22.2.1配方法 第1课时直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个 元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”——一转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程 然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1.重点:运用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学 思想 2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程 教学过程 、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空 (x-)2;(2)9x2+12x+ (3x+)2 3)x2+px+=(x+ 问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边 向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后 △PBQ的面积等于8cm2? A P B 老师点评 问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42:(3)(2)2P 问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x,BQ=2x 依题意,得 =8 根据平方根的意义,得x=±2√2即x=√2,x=2√2 可以验证,2和-2√2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值 所以2√2秒后△PBQ的面积等于8cm 、探索新知 上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2√2,如果x换元为 2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
22.2.1 配方法 第 1 课时 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一 元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax 2 +c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex+f）2 +c=0 型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2 =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学 思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x 2 =n，知识迁移到根据平方根的意义解 形如（x+m）2 =n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1．填空 （1）x 2 -8x+____=（x-___）2；（2）9x2 +12x+_____=（3x+___）2； （3）x 2 +px+_____=（x+______） 2． 问题 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边 向点 B 以 1cm/s•的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，•P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后 △PBQ 的面积等于 8cm 2？ 老师点评： 问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2 p ）2 2 p ． 问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1 2 x·2x=8 x2 =8 根据平方根的意义，得 x=±2 2 即 x1=2 2 ，x2=-2 2 可以验证，2 2 和-2 2 都是方程 1 2 x·2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 2 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm 2． 二、探索新知 上面我们已经讲了 x 2 =8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±2 2 ，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2 =8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ B C A Q www.czsx.com.cn P
(学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t1变为上面的x,那么2t1=±2√2 即2t1=22,2t+1=22 方程的两根为t=-1,t=√ 例1:解方程:x2+4x+4=1 分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=±1 即x+2=1 所以,方程的两根x1=-1,x2=-3 例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m,求每年人均住房 面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10 (1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为ⅹ 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)=1.44 直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x=0.2=20%,x2=2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20%, (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想 称为“降次转化思想 三、巩固练习 教材P35练习 四、应用拓展 例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二 三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是 (1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x) 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得 3 (1+x+-)2=2.56,即(x+2)2=2.56 x+=±1.6,即3 1.6,x+-=-1.6 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数
（学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2 2 即 2t+1=2 2 ，2t+1=-2 2 方程的两根为 t1= 2 - 1 2 ，t2=- 2 - 1 2 例 1：解方程：x 2 +4x+4=1 分析：很清楚，x 2 +4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2 =1． 解：由已知，得：（x+2）2 =1 直接开平方，得：x+2=±1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m，求每年人均住房 面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为 x． 一年后人均住房面积就应该是 10+•10x=10 （1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2 =14.4 （1+x） 2 =1.44 直接开平方，得 1+x=±1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 我们把这种思想 称为“降次转化思想”． 三、巩固练习 教材 P36 练习． 四、应用拓展 例 3．某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、 三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x， 那么二月份的营业额就应该是 （1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x． 那么 1+（1+x）+（1+x） 2 =3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+ 1 2 ）2 =2.56，即（x+ 3 2 ）2 =2．56 x+ 3 2 =±1.6，即 x+ 3 2 =1.6，x+ 3 2 =-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握 由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=√p转化为应用直接开平方法解形 如(mx+)2=p(p≥0,那么mm士√V尸,达到降次转化之目的 六、布置作业 1.教材P5复习巩固1、2. 2.选用作业设计: 、选择题 1.若x2-4xtp=(x+q)2,那么p、q的值分别是() A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2 4,q=-2 2.方程3x2+9=0的根为() C.±3D.无实数根 3.用配方法解方程x2--x+1=0正确的解法是() B.(x--)2=--,原方程无解 √ ,X1== 5 二、填空题 1.若8x2-16=0,则x的值是 2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是 3.如果a、b为实数,满足√3a+4+b2-12b+:36=0,那么ab的值是 三、综合提高题 1.解关于x的方程(x+m)2=n 2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围 成,木栏长40m (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗 在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个 矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%． 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x 2 =p（p≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解形 如（mx+n）2 =p（p≥0），那么 mx+n=± p ，达到降次转化之目的． 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 1、2． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．若 x 2 -4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程 3x2 +9=0 的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 3．用配方法解方程 x 2 - 2 3 x+1=0 正确的解法是（ ）． A．（x- 1 3 ） 2 = 8 9 ，x= 1 3 ± 2 2 3 B．（x- 1 3 ）2 =- 8 9 ，原方程无解 C．（x- 2 3 ） 2 = 5 9 ，x1= 2 3 + 5 3 ，x2= 2 5 3 − D．（x- 2 3 ）2 =1，x1= 5 3 ，x2=- 1 3 二、填空题 1．若 8x2 -16=0，则 x 的值是_________． 2．如果方程 2（x-3） 2 =72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果 a、b 为实数，满足 3 4 a + +b 2 -12b+36=0，那么 ab 的值是_______． 三、综合提高题 1．解关于 x 的方程（x+m） 2 =n． 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m）， 另三边用木栏围 成，木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m 2 吗？能达到 200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个 矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框， 并说明你制作的理由吗？