线段垂直平分线的性质练习 、选择—基础知识运用 1.如图所示,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC=() E A.50°B.100°C.12 D.130° 2.如图,锐角三角形ABC中,直线1为BC的垂直平分线,射线m平分∠ABC,1与m相交于 P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP等于( A.24°B.30°C.32°D.42° 3.如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,BC=8cm,AC=5cm,则△ADC的周长为( A. 14cmB. 13cm C. lcm D. 9cm 4.已知点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,则() A. PA+PB>QA+QB B. PA+PB<QA+QB C. PA+PB=QA+QB D.不能确定 5.如图,有A、B、C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个 小区的距离相等,则超市应建在() C
线段垂直平分线的性质练习 一、选择——基础知识运用 1．如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，∠A=50°，则∠BDC=（ ） A．50° B．100° C．120° D．130° 2．如图，锐角三角形 ABC 中，直线 l 为 BC 的垂直平分线，射线 m 平分∠ABC，l 与 m 相交于 P 点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP 等于（ ） A．24° B．30° C．32° D．42° 3．如图，在△ABC 中，DE 是边 AB 的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC 的周长为（ ） A．14cmB．13cmC．11cm D．9cm 4．已知点 P 在线段 AB 的中垂线上，点 Q 在线段 AB 的中垂线外，则（ ） A．PA+PB＞QA+QB B．PA+PB＜QA+QB C．PA+PB=QA+QB D．不能确定 5．如图，有 A、B、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个 小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.AC、BC两边高线的交点处 B.AC、BC两边垂直平分线的交点处 C.AC、BC两边中线的交点处 D.∠A、∠B两内角平分线的交点处 6.已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是70cm 和48cm,则△ABC的腰和底边长分别为( A.24cm和22cm B.26cm和18cm C.22cm和26cm D.23cm和24cm 7.如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A点在MN的同一侧,BC交MN 于P点,则() A. BC>PC+AP B. BC90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平 分线交BC于点F。请找出图中相等的线段,并求△AEF的周长。 9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,判断∠CAF 与∠B的大小关系,并说明理由 B 10.如图,在△ABC中,BC=12,∠BAC=100°,AB的垂直平分线交BC于点E,交AB于点 D,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点M
A．AC、BC 两边高线的交点处 B．AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC 两边中线的交点处 D．∠A、∠B 两内角平分线的交点处 6．已知△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，△ABC 和△DBC 的周长分别是 70cm 和 48cm，则△ABC 的腰和底边长分别为（ ） A．24cm 和 22cm B．26cm 和 18cm C．22cm 和 26cm D．23cm 和 24cm 7．如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧，BC 交 MN 于 P 点，则（ ） A．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP 二、解答——知识提高运用 8．如图，在△ABC 中，BC=2，∠BAC＞90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，AC 的垂直平 分线交 BC 于点 F。请找出图中相等的线段，并求△AEF 的周长。 9．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于点 F，判断∠CAF 与∠B 的大小关系，并说明理由。 10．如图，在△ABC 中，BC=12，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AB 于点 D，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 M
(1)求△AEN的周长。 2)求∠EAN的度数。 (3)如果DE交MN于点P,猜想△PBC的形状 11.如图,在△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规作BC的垂直平分线1,交斜边AB于点O. (1)猜想:点O是AB的什么特殊点?证明你的猜想; (2)点O在AC的垂直平分线上吗?说明理由 (3)结合(1)(2),你有何发现 12.作图题:在∠ABC内找一点P,使它到∠ABC的两边的距离相等,并且到点A、C的距离 也相等.(写出作法,保留作图痕迹)
（1）求△AEN 的周长。 （2）求∠EAN 的度数。 （3）如果 DE 交 MN 于点 P，猜想△PBC 的形状。 11．如图，在△ABC 中，∠C=90°，用直尺和圆规作 BC 的垂直平分线 l，交斜边 AB 于点 O． （1）猜想：点 O 是 AB 的什么特殊点？证明你的猜想； （2）点 O 在 AC 的垂直平分线上吗？说明理由； （3）结合（1）（2），你有何发现？ 12．作图题：在∠ABC 内找一点 P，使它到∠ABC 的两边的距离相等，并且到点 A、C 的距离 也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
参考答案 、选择基础知识运用 1.【答案】B 【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线, DA=DC, ∴∠DCA=∠A=50°, ∠BDC=∠DCA+∠A=100°, 故选B。 2.【答案】C 【解析】∵BP平分∠ABC, ∠ABP=∠CBP, ∵直线l是线段BC的垂直平分线 ∴BP=CP, ∠CBP=∠BCP ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP, ∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=60°,∠ACP=21° 3∠ABP+24°+60°=180° 解得:∠ABP=32°, 故选C 3.【答案】B 【解析】∵DE是边AB的垂直平分线 BD=AD △ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm。 故选B。 4.【答案】D 【解析】点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,只能确定PA=PB,但是无 法确定PA+PB和QA+QB大小关系。故选D。 5.【答案】B 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,超市应建在边AC和BC的垂 直平分线上,故选B 6.【答案】B
参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】B 【解析】∵DE 是线段 AC 的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=50°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选 B。 2．【答案】C 【解析】∵BP 平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵直线 l 是线段 BC 的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴∠CBP=∠BCP， ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP， ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°， ∴3∠ABP+24°+60°=180°， 解得：∠ABP=32°， 故选 C。 3．【答案】B 【解析】∵DE 是边 AB 的垂直平分线 ∴BD=AD ∴△ADC 的周长为 AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm。 故选 B。 4．【答案】D 【解析】点 P 在线段 AB 的中垂线上，点 Q 在线段 AB 的中垂线外，只能确定 PA=PB，但是无 法确定 PA+PB 和 QA+QB 大小关系。故选 D。 5．【答案】B 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边 AC 和 BC 的垂 直平分线上，故选 B。 6．【答案】B
【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D, AD=BD △DBC的周长=BD+CD+BC= AD+CD+BC=AC+BC, △ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm, AB=70-48=22cm, ∴BC=48-22=26cm, 即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm 故选C。 7.【答案】C 【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB。 BC=PC+BP, ∴BC=PC+AP 故选C 、解答—知识提高运用 8.【答案】∵AB的垂直平分线交BC于点E, EA=EB AC的垂直平分线交BC于点F FA=FC △AEF的周长=AE+EF+FC=BE+EF+FC=BC=2 9.【答案】∠CAF=∠B 理由如下:∵EF垂直平分AD ∴FA=FD ∴∠FAD=∠FDA ∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠FDA=∠B+∠BAD ∵AD平分∠BAC ∠BAD=∠DAC, ∠CAF=∠B。 10.【答案】(1)∵DE是AB的垂直平分线 ∴AE=BE 同理,AN=NC
【解析】∵AB 的垂直平分线交 AC 于 D， ∴AD=BD， ∴△DBC 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC， ∵△ABC 和△DBC 的周长分别是 70cm 和 48cm， ∴AB=70-48=22cm， ∴BC=48-22=26cm， 即△ABC 的腰和底边长分别为 22cm 和 26cm。 故选 C。 7．【答案】C 【解析】∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB。 ∵BC=PC+BP， ∴BC=PC+AP。 故选 C。 二、解答——知识提高运用 8．【答案】∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 E， ∴EA=EB， ∵AC 的垂直平分线交 BC 于点 F． ∴FA=FC， ∴△AEF 的周长=AE+EF+FC=BE+EF+FC=BC=2。 9．【答案】∠CAF=∠B． 理由如下：∵EF 垂直平分 AD ∴FA=FD， ∴∠FAD=∠FDA， ∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∴∠CAF=∠B。 10．【答案】（1）∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AE=BE。 同理，AN=NC
△AEN的周长=AE+EN+AN=BE+ENNC=BC=12。 (2)∵AE=BE,AN=NC ∠B=∠BAE,∠C=∠CAN ∴∠BAC=100 ∴∠B+∠C=80 ∴∠BAE+∠NAC=80° ∠EAN=100°-80°=20° (3)如图所示:连接PA、PB、PC。 DP垂直平分AB 同理:PA=PC PB=PC △PBC为等腰三角形 1.【答案】(1)点O是AB的中点 A 证明:∵OE是线段AB的垂直平分线, ∴OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∠OCB+∠OCA=90°,∠OBC+∠A=90°, ∠OCA=∠A, OA=OC,又OC=OB, OA=OB, 点O是AB的中点
∴△AEN 的周长=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12。 （2）∵AE=BE，AN=NC， ∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN。 ∵∠BAC=100°， ∴∠B+∠C=80°。 ∴∠BAE+∠NAC=80°。 ∴∠EAN=100°-80°=20°； （3）如图所示：连接 PA、PB、PC。 ∵DP 垂直平分 AB， ∴PA=PB。 同理：PA=PC。 ∴PB=PC。 ∴△PBC 为等腰三角形。 11．【答案】（1）点 O 是 AB 的中点， 证明：∵OE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA=90°，∠OBC+∠A=90°， ∴∠OCA=∠A， ∴OA=OC，又 OC=OB， ∴OA=OB， ∴点 O 是 AB 的中点；
(2)∵OA=OC ∴点O在AC的垂直平分线上 (3)结合(1)(2)可知,直角三角形三边的垂直平分线相交于斜边的中点 12.【答案】①以B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交BC、AB于D、E两点 ②分别以D、E为圆心,以大于DE为半径画圆,两圆相交于F点; ③连接AF,则直线AF即为∠ABC的角平分线 ⑤连接AC,分别以A、C为圆心,以大于AC为半径画圆,两圆相交于F、H两点 ⑥连接FH交BF于点M,则M点即为所求 冰H F
（2）∵OA=OC， ∴点 O 在 AC 的垂直平分线上； （3）结合（1）（2）可知，直角三角形三边的垂直平分线相交于斜边的中点。 12．【答案】①以 B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 BC、AB 于 D、E 两点； ②分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 为半径画圆，两圆相交于 F 点； ③连接 AF，则直线 AF 即为∠ABC 的角平分线； ⑤连接 AC，分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 为半径画圆，两圆相交于 F、H 两点； ⑥连接 FH 交 BF 于点 M，则 M 点即为所求