－2）×180°＝360°， ∴∠B+∠D＝360°－（∠A+∠C） ＝360°－180°＝180°． 归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 2.四边形 ABCD 中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC 的平分线 BE 交 DC 于点 E，且 BE∥AD，试求出∠C 的度数； (2)如图②,若∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E,试求出∠BEC 的度数
解:(1)∵BE∥AD ∠A+∠ABE=180°, 即140°+∠ABE=180°, ∴∠ABE=40°, ∴∠ABC=80°, 由∠A+∠ABC+∠C+∠D=360° 得∠C=360°-140°-80°-80°=60° (2)∵∠EBC=-∠ABC,∠ECB=-∠BCD 由∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°得 140°+2∠EBC+2∠ECB+80°=360 ∴∠EBC+∠ECB=70 ∴∠BEC=110° 五、体验收获 今天我们学习了哪些知识? 1.说一说多边形内角和公式? 2.在探究多边形内角和公式中,连接对角线起到什么作用? 3.多边形的外角和等于多少? 六、达标测评 1.已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是() A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形 答案:C 2.若n边形的内角和为1440°,则这个n边形的对角线共有 答案: 3.求如图所示图形中x的值 150 73°829 解:(1)x=360-150-90-70=50 (2)x=180-[360-(90+73+82)=65 4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°,求这个多边形的内角和是多
解：(1)∵BE∥AD， ∴∠A＋∠ABE＝180°， 即 140°＋∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠ABC＝80°， 由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°， 得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60° (2)∵∠EBC＝ 1 2 ∠ABC，∠ECB＝ 1 2 ∠BCD， 由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得 140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°， ∴∠EBC＋∠ECB＝70°， ∴∠BEC＝110° 五、体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1.说一说多边形内角和公式？ 2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？ 3.多边形的外角和等于多少？ 六、达标测评 1.已知一个多边形的内角和是 900°，则这个多边形是( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 答案：C 2.若 n 边形的内角和为 1440°，则这个 n 边形的对角线共有________条． 答案：35 3.求如图所示图形中 x 的值． 解：(1)x＝360－150－90－70＝50 (2)x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65 4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的 4 倍还多 30°，求这个多边形的内角和是多
解:设它的一个外角为x°,则与它相邻的内角为(4x+30)°, ∴4x+30+x=180 解得x=30, 360°÷30°=12 ∴此多边形为十二边形, ∴它的内角和为180°×(12-2)=1800 七、布置作业 教材25页习题11.3第5、6题
少？ 解：设它的一个外角为 x°，则与它相邻的内角为(4x＋30)°， ∴4x＋30＋x＝180， 解得 x＝30， 360°÷30°＝12， ∴此多边形为十二边形， ∴它的内角和为 180°×(12－2)＝1800°. 七、布置作业 教材 25 页习题 11.3 第 5、6 题．