《课程学习最短路径问趣》练习 、选择基础知识运用 1.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动 点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是() A.25°B.30°C.35°D.40° 2.如图,直线1是一条河,A、B两地相距5km,A、B两地到1的距离分别为3km、6km,欲 在1上的某点M处修建一个水泵站,向A、B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设 的管道,则铺设的管道最短的是() 口 C M B L 3.如图,∠AOB=30°,点P是∠AOB内的一个定点,OP=20cm,点C、D分别是OA、OB上 的动点,连结CP、DP、CD,则△CPD周长的最小值为
《课程学习 最短路径问题》练习 一、选择——基础知识运用 1．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动 点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，直线 l 是一条河，A、B 两地相距 5km，A、B 两地到 l 的距离分别为 3km、6km，欲 在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 A、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设 的管道，则铺设的管道最短的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，∠AOB=30°，点 P 是∠AOB 内的一个定点，OP=20cm，点 C、D 分别是 OA、OB 上 的动点，连结 CP、DP、CD，则△CPD 周长的最小值为（ ）
A. 10cmB. 15cm C. 20cm D. 40cm 4.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A 和点B的距离之和最小,则点P的坐标是() A.(-2,0)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,0) 5.如图,已知∠AOB的大小为a,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=2,点E、F分别是OA OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于2,则a=() 、解答—知识提高运用 6.如图:已知四边形ABCD,∠BAD=120°,CB⊥AB,CD⊥AD且AB=AD=3,点E,F分别 在BC,CD边上,那么△AEF的周长最短是 7.如图,已知A、B是锐角a的OM边上的两个定点,P在ON边上运动.问P点在什么位置 时,PA2+PB2的值最小? M 8.如图△ABC是边长为2的等边三角形,D是AB边的中点,P是BC边上的动点,Q是AC
A．10cmB．15cmC．20cmD．40cm 4．如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，4），B（4，2），在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ） A．（-2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0） 5．如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且 OP=2，点 E、F 分别是 OA、 OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于 2，则α=（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 二、解答——知识提高运用 6．如图：已知四边形 ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD 且 AB=AD=3，点 E，F 分别 在 BC，CD 边上，那么△AEF 的周长最短是 。 7．如图，已知 A、B 是锐角α的 OM 边上的两个定点，P 在 ON 边上运动．问 P 点在什么位置 时，PA2+PB2 的值最小？ 。 8．如图△ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上的动点，Q 是 AC
边上的动点,当P、Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小?并求出这个最值 C 9.如图,两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧.工厂A和B距离河岸1分别为4 千米和2千米,两个工厂的距离为6千米.现要在运河的工厂一侧造一点C,在C处拟设立一个货物 运输中转站,并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸,使直线运送带总长最小。如图建立直角坐标 系 l1 (1)如果要求货物运动中转站C距离河岸1为a千米(a为一个给定的数,0≤a≤2),求C点 设在何处时,直线输送带总长S最小,并给出S关于a的表达式。 (2)在0≤a≤2范围内,a取何值时直线输送带总长最小,并求其最小值
边上的动点，当 P、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值。 9．如图，两个生物制药厂 A 与 B 座落于运河河岸的同一侧．工厂 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米，两个工厂的距离为 6 千米．现要在运河的工厂一侧造一点 C，在 C 处拟设立一个货物 运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小。如图建立直角坐标 系。 （1）如果要求货物运动中转站 C 距离河岸 l 为 a 千米（a 为一个给定的数，0≤a≤2），求 C 点 设在何处时，直线输送带总长 S 最小，并给出 S 关于 a 的表达式。 （2）在 0≤a≤2 范围内，a 取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值
参考答案 、选择基础知识运用 1.【答案】B 【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD 分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示 ∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C, ∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA 点P关于OB的对称点为C PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB ∴OC=OP=OD,∠AOB=∠COD △PMN周长的最小值是5cm PM+PN+MN=5, DM+CN+MN=5, 即CD=5=OP, OC=OD=CD 即△OCD是等边三角形 ∠COD=60° ∠AOB=30°; 故选:B 2.【答案】B 【解析】作点A关于直线Ⅰ的对称点,再把对称点与点B连接,根据轴对称确定最短路线问题 交点即为所求点M。根据最短路线问题,B选项图形方案符合。故选B 3.【答案】C 【解析】如图,作点P关于OA、OB的对称点P′、P",连接P′P
参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】B 【解析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD， ∵△PMN 周长的最小值是 5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即 CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD 是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B。 2．【答案】B 【解析】作点 A 关于直线 l 的对称点，再把对称点与点 B 连接，根据轴对称确定最短路线问题， 交点即为所求点 M。根据最短路线问题，B 选项图形方案符合。故选 B。 3．【答案】C 【解析】如图，作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接 P′P″
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D, △CPD周长的最小值=P′P〃, 由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P"OB,OP′=OP"=OP=20cm 所以,∠P′OP"=2∠AOB=2×30°=60 所以,△OP′P"是等边三角形 ∴PP′=OP′=20cm 故选:C 4.【答案】C 【解析】作A关于ⅹ轴的对称点C,连接AC交ⅹ轴于D,连接BC交交ⅹ轴于P,连接AP, 则此时AP+PB最小,即此时点P到点A和点B的距离之和最小, A(-2,4), ∴C(-2,-4), 设直线CB的解析式是y=kx+b 把C、B的坐标代入得: 2=4k+b -4=-2k+b, 解得:k=1,b=-2 2 把y=0代入得:0=x-2,x=2 即P的坐标是(2,0) 故选C
由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与 OA、OB 的交点即为 C、D， △CPD 周长的最小值=P′P″， 由轴对称的性质，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=20cm， 所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°， 所以，△OP′P″是等边三角形， ∴PP′=OP′=20cm。 故选：C。 4．【答案】C 【解析】作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC 交 x 轴于 D，连接 BC 交交 x 轴于 P，连接 AP， 则此时 AP+PB 最小，即此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小， ∵A（-2，4）， ∴C（-2，-4）， 设直线 CB 的解析式是 y=kx+b， 把 C、B 的坐标代入得： 2＝4k+b −4＝−2k+b， 解得：k=1，b=-2， ∴y=x-2， 把 y=0 代入得：0=x-2，x=2， 即 P 的坐标是（2，0）， 故选 C
5.【答案】A 【解析】如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB 于F.此时,△PEF的周长最小。 P 连接OC,OD,PE,PF ∵点P与点C关于OA对称, ∴OA垂直平分PC ∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP, 同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=a,OC=OD=OP=2 ∠COD=2a 又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2 OC=OD=CD=2, △COD是等边三角形 2a=60°, a=30 故选A。 解答知识提高运用 6.【答案】延长AB至M,使AB=BM,延长AD至N,使AD=DN,分别交BC于E,DC于F, - CB⊥AB,CD⊥AD, ∴BC,CD是AM和AN的垂直平分线, ∴AE=ME,AF=FN
5．【答案】A 【解析】如图，作点 P 关于 OA 的对称点 C，关于 OB 的对称点 D，连接 CD，交 OA 于 E，OB 于 F．此时，△PEF 的周长最小。 连接 OC，OD，PE，PF。 ∵点 P 与点 C 关于 OA 对称， ∴OA 垂直平分 PC， ∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP， 同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP． ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2， ∴∠COD=2α． 又∵△PEF 的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2， ∴OC=OD=CD=2， ∴△COD 是等边三角形， ∴2α=60°， ∴α=30°。 故选 A。 二、解答——知识提高运用 6．【答案】延长 AB 至 M，使 AB=BM，延长 AD 至 N，使 AD=DN，分别交 BC 于 E，DC 于 F， ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴BC，CD 是 AM 和 AN 的垂直平分线， ∴AE=ME，AF=FN
∵△AEF的周长=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN 此时△AEF的周长最短为线段MN的长, AB=AD=3 AM=AN, ∠BAD=120° ∴∠M=∠N=30°, ∴MN=2AM·cos30°=12×=6, 故答案为6 7.【答案】 设OA=a,OB=b,OP=x, 'Pa2=a +x2-2axcosa, PB2=b2+x2-2bxcosa .PA+PB2a2+x2-2axcosab2+x2-2bxcosa2x2-2 (atb)cosax+a2+b ∴当ⅹ=cosa时,PA2+PB2的值最小. 8.【答案】作D关于BC、AC的对称点D′、D”,连接D′D”,DQ,DP ∵DQ=D"Q,DP=D′P ∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+D”Q+D′P=D′D”, 根据两点之间线段最短,D′D”的长即为三角形周长的最小值 ∴∠A=∠B=60°,∠BED=∠AFD=90°, ∴∠a=∠B=90°-60°=30° ∠D′DD″=180°-30°-30°=120° ∵D为AB的中点, DF=AD·coS30°=1X=,AF=, 易得△ADF≌△QD"F, QF=AF=, ∴AQ=1,BP=1
∵△AEF 的周长=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN， ∴此时△AEF 的周长最短为线段 MN 的长， ∵AB=AD=3， ∴AM=AN， ∵∠BAD=120°， ∴∠M=∠N=30°， ∴MN=2AM•cos30°=12×=6， 故答案为 6． 7．【答案】 设 OA=a，OB=b，OP=x， ∵PA2=a2+x2 -2axcosα，PB2=b2+x2 -2bxcosα， ∴PA2+PB2=a2+x2 -2axcosα+b2+x2 -2bxcosα=2x2 -2（a+b）cosαx+a2+b2， ∴当 x=cosα 时，PA2+PB2 的值最小．． 8．【答案】作 D 关于 BC、AC 的对称点 D′、D″，连接 D′D″，DQ，DP。 ∵DQ=D″Q，DP=D′P， ∴△DPQ 的周长为 PQ+DQ+DP=PQ+D″Q+D′P=D′D″， 根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值。 ∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°， ∴∠α=∠β=90°-60°=30°， ∠D′DD″=180°-30°-30°=120°， ∵D 为 AB 的中点， ∴DF=AD•cos30°=1× =，AF= ， 易得△ADF≌△QD''F， ∴QF=AF=， ∴AQ=1，BP=1
Q、P为AC、BC的中点 ∴DD"=×2=, 同理,DD′=×2= △DD′D”为等腰三角形, ∠D′=∠D"==30°, ∴D"D′=2DD’·cos30°=2××=3 9.【答案】(1)如图所示: 过B作直线BE⊥y轴于E点 ∵A和B距离河岸1分别为4千米和2千米,AB=6千米, AE=4-2=2千米, A(0,4)、B(,2), 过点B作关于直线l1的对称点B′,则BF=B′F=2-a, ∴B′点的坐标为(,-2+2a) S=AB (2)由(1)可知,S=2, ∴当a=2时S有最小值,则S=2=6(千米)
Q、P 为 AC、BC 的中点． ∴DD″=×2=， 同理，DD′=×2=， ∴△DD′D″为等腰三角形， ∴∠D′=∠D″= =30°， ∴D″D′=2DD′•cos30°=2××=3 9．【答案】（1）如图所示： 过 B 作直线 BE⊥y 轴于 E 点， ∵A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米，AB=6 千米， ∴AE=4-2=2 千米， ∴BE===， ∴A（0，4）、B（，2）， 过点 B 作关于直线 l1 的对称点 B′，则 BF=B′F=2-a， ∴B′点的坐标为（，-2+2a）， ∴S=AB′= =2； （2）由（1）可知，S=2， ∵0≤a≤2， ∴当 a=2 时 S 有最小值，则 S=2=6（千米）