《等腰三角形》练习 、选择基础知识运用 1.若等腰三角形有两条边的长度为2和5,则此等腰三角形的周长为( A.9B.12C.9或12D.10 2.若等腰三角形的一个角为70°,则顶角为() A.70°B.40°C.40°或70°D.80° 3.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为() A.36°B.60°C.72°D.108° 4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是() A A.36°B.30°C.24°D.18° 5.已知△ABC的三条边长分别为6,8,12,过△ABC任一顶点画一条直线,将△ABC分割成 两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画() A.6条B.7条C.8条D.9条 6.已知平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,3),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形, 则符合条件的点P共有()个。 A.3B.4C.5D.6 7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中 共有等腰三角形的个数是()
《等腰三角形》练习 一、选择——基础知识运用 1．若等腰三角形有两条边的长度为 2 和 5，则此等腰三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9 或 12 D．10 2．若等腰三角形的一个角为 70°，则顶角为（ ） A．70° B．40° C．40°或 70° D．80° 3．如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC，∠A=36°，则∠1 的度数为（ ） A．36° B．60° C．72° D．108° 4．如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ） A．36° B．30° C．24° D．18° 5．已知△ABC 的三条边长分别为 6，8，12，过△ABC 任一顶点画一条直线，将△ABC 分割成 两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A．6 条 B．7 条 C．8 条 D．9 条 6．已知平面直角坐标系中，点 A 坐标为（-2，3），在 y 轴上确定点 P，使△AOP 为等腰三角形， 则符合条件的点 P 共有（ ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中 共有等腰三角形的个数是（ ）
A.4个B.5个C.6个D.7个 二、解答知识提高运用 8.如图,AD是△ABC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作AD的延长线的垂线,垂足为M. (1)若∠DCM=a,试用a表示∠BAD (2)求证:AB+AC=2AM。 9.如图,△ABC中,AB=6,BD=3,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求CD的长 A B C 10.如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC 于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 二、解答——知识提高运用 8．如图，AD 是△ABC 的角平分线，且∠B=∠ADB，过点 C 作 AD 的延长线的垂线，垂足为 M． （1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD； （2）求证：AB+AC=2AM。 9．如图，△ABC 中，AB=6，BD=3，AD⊥BC 于 D，∠B=2∠C，求 CD 的长。 10．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DE∥BC 分别交 AB、AC 于 D、E，已知△ADE 的周长为 20cm，且 BC=12cm，求△ABC 的周长
参考答案 、选择基础知识运用 1.【答案】B 【解析】①当5为底时,其它两边都为2 2+2<5 不能构成三角形,故舍去 当5为腰时, 其它两边为2和5 5、5、2可以构成三角形 周长为12。故选B 2.【答案】C 【解析】(1)当70°角为顶角,顶角度数即为70° (2)当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°。故选C。 3.【答案】C 【解析】∵∠A=36°,AB=AC ∠ABC=∠C=72° ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36° ∠1=∠A+∠ABD=72°,故选C 4.【答案】D 【解析】∵AB=AC ∠ABC=∠C ∵∠A=36°, ∴∠C=(180°-36°)÷2 BD是AC边上的高 BD⊥AC, ∴∠DBC=90°-∠C =90°-72° 即∠DBC的度数是18°。故选D
参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】B 【解析】①当 5 为底时，其它两边都为 2， ∵2+2＜5， ∴不能构成三角形，故舍去， 当 5 为腰时， 其它两边为 2 和 5， 5、5、2 可以构成三角形， 周长为 12。故选 B。 2．【答案】C 【解析】（1）当 70°角为顶角，顶角度数即为 70°； （2）当 70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°。故选 C。 3．【答案】C 【解析】∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选 C。 4．【答案】D 【解析】∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠A=36°， ∴∠C=（180°-36°）÷2 =144°÷2 =72° ∵BD 是 AC 边上的高， ∴BD⊥AC， ∴∠DBC=90°-∠C =90°-72° =18° 即∠DBC 的度数是 18°。故选 D
5.【答案】B 【解析】不妨设AB=6,AC=8,BC=12,分别作三边的垂直平分线, 如图1,则BD=AD,EA=EC,FB=FC,可知AE、BF、AD满足条件 图1 当AB为腰时,以点A为圆心,AB为半径画圆,分别交BC、AC于点G、H 以B为圆心,AB为半径,交BC于点J,如图2,则AB=AG,AB=AH,BA=BJ,满足条件 当AC为腰时,如图3,以点C为圆心,CA为半径画圆,交BC于点M,则CA=CM,满足条 件 当A为圆心AC为半径画圆时,与AB、BC都没有交点 因为BC为最长的边,所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形
5．【答案】B 【解析】不妨设 AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线， 如图 1，则 BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知 AE、BF、AD 满足条件， 当 AB 为腰时，以点 A 为圆心，AB 为半径画圆，分别交 BC、AC 于点 G、H， 以 B 为圆心，AB 为半径，交 BC 于点 J，如图 2，则 AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件 当 AC 为腰时，如图 3，以点 C 为圆心，CA 为半径画圆，交 BC 于点 M，则 CA=CM，满足条 件， 当 A 为圆心 AC 为半径画圆时，与 AB、BC 都没有交点， 因为 BC 为最长的边，所以不可能存在以 BC 为腰的等腰三角形
综上可知满足条件的直线共有7条,故选B。 6.【答案】B 【解析】因为△AOP为等腰三角形,所以可分成三类讨论: 4+2 54:-3.2.10、123:45x ①AO=AP(有一个) 此时只要以A为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于O点和另一个点,另一个点就是P; ②AO=OP(有两个) 此时只要以O为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于两个点,这两个点就是P的两种选 择(AO=OP=R) ③AP=OP(一个) 作AO的中垂线,与y轴有一个交点,该交点就是点P的最后一种选择.(利用中垂线性质) 综上所述,共有4个。故选B 7.【答案】C 【解析】∵AB=AC,∠ABC=36° ∠BAC=108°, ∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°, 等腰三角形△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6个。故选C。 二、解答—一知识提高运用 8.【答案】(1)∵CM⊥AM,∠DCM=a ∠CDM=∠ADB=∠B=90°-a ∠BAD=180°2∠ABD=180°-2(90°-a)=2a; (2)延长AM到F使MF=AM,则有AC=CF ∴AD平分∠CAB
综上可知满足条件的直线共有 7 条，故选 B。 6．【答案】B 【解析】因为△AOP 为等腰三角形，所以可分成三类讨论： ①AO=AP（有一个） 此时只要以 A 为圆心 AO 长为半径画圆，可知圆与 y 轴交于 O 点和另一个点，另一个点就是 P； ②AO=OP（有两个） 此时只要以 O 为圆心 AO 长为半径画圆，可知圆与 y 轴交于两个点，这两个点就是 P 的两种选 择（AO=OP=R） ③AP=OP（一个） 作 AO 的中垂线，与 y 轴有一个交点，该交点就是点 P 的最后一种选择．（利用中垂线性质） 综上所述，共有 4 个。故选 B。 7．【答案】C 【解析】∵AB=AC，∠ABC=36°， ∴∠BAC=108°， ∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°， ∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有 6 个。故选 C。 二、解答——知识提高运用 8．【答案】（1）∵CM⊥AM，∠DCM=α， ∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α， ∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2（90°-α）=2α； （2）延长 AM 到 F 使 MF=AM，则有 AC=CF ∵AD 平分∠CAB
∠CAF=∠BAF=∠F CF∥AB ∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF CF=DE AD+DF=2MA ∴AB+AC=2MA 9.【答案】在DC上取点E,使BD=DE, 连接AE,则△ABE是等腰三角形 ∴AE=AB, ∵∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C ∴∠C=∠CAE AE=CE CE=AB= CD=CE+DE=AB+BD=9。 10.【答案】∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F ∠DBF=∠FBC 又∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC ∠DFB=∠DBF∴BD=DF 同理EC=EF △ADE的周长为20cm,即AD+AE+DF+EF=20cm, AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm 又∵BC=12cr AB+AC+BC=32cm 即△ABC的周长为32cm
∴∠CAF=∠BAF=∠F ∴CF∥AB ∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF ∴CF=DF ∵AD+DF=2MA ∴AB+AC=2MA 9．【答案】在 DC 上取点 E，使 BD=DE， 连接 AE，则△ABE 是等腰三角形。 ∴AE=AB， ∵∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C， ∴∠C=∠CAE， ∴AE=CE， ∴CE=AB=6， ∴CD=CE+DE=AB+BD=9。 10．【答案】∵∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 F ∴∠DBF=∠FBC 又∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC ∴∠DFB=∠DBF∴BD=DF 同理 EC=EF ∵△ADE 的周长为 20cm，即 AD+AE+DF+EF=20cm， ∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm 又∵BC=12cm，∴AB+AC+BC=32cm 即△ABC 的周长为 32cm