第2课时商品利润最大问题 学习目标 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,了解数学的应用价值 2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最 小值 学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润 学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润.特别是把握好自变量 的取值范围对最值的影响。 学习过程 情景导学: Ⅰ、问题ε某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调査,销售量与销售单 满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低 元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题1、总利润= 单件利润= 2、在这个问题中有那些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? 3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元,总利润为y元,此时y与x之间的函数关系式 是 ,化为一般式 。这里y是x的函 数。现在求最大利润,实质就是求此二次函数的最值,你会求吗?试试看。 二、做一做: 例题1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销 售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调査发现,如果每件 衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件 (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多? 例题2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高 产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)在上述问题中, 种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多? (3)增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上? 三、训练: 1.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元 其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少?
第 2 课时 商品利润最大问题 学习目标: 1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。 2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最 小值。 学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。 学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量 的取值范围对最值的影响。 学习过程: 一、情景导学： 1、问题：某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查,销售量与销售单 价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200 件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题 1、总利润= × ，单件利润= — 。 2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 3、根据前面的分析我们若设每个涨价 x 元，总利润为 y 元，此时 y 与 x 之间的函数关系式 是 ，化为一般式 。这里 y是 x 的 函 数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。 二、做一做： 例题 1、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销 售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件 衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若商场平均 每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 例题 2、某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高 产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. ⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵在上述问题中, 种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ ⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在 60400 个以上? 三、训练： 1.将进货为 40 元的某种商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个．已知这时商品每涨价一元， 其销售数就要减少 20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
2.某类产品按质量共分为10个档次,生产 每提高 个档次每件利润增加2元.用同样的工日/ x:可生产60件,每提高一个 档次将少生产3件,求生产何种档次的 四.活动与探究 某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40~ η0元之间.市场调査发现:若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱,价格每降低1元, 平均每天多销售3箱,价格每升高1元,平均每天少销售3箱. (1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围 2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价ⅹ(元)之间的二次 函数关系式(每箱的利润=售价-进价) (3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x=40,70时W的值.在坐标系中画出 函数图象的草图 (4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润为多少? 课后巩固: 1.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是() A.有最小值0,有最大值3B.有最小值一1,有最大值0 C.有最小值一1,有最大值3D.有最小值一1,无最大值 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 则下列结论中正确的是() A.a>0B.当x>1时,y随x的增大而增大 D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根 3、x=3时,y有最大值为-1,且抛物线过点(4,-3)、求符合条件的二次函数解析式
2．某类产品按质量共分为 10 个档次，生产最低档次产品每件利润为 8 元，如果每提高一 个档次每件利润增加 2 元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产 60 件，每提高一个 档次将少生产 3 件，求生产何种档次的产品利润最大？[来源: Z #xx #k. Com ] [来源:学科网 ZXX K] 四．活动与探究 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱 40 元，生产厂家要求每箱售价在 40～ 70 元之间．市场调查发现：若每箱以 50 元销售，平均每天可销售 90 箱，价格每降低 1 元， 平均每天多销售 3 箱，价格每升高 1 元，平均每天少销售 3 箱． (1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价 x(元)之间的函数关系式．(注明范围) (2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润 W(元)与每箱牛奶的售价 x(元)之间的二次 函数关系式(每箱的利润=售价-进价)． (3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当 x＝40，70 时 W 的值．在坐标系中画出 函数图象的草图． (4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少? 课后巩固: 1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内， 下列说法正确的是 ( ) A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值－1，有最大值 0 C．有最小值－1，有最大值 3 D．有最小值－1，无最大值 2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，[来源:学科网] 则下列结论中正确的是( ) A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 C．c＜0 D．3 是方程 ax2＋b x＋c＝0 的一个根 3、x＝3 时，y 有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3) 、求符合条件的二次函数解析式
4、某商人如果将进货单价为δ元的商品按毎件10元出售,每天可销售100件。现在他采用 提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要 减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚利润最大?并求出最大利润。 我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投 资收益为:每投入x万元,可获得利润P=-1(x-60)2+41(万元).当地政府拟在“十 二五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可 投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万 元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售:公路通车后的3年中, 该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x万元 可获利润=-10(100-x)2+=(100-x)+160万元) (1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少? (2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少? (3)根据(1)、(2),该方案是否具有实施价值?
4、某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件。现在他采用 提高售出价，减 少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要 减少[来源:学,科,网] 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求出最大利润。 5、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投 资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P＝－ 1 100(x－60) 2＋41(万元)．当地政府拟在“十 二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可 投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万 元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3年中， 该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元， 可获利润 Q＝－ 99 100(100－x) 2＋ 294 5 (100－x)＋160(万元)． (1)若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？ (2)若按规划实施，求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？ (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？[来源:Z#xx #k.Com]