22.2二次函数与一元二次方程 学习目标: 1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 2.掌握一元二次方程(组)的图象解法 重点、难点 1.重点:探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 2.难点:掌握一元二次方程(组)的图象解法 导学过程:阅读教材P16一19,完成课前预习 【课前预习】 1:准备知识 (1)一元二次方程根的情况: (2)一次函数与一元一次方程的关系: 2:探究1 以40米/秒的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将 是一条抛物线。如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h米与飞行时间t秒之间具 有关系h=201-512。考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15米?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20米?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5米?为什么? (4)球从飞出到落地需要用多少时间 探究2给出三个二次函数:(1)y=x2-3x+2:(2)y=x2-x+1 (3)y=x2-2x+1.它们的图象分别为
22.2 二次函数与一元二次方程 学习目标： 1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 2.掌握一元二次方程(组)的图象解法． 重点、难点 1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法． 导学过程：阅读教材 P16 — 19 , 完成课前预习 【课前预习】 1：准备知识 （1） 一元二次方程根的情况： （2）一次函数与一元一次方程的关系： 2：探究 1 以 40 米/秒的速度将小球沿与地面成 300角的方向击出时，球的飞行路线将 是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h 米与飞行时间 t 秒之间具 有关系 2 h = 20t − 5t 。考虑以下问题： （1） 球的飞行高度能否达到 15 米？如能，需要多少飞行时间？ （2） 球的飞行高度能否达到 20 米？如能，需要多少飞行时间？ （3） 球的飞行高度能否达到 20.5 米？为什么？ （4） 球从飞出到落地需要用多少时间？ 探究 2 给出三个二次函数：（1） 3 2 2 y = x − x + ；（2） 1 2 y = x − x + ； （3） 2 1 2 y = x − x + ．它们的图象分别为
y=2-3x+ 观察图象与x轴的交点个数,分别是个、个、个.你知道图象 与x轴的交点个数与什么有关吗? 另外,能否利用二次函数y=ax2+bx+c的图象寻找方程 ax2+bx+c=0(a≠0),不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c0?x取什么值时,函数值y<0? 例2.(1)已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3,当k 时,抛物线
观察图象与 x 轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象 与 x 轴的交点个数与什么有关吗？ 另外，能否利用二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象寻找方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a ，不等式 0( 0) 2 ax + bx + c a 或 0( 0) 2 ax + bx + c a 的 解？ 3：结论 一般的，从二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象可知， （1）如果抛物线 y = ax + bx + c 2 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0,那么 当 x= 时，函数的值是 0，因此 x= 就是方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a 的一个根。 （2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况： 实数根， 有 的实数根，有 的实数根。 【课堂活动】 活动 1：预习反馈 活动 2：典型例题 例 1．画出函数 2 3 2 y = x − x − 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？ （2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 2 3 0 2 x − x − = 有什么关系？ （3）x 取什么值时，函数值 y>0？x 取什么值时，函数值 y<0？ 例 2．（1）已知抛物线 2( 1) 4 2 3 2 y = k + x + kx+ k − ，当 k= 时，抛物线
与x轴相交于两点 (2)已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上,则 (3)已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(a,0),B(B,0), 且a2+B2=17,则k的值是 例3.利用函数的图象,求下列方程(组)的解: (1) 4x+3=0 (2) 活动3:随堂训练 1.已知二次函数y=x2-3x-4的图象如图, 则方程x2-3x-4=0的解是 不等式x2-3x-4>0的解集是 不等式x2-3x-4<0的解集是 2抛物线y=3x2-2x-5与y轴的交点坐标为 与x轴的交点坐标为 3.已知方程2x2-3x-5=0的两根是3,-1,则二次函数y=2x2-3x-5与x轴 的两个交点间的距离为 4.不论自变量x取什么数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,则m 的取值范围为 活动4:课堂小结 【课后巩固】
与 x 轴相交于两点． （2）已知二次函数 ( 1) 2 3 2 2 y = a − x + ax + a − 的图象的最低点在 x 轴上，则 a= ． （3）已知抛物线 ( 1) 3 2 2 y = x − k − x − k − 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0）， 且 17 2 2 + = ，则 k 的值是 ． 例 3．利用函数的图象，求下列方程(组)的解： (1) 4 3 0 2 x − x + = ； （2） = − = − + y x x y x 2 3 3 活动 3：随堂训练 1．已知二次函数 3 4 2 y = x − x − 的图象如图， 则方程 3 4 0 2 x − x − = 的解是 ， 不等式 3 4 0 2 x − x − 的解集是 ， 不等式 3 4 0 2 x − x − 的解集是 ． 2．抛物线 3 2 5 2 y = x − x − 与y轴的交点坐标为 ， 与 x 轴的交点坐标为 ． 3．已知方程 2 3 5 0 2 x − x − = 的两根是 2 5 ，-1，则二次函数 2 3 5 2 y = x − x − 与 x 轴 的两个交点间的距离为 ． 4．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2x − 6x + m 2 的函数值总是正值，则 m 的取值范围为 活动 4：课堂小结 【课后巩固】
1.已知二次函数y=x2+x-6,画出此抛物线的图象,根据图象回答下列问题 (1)方程x2+x-6=0的解是什么? (2)x取什么值时,函数值大于0?x取什么值时,函数值小于0? 2.已知二次函数y=2x2-4x-6, 求:(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出草图 (2)以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积 (3)x为何值时,y>0 3.已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1, (1)试说明:不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点; (2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧 (3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴? 4.你能否画出适当的函数图象,求方程x2=-x+2的解?
1．已知二次函数 6 2 y = x + x − ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程 6 0 2 x + x − = 的解是什么？ （2）x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数值小于 0？ 2．已知二次函数 2 4 6 2 y = x − x − ， 求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与 x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x 为何值时，y＞0． 3．已知二次函数 ( 2) 1 2 y = −x + m − x + m + ， （1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴？ 4．你能否画出适当的函数图象，求方程 2 2 x = −x + 的解？