南平市2017-2018学年第一学期九年级期末质量检测数学试题 (满分:150分;考试时间:120分钟) ★友情梮示:①所有答案都必须瑱在答题卡相应的位置上,答在本试卷上律无效; ②试题未要求对结果取近似值的,不得采取近似计算 、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个正确的 选项,请在答题卡的相应位置填涂) 1.在平面直角坐标系中,点M(1,-2)与点N关于原点对称,则点N的坐标为 A.(-2,1) B.(1,-2) C.(2,-1) D.(-1,2) 2.用配方法解一元二次方程x2+2x-1=0,可将方程配方为 A.(x+1)2=2 (x+1)2 C.(x-1)2=2D.(x-1)2=0 3.下列事件中,属于随机事件的有 ①任意画一个三角形,其内角和为360° ②投一枚骰子得到的点数是奇数 ③经过有交通信号灯的路口,遇到红灯; ④从日历本上任选一天为星期天 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 4.下列抛物线的顶点坐标为4,一3)的是 y=(x+4) )+3c.y=(x-4) y=(x-4) 5.有n支球队参加篮球比赛,共比赛了15场,每两个队之间只比赛一场,则下列方程中符 合题意的是 A.(n-1)=15B.n(n+1)=15C.m(n-1)=30D.n(n+)=30 6.某小组在“用频率估计概率”的实验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所 的折线图,那么符合这一结果的实验最有可能的是 A.袋子中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别 频率 0.25 从中随机地取出一个球是黄球 0.20 B.掷个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是60 C.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小宇随机出的是“剪刀 01002000500 D.掷枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面向上” (第6题图) 7.如果一个正多边形的中心角为60°,那么这个正多边形的边数是
南平市 2017-2018 学年第一学期九年级期末质量检测数学试题 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） ★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题只有一个正确的 选项，请在答题卡 ．．．的相应位置填涂） 1．在平面直角坐标系中，点 M（1，﹣2）与点 N 关于原点对称，则点 N 的坐标为 A．（﹣2， 1） B．（1，﹣2） C．（2，-1） D．（-1，2） 2．用配方法解一元二次方程 2 1 0 2 x + x − = ，可将方程配方为 A． ( 1) 2 2 x + = B．( 1) 0 2 x + = C．( 1) 2 2 x − = D．( 1) 0 2 x − = 3．下列事件中，属于随机事件的有 ①任意画一个三角形，其内角和为 360°； ②投一枚骰子得到的点数是奇数； ③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； ④从日历本上任选一天为星期天． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4．下列抛物线的顶点坐标为(4，－3)的是 A． ( 4) 3 2 y = x + − B． ( 4) 3 2 y = x + + C． ( 4) 3 2 y = x − − D． ( 4) 3 2 y = x − + 5．有 n 支球队参加篮球比赛，共比赛了 15 场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符 合题意的是 A． n(n −1) =15 B． n(n +1) =15 C． n(n −1) = 30 D．n(n +1) = 30 6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示 的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是 A．袋子中有1个红球和2 个黄球，它们只有颜色上的区别， 从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小宇随机出的是“剪刀” D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” 7．如果一个正多边形的中心角为 60°，那么这个正多边形的边数是 频率 1000 2000 3000 4000 5000 次数 0 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 （第 6 题图）
B.5 8.已知点A(x1,n),B(x,y)是反比例函数y=--的图象上的两点,若x0)过点(-1,0)和点 (0,-3),且顶点在第四象限,则a的取值范围 B (第15题图) 三、解谷题(本大题共9小题,共86分,在答题卡的
A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数 x y 1 = − 的图象上的两点，若 x1＜0＜x2， 则下列结论正确的是 A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线 于 D， 且 CO=CD，则∠PCA= A．30° B．45° C．60° D．67.5° 10．如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，∠ADB=∠ACB=90°， ∠BAC=30°，AB=4，AD=2 2 ，连接 DC，将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转一周，则线段 DC 长的取值范围是 A． 2 ≤DC≤ 4 B． 2 2 ≤DC≤ 4 C．2 2 − 2 ≤DC≤ 2 2 D．2 2 − 2 ≤DC≤ 2 2 + 2 二、填空题（本大题共 6 小题，每空 4 分，共 24 分．将 答案填入答题卡 ．．．的相应位置） 11．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 OABC，OA=2， OC=1， 写出一个函数 = (k 0) x k y ，使它的图象与矩形 OABC 的边 有两个公共点，这个函数的表达式可以为 （答案不唯一）． 12．已知关于 x 的方程 3 0 2 x + x + a = 有一个根为﹣2，a= ． 13．圆锥的底面半径为 7cm，母线长为 14cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 14．设 O 为△ABC 的内心，若∠A=48°，则∠BOC= °． 15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=4cm， 则球的半径为 cm． 16． 抛物线 y = ax + bx + c 2 （a>0）过点（﹣1，0）和点 （0，﹣3），且顶点在第四象限，则 a 的取值范围 是 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分．在答题卡 ．．．的 C A B O y x （第 11 题图） D C A O B P （第 9 题图） C D A B （第 10 题图） B C A E F D （第 15 题图）
相应位置作答) 解方程(每小题4分,共8分) (1)x2+2x=0 (2)3x2+2x-1=0 8.(8分)已知关于x的方程kx2+(k+3)x+3=0(k≠0) (1)求证:方程一定有两个实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数k的值 19.(8分)有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中有3个完全相同的小球,分别标有数字0 1和2:乙袋中有3个完全相同的小球,分别标有数字1,2和3,小明从甲袋中随机取 出1个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机取出1个小球,记录标有的数字为 这样确定了点M的坐标(x,y) (1)写出点M所有可能的坐标 (2)求点M在直线y=-x+3上的概率 20.(8分)如图,直线y=x+2与y轴交于点A,与反比例 函数y=-(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x 轴于点B,AO=2BO,求反比例函数的解析式 (第20题图) 的四个BD都在格点上将AC绕点用日 2.6分如图,:28的方形格中的个方形 A顺时针方向旋转得到△ADC,点C与点C为对应点.戽 (1)在正方形网格中确定D的位置,并画出 △ADC; (2)若边AB交边CD于点E,求AE的长 (第21题图) D 22.(10分)在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将矩形按 图示方式进行分割,其中正方形AEFG与正方形JKC H 全等,矩形GHD与矩形EBKL全等 K (1)当矩形LHF的面积为时,求AG的长 (2)当AG为何值时,矩形LJHF的面积最大 A D B 第22题 23.(10分)如图,点A,C,D,B在以O点为圆心, (第23题图)
相应位置作答） 17．解方程（每小题 4 分，共 8 分） （1） 2 0 2 x + x = （2） 3 2 1 0 2 x + x − = 18．（8 分）已知关于 x 的方程 ( 3) 3 0( 0) 2 kx + k + x + = k ． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 k 的值． 19．（8 分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 0， 1 和 2；乙袋中有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2 和 3，小明从甲袋中随机取 出 1 个小球，记录标有的数字为 x，再从乙袋中随机取出 1 个小球，记录标有的数字为 y， 这样确定了点 M 的坐标(x，y)． （1）写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M 在直线 y = −x + 3 上的概率． 20．（8 分）如图，直线 y=x+2 与 y 轴交于点 A，与反比例 函数 = (k 0) x k y 的图象交于点 C，过点 C 作 CB⊥x 轴于点 B，AO=2BO，求反比例函数的解析式． 21．（8 分）如图，12×12 的正方形网格中的每个小正方形 的边长都是 1，正方形的顶点叫做格点．矩形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 都在格点上，将△ADC 绕点 A 顺时针方向旋转得到△AD′C′，点 C 与点 C′为对应点． （1）在正方形网格中确定 D′的位置，并画出 △AD′C′； （2）若边 AB 交边 C′D′于点 E，求 AE 的长． 22．（10 分）在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形按 图示方式进行分割，其中正方形AEFG与正方形JKCI 全等，矩形 GHID 与矩形 EBKL 全等． （1）当矩形 LJHF 的面积为 4 3 时，求 AG 的长； （2）当 AG 为何值时，矩形 LJHF 的面积最大． 23．（10 分）如图，点 A，C，D，B 在以 O 点为圆心， C' B A C D （第 21 题图） L H I J K F E D B C A G （第 22 题图） 1） C A O B y x （第 20 题图） O A B C D E （第 23 题图）
OA长为半径的圆弧上,AC=CD=DB,AB交OC于点E.求证:AE=CD 24.(12分)如图,在等边△BCD中,DF⊥BC于点F,点A 为直线DF上一动点,以B为旋转中心,把BA顺时针方 向旋转60°至BE,连接EC (1)当点A在线段DF的延长线上时, ①求证:DA=CE ②判断∠DEC和∠EDC的数量关系,并说明理由;B (2)当∠DEC=45°时,连接AC,求∠BAC的度数 E (第24题图) 25.(14分)如图,在平面直角坐标系xy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 经过A(0,4),B(2,0),C(-2,0)三点 1)求二次函数的解析式 (2)在x轴上有一点D(-4,0),将二次函 数图象沿DA方向平移,使图象再次经过点B ①求平移后图象顶点E的坐标 ②求图象A,B两点间的部分扫过的面积 (第25题图) 南平市2017-2018学年第一学期九年级期末质量检测 数学试题参考答案及评分说明
OA 长为半径的圆弧上， AC=CD=DB，AB 交 OC 于点 E．求证：AE=CD． 24．（12 分）如图，在等边△BCD 中，DF⊥BC 于点 F，点 A 为直线 DF 上一动点，以 B 为旋转中心，把 BA 顺时针方 向旋转 60°至 BE，连接 EC． （1）当点 A 在线段 DF 的延长线上时， ①求证：DA=CE； ②判断∠DEC 和∠EDC 的数量关系，并说明理由； （2）当∠DEC=45°时，连接 AC，求∠BAC 的度数． 25．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，二次函数 y = ax +bx + c 2 （ a 0 ）的图象 经过 A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一点 D（-4，0），将二次函 数图象沿 DA 方向平移，使图象再次经过点 B． ①求平移后图象顶点 E 的坐标； ②求图象 A，B 两点间的部分扫过的面积． 南平市 2017-2018 学年第一学期九年级期末质量检测 数学试题参考答案及评分说明 D C B F A O E x y （第 25 题图） E D F B C A （第 24 题图）
说明: (1)解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数,全卷满分150分 (2)对于解答题,评卷时要坚持毎题评阅到底,勿因考生解答中岀现错误而中断本题的 评阅.当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的考试要求 可酌情给分,但原则上不超过后面应得分数的一半,如果有较严重的错误,就不给分 3)若考生的解法与本参考答案不同,可参照本参考答案的评分标准相应评分 (4)评分只给整数分.选择题和填空题不给中间分 选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) (答案不唯一,0<k<2的任何一个数k 13.180:14.114 15.2.5:16.0<a<3. 三、解答题(本大题共9小题,共86分) 17.(每小题4分,共8分) (1)解:x(x+2)=0… 0,x,=-2 (2)解:∵a=3,b=2,c=-1 ∴△=2-4×3×(-1)=16 2±√16-2±4 2分 6 分 18.(8分)(1)证明:∵Δ=(k+3)2-4.k·3=k2-6k+9 (k-3)2≥0 2分 ∴方程一定有两个实数根.…… …3分 (2)解:∵a=k,b=k+3,c=3 △=(k+3)2-4k3=(k-3)2
说明： （1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分 150 分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的 评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求， 可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分． （3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B； 9．D； 10．D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如： x y 1 = （答案不唯一，0＜k＜2 的任何一个数）； 12．2； 13．180； 14．114； 15．2.5； 16．0＜a＜3. 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17.（每小题 4 分，共 8 分） (1) 解： x(x + 2) = 0……………………………………………………………2 分 ∴ x1 = 0, x2 = −2.……………………………………………………4 分 （2）解： a = 3,b = 2,c = −1 ∴ 2 - 4 3 -1 16 2 = （ ）= ∴ 6 2 4 2 3 2 16 − = − x = …………………………………………2 分 ∴ , 1 3 1 x1 = x2 = − . …………………………………………………4 分 18．（8 分）（1）证明： ( 3) 4 3 6 9 2 2 = k + − k = k − k + 3) 0 2 =（k − ，……………………………………………………2 分 ∴方程一定有两个实数根. …………………………………………3 分 （2）解： a = k,b = k + 3,c = 3， 2 2 =（k + 3) − 4 k 3 = (k −3)
(k+3)±V(k k-3±(k-3 6分 方程的两个实数根都是整数 正整数k=1或3 19.(8分)解:(1) 方法一:列表: 2 3 0 (0,1) (0,2) (0,3) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 从表格中可知,点M坐标总共有九种可能情况:(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3) 方法二 甲袋: 乙袋 从树形图中可知,点M坐标总共有九种可能情况:(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(22),(2,3) 3分 (2)当x=0时,y=0+3=3 当x=1时,y=1+3=2 当x=2时,y=-2+3=1 …6分 由(1)可得点M坐标总共有九种可能情况,点M落在直线y=x+3上(记为事 31 件4)有3种情况,P()=9=3¨ 8分
k k k k k k x 2 3 ( 3) 2 ( 3) ( 3) 2 − − − = − + − = ， k x x 3 1, 1 = − 2 = − ，………………………………………………6 分 ∵方程的两个实数根都是整数， ∴正整数 k =1或3．…………………………………………………8 分 19．（8 分）解：（1） 方法一：列表： y x 1 2 3 0 (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 从表格中可知，点 M 坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3）， （2,1），（2,2），（2,3）．……………………………………………………………3 分 方法二： 从树形图中可知，点 M 坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2）， （1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．……………………………………………………………3 分 （2）当 x=0 时，y=-0+3=3， 当 x=1 时，y=-1+3=2， 当 x=2 时，y=-2+3=1，……………………………………………………6 分 由（1）可得点 M 坐标总共有九种可能情况，点 M 落在直线 y=-x+3 上（记为事 件 A）有 3 种情况．∴P(A) 3 1 9 3 = = ．…………………………………………8 分 0 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 甲袋： 乙袋：
20.(8分)解:当x=0时,y=2,∴A(0,2), 2分 ∴AO=2,∵AO=2BO,∴BO=1 4分 当x=1时,y=1+2=3,∴C(1,3), 6分 把C(1,3)代入 k 解得:k=3 反比例函数的解析式为:y== 8分 21.(8分)解:(1)准确画出图形;……… 3分 (第21题答题图) (2)∵将△ADC绕点A顺时针方向旋转得到△ADC,点C与点C为对应点, △ADC≌△ADC, AC=AC,AD=AD=5,CD=CD=10,∠ADC=∠ADC=90°,∠ACD=∠ACD AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∵AB⊥CC,AC=AC,∴∠BAC=∠CAB ∴∠ACD=∠CAB,∴CE=AE …5分 RCBE中,C"B2+BE2=CE2,设AE=x,则B 7分 解得 答:AE的长为 8分 22.(10分)解:(1)∵正方形AEFG和正方形KC全等,矩形GHD和矩形EB凡L全等 i AG=x, DG=6-x, BE=8-x, FL=x(6-x)=2x6, L/=8-2x 方法1:∵S矩形∥F=FL·LJ 2分 AG=或AG 4分
20．（8 分）解： 当 x=0 时，y=2，∴A(0，2)，…………………………………2 分 ∴AO=2，∵AO=2BO，∴BO=1，………………………………………………4 分 当 x=1 时，y=1+2=3，∴C(1，3)， ……………………………………………6 分 把 C(1，3)代入 x k y = ，解得： k = 3 x y 3 反比例函数的解析式为 : = …………………………………………………8 分 21．（8 分）解：（1）准确画出图形；…………………………………………………3 分 （2）∵将△ADC 绕点 A 顺时针方向旋转得到△AD′C′，点 C 与点 C′为对应点， ∴△ADC≌△AD′C′， ∴AC=AC′，AD′＝AD=5，CD′＝CD=10，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，∠AC′D′＝∠ACD， ∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AB⊥C C′，AC=AC′，∴∠BAC＝∠C′AB， ∴∠AC′D′＝∠C′AB，∴C′E＝AE．…………………………………………………5 分 2 2 2 在RtCBE中，CB + BE =CE ，设AE = x,则BE = AB- AE =10 - x， 2 2 2 5 +（10- x) = x ，……………………………………………………………………7 分 4 25 解得 : x = . 4 25 答：AE的长为 ……………………………………………………………………8 分 22．（10 分）解：（1） 正方形 AEFG 和正方形 JKCI 全等，矩形 GHID 和矩形 EBKL 全等， 设 AG=x，DG=6-x ，BE=8-x，FL=x-(6-x)=2x-6，LJ=8-2x， 方法 1： S FL LJ LIHF 矩形 = ， ∴ 4 3 (2x − 6)(8 − 2x) = ………………………………………………………………2 分 ∴ 4 15 , 4 13 x1 = x2 = ， AG= 4 13 或 AG= 4 15 ．………………………………………4 分 E D' C' B A C D （第 21 题答题图）
方法2:∵S矩 形LHF 矩形ABCD-2S 矩形DGH E方形AEFG 二 2(8-x)(6-x), 4 (2)设矩形LJHF的面积为S 6分 4x2+28x-4 8分 S有最大值 当AG=7时,矩形LJHF的面积最大.…… …10分 23.(10分)证明:方法一:连接OC,OD, ∵.∠AOC=∠COD=∠BOD, 分 ∠COB=∠COD+∠DOB=2∠COD=2∠AOC, ∠COB=2CAE,∴∠AOC=∠CAE,… 4分 在△AOC中,OA=OC, 180-∠AOC ∠ACO =90°<OC ,…………5分 在AACB中,∠AEC=180-∠CAE-∠ACE 180-∠AOC-(90°<4OC =90°.2CC (第23题答题图) 6分 2 ∠ACE=∠AEC,…… 7分 8分 AC=CD AE=CD ……………10分 方法二:连接OC,OD, ∵AC=CD=DB,∴弧AC=弧CD=弧DB, ∠AOC=∠COD=∠BOD, ∠COB=∠COD+∠DOB=2∠COD=2∠AOC, ∵∠COB=2∠CAE,∴∠AOC=∠CAE,…… ∴∠CAO=∠CAE+∠EAO,∠AEC=∠AOC+∠EAO ∠CAO=∠AEC, 6分
方法 2： LIHF ABCD DGHI AEFG S矩形 = S矩形 − 2S矩形 − 2S正方形 48 2 2(8 )(6 ) 4 3 2 = − x − − x − x ，…………………………………………………2 分 ∴ 4 15 , 4 13 x1 = x2 = ， AG= 4 13 或 AG= 4 15 ．………………………………………4 分 （2）设矩形 LJHF 的面积为 S， S = (2x − 6)(8 − 2x) …………………………………………………………………6 分 4 28 48 2 = − x + x − ) 1 2 7 4( 2 = − x − + …………………………………………………………………8 分 a = −4 0， S 有最大值， 当 AG= 2 7 时，矩形 LJHF 的面积最大．………………………………………10 分 23．（10 分）证明：方法一：连接 OC，OD， ∵AC=CD=DB，∴ 弧AC =弧CD =弧DB， ∴ AOC = COD = BOD，……………………………………………………2 分 ∴ COB =COD+DOB = 2COD = 2AOC ， ∵ COB = 2CAE，∴ AOC = CAE，………………………………………4 分 在AOC中，OA = OC ， 2 90 - 2 180 - AOC AOC ACO = = ，…………5 分 ACE AEC = CAE ACE 在 中， 180 - - ) 2 180 (90 AOC AOC = − − − 2 90 - AOC = ，……………………………………………………………………6 分 ACE = AEC， ………………………………………………………………7 分 AC = AE， ……………………………………………………………………8 分 AC =CD，AE =CD．………………………………………………………10 分 方法二：连接 OC，OD， ∵AC=CD=DB，∴ 弧AC =弧CD =弧DB， ∴ AOC = COD = BOD，……………………………………………………2 分 ∴ COB =COD+DOB = 2COD = 2AOC ， ∵ COB = 2CAE，∴ AOC = CAE，………………………………………4 分 ∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO， ∴∠CAO=∠AEC，…………………………………………………………………6 分 O A B C D E （第 23 题答题图）
在△AOC中,OA=OC ∴∠ACO=∠CAO ∠ACO=∠AEC,∴AC=AE, 8分 AC=CD,∴AE=CD………… …10分 方法三:连接AD,OC,OD, AC=DB,∴弧AC=弧BD ∴∠ADC=∠DAB,…………… …2分 ∴CD∥AB, ∠AEC∠DCO, 4分 ∵AC=CD,AO=DO ∠ACO=∠DCO,… 6分 ∠ACO=∠AEC,∴AC=AE,……… 8分 ∵AC=CD,∴AE=CD ………………10分 24.(12分)(1)①证明:∵把BA顺时针方向旋转60°至BE, BA=BE,∠ABE=60°,… 在等边△BCD中, DB=BC,∠DBC=60° ∠DBA=∠DBC+∠FBA=60°+∠FBA, ∠CBE=60°+∠FBA ∠DBA=∠CBE 分B ∴△BAD≌△BEC ∴DA=CE; …3分 ②判断:∠DEC+∠EDC=90° …4分E DB=DC,DA⊥BC ∠BDA=-∠BDC=30°, (第24题答题图1) ∵△BAD≌△BEC ∴∠BCE=∠BDA=30°,…………… 5分 在等边△BCD中,∠BCD=60°, ∠ACE=∠BCE+∠BCD=90°,∴∠DEC+∠EDC=90° 6分 (2)分三种情况考虑: ①当点A在线段DF的延长线上时(如图1) 由(1)可得,△DCE为直角三角形,∴∠DCE=90 当∠DEC=45时,∠EDC=90-∠DEC=45, ∠EDC=∠DEC,∴CD=CE 由(1)得DA=CE,∴CD=DA,在等边△DBC中,BD=CD,∴BD=DA=CD 60°,∵DA⊥BC
在AOC中，OA = OC ， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠ACO=∠AEC，AC = AE， ………………………………………………8 分 AC =CD，AE =CD…………………………………………………………10 分 方法三：连接 AD，OC，OD， ∵AC=DB，∴弧 AC=弧 BD， ∴∠ADC=∠DAB，…………………………………………………………………2 分 ∴CD∥AB， ∴∠AEC=∠DCO，…………………………………………………………………4 分 ∵AC=CD，AO=DO， ∴CO⊥AD， ∴∠ACO=∠DCO，…………………………………………………………………6 分 ∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，……………………………………………………8 分 ∵AC=CD，∴AE=CD．……………………………………………………………10 分 24．（12 分）（1）①证明：∵把 BA 顺时针方向旋转 60°至 BE， ∴ BA = BE，ABE = 60°， ………………………………1 分 在等边△BCD 中， DB = BC，DBC = 60 DBA = DBC +FBA = 60+FBA， CBE = 60+FBA， DBA =CBE，…………………………………………2 分 ∴△BAD≌△BEC， ∴DA=CE；…………………………………………………3 分 ②判断：∠DEC+∠EDC=90°．…………………………4 分 DB = DC ， DA ⊥ BC ， = = 30 2 1 BDA BDC ， ∵△BAD≌△BEC， ∴∠BCE=∠BDA=30°，……………………………………………………………5 分 在等边△BCD 中，∠BCD=60°， ∴∠ACE=∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC=90°．……………………6 分 （2）分三种情况考虑： ①当点 A 在线段 DF 的延长线上时（如图 1）， 由（1）可得， DCE为直角三角形， DCE = 90 ， 当DEC = 45 时，EDC = 90 −DEC = 45 ， EDC = DEC，CD =CE， 由（1）得 DA=CE，∴CD=DA，在等边DBC中，BD = CD ，BD = DA =CD BDC = 60 ，DA ⊥ BC ， E D F B C A （第 24 题答题图 1）
∠BDA=∠CDA=∠BDC=30°, 分 在ABDA中,DB=DA,,∠BAD=180-2BD4=7 在△DAC中,DA=DC,∴∠DAC180°-∠ADC=75 ∠BAC=∠BAD+∠DAC=75+75=150° ………8分 ②当点A在线段DF上时(如图2), 以B为旋转中心,把BA顺时针方向旋转60至BE, BA=BE,∠ABE=60°, 在等边ABDC中,BD=BC,∠DBC=60°, ∠DBC=∠ABE ∠DBC-∠ABC=∠ABE-∠ABC, 即∠DBA=∠EBC △DBA≌CBE DA=CE, 9分 在 RIADFO中,∠DFC=90° DE<C DA<DF, DA=CE ∴CE<DC (第24题答题图2) 由②可知△DCE为直角三角形, ∴∠DEC≠45°.………… ……10分 回当点A在线段FD的延长线上时(如图3) 同第②种情况可得△DBA≌ACBE DA=CE,∠ADB=∠ECB, 在等边△BDC中,∠BDC=∠BCD=60°, DA⊥BC, ∠BDF=∠CDF=∠BDC=30°, ∠ADB=180-∠BDF=150° ∠ECB=∠ADB=150°, E ∠DCE=∠ECB-∠BCD=90° 当∠DEC=45时,∠EDC=90°-∠DEC=45, ∠EDC=∠DEC, (第24题答题图3) CD=CE ∴AD=CD=BD,… 11分 ∠ADB=∠ADC=150
= = = 30 2 1 BDA CDA BDC ， ……………………………………………7 分 在BDA中，DB = DA， = = 75 2 180 - BDA BAD ， 在DAC中，DA = DC ， = = 75 2 180 - ADC DAC ， BAC = BAD + DAC = 75 + 75 =150 ． …………………………………8 分 ②当点 A 在线段 DF 上时（如图 2）， 以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转 至BE 60 ， BA = BE，ABE = 60 ， 在等边BDC中，BD = BC，DBC = 60 ， DBC = ABE ， DBC -ABC = ABE -ABC ， 即DBA = EBC ， DBA ≌ CBE， DA =CE ， …………………………9 分 在RtDFC中，DFC = 90 ， DF ＜ DC ， ∵DA＜DF，DA=CE， ∴CE＜DC， 由②可知 DCE为直角三角形， ∴∠DEC≠45°． ……………………………10 分 ③当点 A 在线段 FD 的延长线上时（如图 3）， 同第②种情况可得 DBA ≌ CBE， DA =CE，ADB = ECB， 在等边BDC中，BDC = BCD = 60 ， DA ⊥ BC ， 30 2 1 BDF = CDF = BDC = ， =180 − =150 ADB BDF ， ECB = ADB =150 ， DCE = ECB − BCD = 90 ， 当DEC = 45 时，EDC = 90 −DEC = 45 ， EDC = DEC， CD =CE， ∴AD=CD=BD，……………………………………………11 分 ∵ ADB = ADC =150 ， E D B F C A （第 24 题答题图 3） E D B F C A （第 24 题答题图 2）