《等腰三角形》练习 、选择基础知识运用 1.下列三角形 ①有两个角等于60° ②有一个角等于60°的等腰三角形 ③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形 ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。 其中是等边三角形的有() A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④ 2.下列推理错误的是() A.因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形 B.因为AB=AC,且∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形 C.因为∠A=60°,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形 D.因为AB=AC,且∠B=60°,所以△ABC是等边三角形 3.已知a,b,c是△ABC的三边,且a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形 4.如图,已知∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上, △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A4B4A5的边长为( B B A1 A.8B.16C.32D.64 5.如图,已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧,则下面错误的是() A.△ABD≌△EBCB.△NBC≌△MBDC.DM=DCD.∠ABD=∠EBC 6.如图,在等边△ABC中,∠BAD=20°,AE=AD,则∠CDE的度数是()
《等腰三角形》练习 一、选择——基础知识运用 1．下列三角形： ①有两个角等于 60°； ②有一个角等于 60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。 其中是等边三角形的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．下列推理错误的是（ ） A．因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC 是等边三角形 B．因为 AB=AC，且∠B=∠C，所以△ABC 是等边三角形 C．因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形 D．因为 AB=AC，且∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形 3．已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且 a 2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，已知∠MON=30°，点 A1、A2、A3…在射线 ON 上，点 B1、B2、B3…在射线 OM 上， △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若 OA1=1，则△A4B4A5 的边长为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．如图，已知等边△AEB 和等边△BDC 在线段 AC 同侧，则下面错误的是（ ） A．△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM=DC D．∠ABD=∠EBC 6．如图，在等边△ABC 中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE 的度数是（ ）
A.10°B.12.5°C.15°D.20° 7.如图中左边图形,连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形,右边的图形就是这 样得到的,请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大() △ A.阴影部分面积大B.空白部分面积大 C.一样大D.不确定 、解答—一知识提高运用 如图,在△ABC中,AB=BC=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,请比较△AEF和四边形EBCF的周 长的大小 9.如图,点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上,且BD=CE=AF, 说明△DEF为等边三角形。 10.如图,设O为△ABC内一点,且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,P为任意一点(不是O)。 求证:PA+PB+PC>OA+OB+OC
A．10° B．12.5° C．15° D．20° 7．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这 样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ） A．阴影部分面积大 B．空白部分面积大 C．一样大 D．不确定 二、解答——知识提高运用 8．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，请比较△AEF 和四边形 EBCF 的周 长的大小。 9．如图，点 D、E、F 分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 的延长线上，且 BD=CE=AF， 说明△DEF 为等边三角形。 。 10．如图，设 O 为△ABC 内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P 为任意一点（不是 O）。 求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC
参考答案 、选择基础知识运用 1.【答案】D 【解析】①两个角为60度,则第三个角也是60度,则其是等边三角形,故正确 ②这是等边三角形的判定2,故正确 ③三个外角相等则三个内角相等,则其是等边三角形,故正确 ④根据等边三角形三线合一性质,故正确 所以都正确。故选D。 2.【答案】B 【解析】A、三个角相等的三角形是等边三角形,故本选项正确:B、根据AB=AC,且∠B=∠C, 只能判定△ABC是等腰三角形,故本选项错误:C、根据两个角等于60°即可得到第三个角也为60° 故本选项正确:D、根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可以判定本选项正确。故选B 3.【答案】C 【解析】原式可化为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,即a2+b2+c2+a2+b2+c2-2ab-2ac2bc=0 根据完全平方公式,得:(a-b)2+(c-a)2+(b-c)2=0 由非负数的性质,可知:a-b=0,c-a=0,b-c=0;即:a=b=c。所以△ABC是等边三角形 故选C 4.【答案】A 【解析】∵△A1B1A2为等边三角形, ∴∠B1A1A2=60°, ∠MON=30° ∠OB1A2=30°+60°=90°, ∴A2B1=A2, 同理可求得:B4A=OA5, OA1=1 ∴OA4=2OA3=40A2=80A1=8,OAs=2OA4=40A3=8OA2=160A1=16, A4A5=OAS-OA4=16-8=8 故选A 5.【答案】C 【解析】A、可以利用SAS验证,正确 B、可以利用AAS验证,正确
参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】D 【解析】①两个角为 60 度，则第三个角也是 60 度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定 2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据等边三角形三线合一性质，故正确。 所以都正确。故选 D。 2．【答案】B 【解析】A、三个角相等的三角形是等边三角形，故本选项正确；B、根据 AB=AC，且∠B=∠C， 只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项错误；C、根据两个角等于 60°即可得到第三个角也为 60°， 故本选项正确；D、根据有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形可以判定本选项正确。故选 B。 3．【答案】C 【解析】原式可化为 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，即 a 2+b2+c2+a2+b2+c2 -2ab-2ac-2bc=0； 根据完全平方公式，得：（a-b）2+（c-a）2+（b-c）2=0； 由非负数的性质，可知：a-b=0，c-a=0，b-c=0；即：a=b=c。所以△ABC 是等边三角形。 故选 C。 4．【答案】A 【解析】∵△A1B1A2 为等边三角形， ∴∠B1A1A2=60°， ∵∠MON=30°， ∴∠OB1A2=30°+60°=90°， ∴A2B1=OA2， 同理可求得：B4A5=OA5， ∵OA1=1， ∴OA4=2OA3=4OA2=8OA1=8，OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1=16， ∴A4A5=OA5-OA4=16-8=8， 故选 A。 5．【答案】C 【解析】A、可以利用 SAS 验证，正确； B、可以利用 AAS 验证，正确；
C、可证∠MBN=60°,若DM=DC=DB,则△DMB为等边三角形,即∠BDM=60° ∵∠EAB=∠DBC,∴AE∥BD.∴∠BDM=∠EAD=60°.与已知不符,错误: D、可由∠ABE,∠DBC同加一个∠DBE得到,正确。所以错误的是第三个,故选C。 6.【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠BAC=60° ∠BAD=20°, ∠DAE=∠BAC.∠BAD=40 AD=AE ∠ADE=∠AED ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180 ∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°, ∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80° ∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=80°-70°=10°。 故选A 7.【答案】C 【解析】如图∵D、E、F分别为三角形三边的中点,△ABC为等边三角形 AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DE △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED 阴影部分面积与空白部分面积一样大。 故选C 、解答—知识提高运用 8.【答案】∵AB=BC=AC ∠A=∠B=∠C=60° DE⊥AB,DF⊥AC ∠BDE=∠FDC=30 ∴BE=BD,CF=CD
C、可证∠MBN=60°，若 DM=DC=DB，则△DMB 为等边三角形，即∠BDM=60° ∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误； D、可由∠ABE，∠DBC 同加一个∠DBE 得到，正确。所以错误的是第三个，故选 C。 6．【答案】A 【解析】∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， ∵∠BAD=20°， ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=40°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴∠ADE=∠AED=×（180°-40°）=70°， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°， ∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=80°-70°=10°。 故选 A。 7．【答案】C 【解析】如图∵D、E、F 分别为三角形三边的中点，△ABC 为等边三角形， ∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF， ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED， ∴阴影部分面积与空白部分面积一样大。 故选 C。 二、解答——知识提高运用 8．【答案】∵AB=BC=AC， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BDE=∠FDC=30°， ∴BE=BD，CF=CD
BE+CF=(BD+CD)=BC ∴BE+CF+BC=BC AE+AF=3BC-BC=BC AE+AF+EF=BE+CF+BC+EF △AEF和四边形EBCF的周长相等。 9.【答案】∵BD=CE=AF, ∴BE=CF=AD ∵∠ABC=∠BCA=∠CAB=60° ∠DBE=∠ECF=∠FAD=120° BD=AF,BE=AD,∠DBE=∠FAD, ∴△AFD≌△BDE ∴FD=DE; ∵BD=CE,BE=CF,∠DBE=∠ECF △CEF≌△BDE ∴EF=DE FD=DE=EF 即△DEF为等边三角形 10.【答案】证明:过△ABC的顶点A,B,C分别引OA,OB,OC的垂线,设这三条垂线的交 点为A1,B1,C1(如图),考虑四边形AOBC1 B 因为∠OAC1=∠OBC1=90°,∠AOB=120°, 所以∠C1=60°.同理,∠A1=∠B1=60° 所以△A1B1C1为正三角形 设P到△A1B1C1三边BC1,C1A1,A1B1的距离分别为ha,hb,he,且△ABC1的边长为a,高 为h 由等式S△A1B1C1=S△PBC1+S△PC1A1+S△PA1B1知 h.= a+hb.a+hc.a 所以h=ha+hb+he
∴BE+CF=（BD+CD）=BC， ∴BE+CF+BC=BC， AE+AF=3BC−BC=BC， ∴AE+AF+EF=BE+CF+BC+EF， ∴△AEF 和四边形 EBCF 的周长相等。 9．【答案】∵BD=CE=AF， ∴BE=CF=AD， ∵∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°， ∴∠DBE=∠ECF=∠FAD=120°， ∵BD＝AF，BE＝AD，∠DBE＝∠FAD， ∴△AFD≌△BDE， ∴FD=DE； ∵BD＝CE，BE＝CF，∠DBE＝∠ECF， ∴△CEF≌△BDE， ∴EF=DE， ∴FD=DE=EF， 即△DEF 为等边三角形。 10．【答案】证明：过△ABC 的顶点 A，B，C 分别引 OA，OB，OC 的垂线，设这三条垂线的交 点为 A1，B1，C1（如图），考虑四边形 AOBC1。 因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°， 所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°． 所以△A1B1C1 为正三角形． 设 P 到△A1B1C1 三边 B1C1，C1A1，A1B1 的距离分别为 ha，hb，hc，且△A1B1C1 的边长为 a，高 为 h。 由等式 S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1+S△PA1B1 知 h•a=ha•a+hb•a+hc•a， 所以 h=ha+hb+hc
这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1BC1的高h,这是一个定值,所以 OA+OB+OC=h=定值。 显然,PA+PB+PC>P到△ AlBICI三边距离和, 所以PA+PB+PC>h=OA+OB+OC
这说明正△A1B1C1 内任一点 P 到三边的距离和等于△A1B1C1 的高 h，这是一个定值，所以 OA+OB+OC=h=定值。 显然，PA+PB+PC＞P 到△A1B1C1 三边距离和， 所以 PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC