《课程学习最短路径问题》教案 【教学目标】 1知识与技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2过程与方法 通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力 3情感态度和价值观 体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想 【教学重点】 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题 【教学难点】 探索发现“最短路径”的方案,确定最短路径的作图及说理。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法 【课前准备】 教学课件 【课时安排】 1课时 【教学过程】 情境导入 展示一张公园常见的图片 【过渡】图片中的现象,想必大家都很常见吧,为什么大家会放弃本来存在的路,而去选择践踏 草坪呢? (学生回答) 【过渡】刚刚大家都回答了自己的答案,那么大家再来看一下这个问题。 课件展示问题 【过渡】根据我们之前的知识,我们知道,两点之间,线段最短。因此,就很容易得出答案。今 天我们就来学习一下实际问题中的最短路径问题。 新课教学 1.最短路径问题 【问题一】牧马人从A地出发,到一条笔直的河边饮马,然后到B地。那么牧马人到河边什么
《课程学习 最短路径问题》教案 【教学目标】 1.知识与技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2.过程与方法 通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。 3.情感态度和价值观 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。 【教学重点】 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 【教学难点】 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 一、情境导入 展示一张公园常见的图片。 【过渡】图片中的现象，想必大家都很常见吧，为什么大家会放弃本来存在的路，而去选择践踏 草坪呢？ （学生回答） 【过渡】刚刚大家都回答了自己的答案，那么大家再来看一下这个问题。 课件展示问题。 【过渡】根据我们之前的知识，我们知道，两点之间，线段最短。因此，就很容易得出答案。今 天我们就来学习一下实际问题中的最短路径问题。 二、新课教学 1．最短路径问题 【问题一】牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到 B 地。那么牧马人到河边什么
地方饮马可使他所走的路线全程最短? 雾 B 【过渡】这是一个实际问题,那么我们如何将其转化为数学问题呢? 将A,B两地抽象为两个点,将河1抽象为一条直线。 【过渡】现在,我们现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线1上的点.设C为 直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在1的什么位置时,AC与CB的和最小。 在解决这个问题的时候,我们先考虑一个问题,如果两个点位于一条线的两侧,如何在这条线上 找到一点,使这个点到A、B两点之间的距离最短呢? (学生讨论回答)两点之间,线段最短 【过渡】所以我们直接将两点连接,与线的交点即为我们所求的点。那么结合前边所学的轴对称 的问题,你能解答问题一吗? (学生讨论,并回答)。 【总结】作其中一个点关于直线的对称点,连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距 离的点的位置,最短距离就是AB′。 【过渡】在实际生活中,还有一类问题,即造桥选址问题,这个会不会也是一样的原理呢?我们 来看一下吧。 【问题二】如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A 到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)。 △ 【过渡】将这个问题数学化,将河的两岸看作两条平行线a、b,N为直线b上的一个动点,MN 垂直于a,交a于N点。当N在什么位置时,AMMN+NB最小?
地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 【过渡】这是一个实际问题，那么我们如何将其转化为数学问题呢？ 将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线。 【过渡】现在，我们现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线 l 上的点．设 C 为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小。 在解决这个问题的时候，我们先考虑一个问题，如果两个点位于一条线的两侧，如何在这条线上 找到一点，使这个点到 A、B 两点之间的距离最短呢？ （学生讨论回答）两点之间，线段最短。 【过渡】所以我们直接将两点连接，与线的交点即为我们所求的点。那么结合前边所学的轴对称 的问题，你能解答问题一吗？ （学生讨论，并回答）。 【总结】作其中一个点关于直线 l 的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距 离的点的位置，最短距离就是 AB＇。 【过渡】在实际生活中，还有一类问题，即造桥选址问题，这个会不会也是一样的原理呢？我们 来看一下吧。 【问题二】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)。 【过渡】将这个问题数学化，将河的两岸看作两条平行线 a、b，N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于 a，交 a 于 N 点。当 N 在什么位置时，AM+MN+NB 最小？
【过渡】从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短, 只要AM+BN最短即可。 【过渡】大家能按照问题一的解法来进行吗?将问题转化为当N在直线b的什么位置时,ANNB 最短? a B 进行证明。 【过渡】在解决了这两个问题之后,我们也可以对选择路径问题进行总结。 【总结】在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决 的问题,从而作出最短路径的选择 【知识巩固】1、如图,直线1是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距离分别为2 千米,5千米,欲在1上的某点M处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是(A A M
【过渡】从 A 到 B 要走的路线是 A→M→N→B，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路程最短， 只要 AM＋BN 最短即可。 【过渡】大家能按照问题一的解法来进行吗？将问题转化为当 N 在直线 b 的什么位置时，A’N+NB 最短？ 进行证明。 【过渡】在解决了这两个问题之后，我们也可以对选择路径问题进行总结。 【总结】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决 的问题，从而作出最短路径的选择。 【知识巩固】1、如图，直线 l 是一条河，P，Q 两地相距 8 千米，P，Q 两地到 l 的距离分别为 2 千米，5 千米，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ A ） A． B． C． D．
2.如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上 点,若AE=2,当EFCF取得最小值时,则∠ECF的度数为(C) D A.15°B.22.5°C.30°D.45° 3.已知∠MON=40°,P为∠MON内一点,A为OM上的点,B为ON上的点,问当△PAB的 周长取最小值时 (1)找到A、B点,保留作图痕迹 (2)求此时∠APB等于多少度?如果∠MON=0,∠APB又等于多少? 解析:(1)如图所示: M O (2)如图下图所示:连AP、BP M ∵点A′与点P关于直线OM对称,点B′与点P关于ON对称, ∴A′P⊥OM,B′P⊥ON,A′A=AP,B′B=BP。 ∠A=∠APA′,∠B′=∠BPB′。 ∵A′P⊥OM,B′P⊥ON,∴∠MON+∠CPD=180 ∠CPD=180°-40°=140°
2．如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上 一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ C ） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 3．已知∠MON=40°，P 为∠MON 内一点，A 为 OM 上的点，B 为 ON 上的点，问当△PAB 的 周长取最小值时。 （1）找到 A、B 点，保留作图痕迹； （2）求此时∠APB 等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB 又等于多少？ 解析：（1）如图所示： （2）如图下图所示：连 AP、BP。 ∵点 A′与点 P 关于直线 OM 对称，点 B′与点 P 关于 ON 对称， ∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP。 ∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′。 ∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠CPD=180°。 ∴∠CPD=180°-40°=140°
在△A′B′P中,由三角形的内角和定理可知:∠A+∠B′=180°-140°=40° ∠CPA+∠BPD=40°。∴∠APB=140°-40=100° 如果∠MON=0,则∠CPD=180°-0。 在△A′B′P中,由三角形的内角和定理可知:∠A+∠B′=0 ∴∠CPA+∠BPD=0 ∴∠APB=180°-20 4.如图,荆州护城河同在CC′处直角转弯,同宽均为5米,从A处到达B处,须经过两座桥 D′,EE′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西,南北方向的,如何架桥可使ADD′E EB的路程最短? 解析:作AF⊥CD,且AF=河宽,作BG⊥CE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E′、D′。 作DD′、EE′即为桥 G 证明:由作图法可知,AF∥DD′,AF=DD, 则四边形AFD′D为平行四边形 于是AD=FD 同理,BE=GE′, 由两点之间线段最短可知,GF最小: 即当桥建于如图所示位置时,ADD′E′EB最短。 【拓展提升】1、如图所示,在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食,一只小鱼正在A出,现在小 鱼从A处出发到到水面取一点食物后,要回到岸边的B洞口处,画出小鱼这一过程中游动的最短路 径(请保留作图中必要的辅助线)
在△A′B′P 中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°。 ∴∠CPA+∠BPD=40°。∴∠APB=140°-40=100°。 如果∠MON=θ，则∠CPD=180°-θ。 在△A′B′P 中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=θ。 ∴∠CPA+∠BPD=θ。 ∴∠APB=180°-2θ。 4．如图，荆州护城河同在 CC′处直角转弯，同宽均为 5 米，从 A 处到达 B 处，须经过两座桥： DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使 ADD′E′ EB 的路程最短？ 解析：作 AF⊥CD，且 AF=河宽，作 BG⊥CE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E′、D′。 作 DD′、EE′即为桥。 证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′， 则四边形 AFD′D 为平行四边形， 于是 AD=FD′， 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB 最短。 【拓展提升】1、如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在 A 出，现在小 鱼从 A 处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的 B 洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路 径（请保留作图中必要的辅助线）
水面 解:(1)作点A关于水面的对称点A′,连接A′B交水面于点D,连接AD 点A与点A′关于水面对称, AD=A D AD+BD=A B, 由两点之间线段最短可知,线段A′B的长即为AD+BD的最小值,故D点即为所求点,其最短 路径见下图 D 水面 B 2、如图,M,N分别为AC,BC边上的两定点,在AB上求一点P,使△PMN的周长最小,并 说明理由 解析:如图所示: C 作点N关于直线AB的对称点N′,连接MN′交直线AB于点P,则PN=P′N, 由于△PMN的周长=PM+PNMN,而MN是定值 故点当M、N′、P在一条直线上时,三角形的周长有最小值.最小值等于MNN′M。 【板书设计】 1、最短路径问题
解：（1）作点 A 关于水面的对称点 A′，连接 A′B 交水面于点 D，连接 AD， ∵点 A 与点 A′关于水面对称， ∴AD=A′D，∴AD+BD=A′B， 由两点之间线段最短可知，线段 A′B 的长即为 AD+BD 的最小值，故 D 点即为所求点，其最短 路径见下图： 2、如图，M，N 分别为 AC，BC 边上的两定点，在 AB 上求一点 P，使△PMN 的周长最小，并 说明理由。 解析：如图所示： 作点 N 关于直线 AB 的对称点 N′，连接 MN′交直线 AB 于点 P，则 PN=P′N， 由于△PMN 的周长=PM+PN+MN，而 MN 是定值， 故点当 M、N′、P 在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于 MN+N′M。 【板书设计】 1、最短路径问题
【教学反思】 授课的过程中应该环环相扣,要讲问题分解,化大为小,化难为易,化繁为简,降低难度,就像 是上台阶,一个个的台阶上。注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词,但是要让学生能从实际问 题中抽象出数学问题,本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题,要让学生转换成数学问题, 抽象出数学问题
【教学反思】 授课的过程中应该环环相扣，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像 是上台阶，一个个的台阶上。注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问 题中抽象出数学问题，本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题， 抽象出数学问题