人教版八年级上册 12.3角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 人教版 八年级上册
什么是角平分线? 条射线把一个角分成两个相等的角, A 这条射线叫做这个角的平分线。 如图OC即为∠AOB的平分线。 ∠ B 角平分线具有哪些性 质呢?
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 什么是角平分线？ 如图OC即为∠AOB的平分线。 角平分线具有哪些性 质呢？
角的平分线的性质 想一想 如图是一个平分角的仪器其中 A AB=ADBC=DC将点A放在角的顶 点AB和AD沿着角的两边放下沿AC 画一条射线AEAE就是角平分线 D B 你能说明它的道理吗?
角的平分线的性质 想一想 如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶 点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE就是角平分线. E C A D B 你能说明它的道理吗?
A 证明:在△ACD和△ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) D B CA=CA(公共边) E:C AACD A△ACB(SSs) ∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等) AC平分∠DAB(角平分线的定义)
E 证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD ≌△ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） C A D B
尺规作已知角的平分线 作法: A ()以o为圆心任意长为半径作弧, 交OA于M交OB于N 2分别以MN为圆心大于MN的 0 长为半径作弧两弧在AOB的内部交 于点C (3)作射线OC。射线OC即为所求
A Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ ⑶作射线OC。射线OC即为所求. 0 尺规作已知角的平分线 作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作弧, 交OA于M,交OB于N
探究 任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的 A 平分线OC,在OC上任取一点P,过点 P画出OA和OB的垂线,分别记垂足 为D,E,PD和PE有什么关系? O E PDEPE B 你能结合三角形全等的 知识证明这个结论吗?
探究 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的 平分线OC，在OC上任取一点P，过点 P画出OA和OB的垂线，分别记垂足 为D，E，PD和PE有什么关系？ D P E A O B C PD=PE 你能结合三角形全等的 知识证明这个结论吗？
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D、E.求证:PD=PE 证明: A ∵OC是∠AOB的平分线 ∴∠1=∠2 ∵PD⊥OA,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO E B OP=OP 4OPD△OPE(AAS) ∴PD=PE
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. D P E A O B C 证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO ∵OP=OP ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE 1 2
探究 再在OC上任取一点Q、R,过点Q、R画 A 出OA和OB的垂线,分别记垂足为F、H BR C 和J、K,QE与QH、R与RK分别有什 么关系? QF=QH E HK B RJERK 你能总结出角的平分线 的性质吗?
探究 再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画 出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H 和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什 么关系？ D P E A O B C QF=QH 你能总结出角的平分线 的性质吗？ RJ=RK Q R J F HK
角的平分线的性质: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 用符号表示为: /A ∴OP平分∠AOB PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE E
角的平分线的性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 A O B P E D PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∵OP平分∠AOB ∴PD=PE. 用符号表示为：
定理应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上;O (3)垂直距离。 定理的作用:证明线段相等
B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等