13.4课题学习最短路径问题 学习目标 ①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用 ③能通过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想 二、预习内容 自学课本85页,完成下列问题 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B两地抽象为两个点,将河Ⅰ抽象为一条直线 B A 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:(1)从A地出发, 到河边1饮马,然后到B地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线 段的长度之和,就是从A地 到饮马地点,再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段 长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转 化为:当点C在1的什么位置时,AC与CB的和最小(如图) 三、探究学习 活动2:尝试解决数学问题
13.4 课题学习 最短路径问题 一、 学习目标 ①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容 自学课本 85 页，完成下列问题： 追问 1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动 1：思考画图、得出数学问题 将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线． 追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从 A 地出发， 到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连接起来的两条线 段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段 长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转 化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）． 三、探究学习 1、活动 2：尝试解决数学问题 B 。 。A l B A l C
问题2:如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点 C在1的什么位置时,AC与CB的和最小? 追问1你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B吗? 师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 如果学生有困难,教师可作如下提示 作法: (1)作点B关于直线l的对称点B; (2)连接AB,与直线1相交于点C,则点C即为所求 B B 四、巩固测评 (一)基础训练:1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和 最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l 异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短 这时先作点B关于直线l的对称点B′,则点C是直线l与AB′的交点 2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ桥分别 建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河 岸垂直)
问题 2 ： 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C，则点 C 即为所求 四、巩固测评 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和 最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CA＋CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CA＋CB 最短， 这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，则点 C 是直线 l 与AB′的交点． 2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别 建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河 岸垂直） 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； （一）基础训练：1、最短路径问题 l B′ C A B
(二)变式训练:如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B 村供水 F 二二二二二二2二二二 (1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方? (三)综合训练: 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直 排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明 先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路 程最短? C A D D“十D1 B 图 图b 五、学习心得
（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水． (1)若要使厂部到 A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直 排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明 先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路 程最短？ 图 a 图 b 五、学习心得 。 （三）综合训练： A B