初三数学 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 x y
二次函数开口方向对称轴顶点坐标 y=2(X+3)2+5 向上直线 x=3(-3,5) y=-3(X-1)2-2 向下直线x=1(1, 3 y=4(×3)2+7向上直线x=3|(3,7) y=-5(2-x)2-6 向下直线x=2(2, 能否说出二次函数y=x2-6x+21 图象主要的特点呢?
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 对称轴 顶点坐标 y = -3(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6 向上 ( 1 , - 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , - 6 ) 向上 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 ( -3, 5 ) 图象主要的特点呢？ 能否说出二次函数 6 21 2 1 2 y = x − x +
例1求抛物线=-x2-3x-,的对称 轴和顶点坐标,并画图。 解:将 3x-配方得 2 y=--(x2+6x+5) 2 2(++3y3 =-=(x+3)+2 2 所以顶点坐标是(-3,2)对称轴是x=-3
轴和顶点坐标，并画图。 例 求抛物线 的对称 2 5 3 2 1 1 2 y = − x − x − 解: ( 6 5) 2 1 2 y = − x + x + ( 3) 4 2 1 2 = − x + − ( 3) 2 2 1 2 = − x + + 所以,顶点坐标是(-3,2),对称轴是x= -3． 将 配方得： 2 5 3 2 1 2 − x − x −
X 6|-5|-4|-3|-2-10 50 21.502.5 1.5 y 注意:列表时自变量 取值要均匀和刚称。 123 X 2 5 3x 2
( 3) 2 2 1 2 y = − x + + 2 1 1 2 3 0 x -5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 y 2 5 3 2 1 2 y = − x − x − x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … -2.5 0 2 1.5 0 -…2.5 1.5 注意：列表时自变量 取值要均匀和对称
用配方法把下列函数化成y=a(x-h)2+k的形式, 指出其图象的开口方向对称轴和顶点坐标不画图) (1)y=x2-5x (2)y=x2+6x-10 3)y=-2x-3x+4(4)y=2x2+4x-7 解 5、25对称轴 5 525 (1)y=(x :x=,顶点坐标: 2 4 2 24 (2)y=(x+3)2-19对称轴:x=-3,顶点坐标:(3,-19 3、,41 341 (3)y=-2(x+)2+ 8 对称轴:x=-,顶点坐标 48 4)y=2(x+1)2-9对称轴:x=-1,顶点坐标:(1-9
解： 4 25 ) 2 5 (1) ( 2 y = x − − (2) ( 3) 19 2 y = x + − 8 41 ) 4 3 (3) 2( 2 y = − x + + 对称轴： 顶点坐标：（ ， ） 4 25 2 5 , 2 5 x = − 对称轴：x = −3,顶点坐标：（− 3，−19） 对称轴： 顶点坐标：（ ， ） 8 41 4 3 , 4 3 x = − − (4) y = 2(x +1) 2 − 9 对称轴：x = −1,顶点坐标：（−1，− 9） (3) 2 3 4 (4) 2 4 7 (1) 5 (2) 6 10 : 2 ( ) 2 2 2 2 2 = − − + = + − = − = + − = − + y x x y x x y x x y x x y a x h k 指出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标（不画图） 、用配方法把下列函数化 成 的形式
二次函数的图泉 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物 线y=ax2上下或左右平移得到 y=ax+bx+C y=a(x+ 2a Aac-b 4a 对称轴:x=-2 顶点坐标:( 4ac-b2 2a,4a 提二配三变形,一般式化为顶点式 左加右减自变量,上加下减常数项
.二次函数的图象 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物 线y=ax2上下或左右平移得到 一提二配三变形,一般式化为顶点式 左加右减自变量,上加下减常数项 y=ax2+bx+c y=a(x+ )2+ b 2a 4ac-b2 4a 对称轴： x= – b 2a 顶点坐标：（– ， ） b 2a 4ac-b2 4a
二次函数的图家 会用描点法画抛物线y=ax2+bx+c 顶点(点,4y (-3) 0,C) Ax2,O) X
会用描点法画抛物线y=ax2+bx+c y x • 顶点 ) 4 4 , 2 ( 2 a ac b a b − − • (x1 ,0) (x2 ,0) • •(0,c) • ( ,c) a b − .二次函数的图象
例题探究 3:已知函数y=-0.5x2-7x+75 (〕求函数的顶点票对疆以及图像与坐标轴的交点坐标,并画出函数 的大致图像; 解:(1)∵a=-05,b=-7,c=75; 4ac-b 2a 1,4 =32 所以,函数的顶点坐标是(—7,32);对称轴是直线x=-7。 15 由x=0,得y=2 即图像与y轴的交点坐标是(0,75) 由y=0,得0.5x2-7x+75=0, 解得x1=—15,x2=1 ∴图像与x轴的交点是(-15,0),(1,0)
太高兴，我懂啦！ 例题探究 3：已知函数y=－0.5x 2－7x＋7.5 (1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数 的大致图像； 解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5;
所以函数y=-05x2-7x+75的大致图像如图: 2)自变量X在什么范围内时,y随X的增大而增大? 何时y随X的增大而减小?并求出函教的最大值或 7(,32 最小值。 解:(2)由右图可知, 当x≤一7时,y随x的增大而增大 075 当x-7时,y随x的增大而减小; (-15;0 (1}0)X 当x=-7时,函数有最大值32。 s105o1510 X=-7
所以函数y=－0.5x 2－7x＋7.5的大致图像如图： x=－7 20 x y O 10 10 －10 30 5 －10 －20－15 －5 (－7，32) (0，7.5) (－15，0) (1，0) ⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？ 何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或 最小值。 解： ⑵由右图可知， 当x≤－7时， y随x 的增大而增大； 当x≥－7 时，y 随x的增大而减小； 当x＝－7时，函数有最大值32
课内练习 1、求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值: (1)y=2x2-8x+1; (2)y=-3x2-5X+1 解:()y=2x2-8x+1=2(x-2)2-7 当x=2时,y有最小值,为—7 配方法 (2)∵a=-3>0且b=-5,c=1; b_54acb237 2 4a 12 故当X=时,y有最值, 大 37
课内练习 1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值： ⑴ y=2x 2－8x＋1； ⑵ y=－3x 2－5x＋1 解： ⑴ ∵y=2x 2－8x＋1＝2(x－2) 2－7 ∴当x=2时,y有最小值,为－7 ⑵ ∵a=－3＞0且b=－5,c=1; － 5 6 37 12 故:当x= －时，y有最 值，为 5 6 37 大 12 配方法 公式法