1.3.2奇偶性 第一课时函数的奇偶性
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
问题提出 1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要,也是数学自身发展的必然结果.例如事物 的变化趋势,利润最大、效率最高等,这些特性 反映在函数上,就是要研究函数的单调性及最值 2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性,从函数图象的最高点最低点引发了函数的 最值,如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质?
问题提出 1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值. 2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的 最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质？
知识探究(一) 考察下列两个函数: (1)f(x)=-x (2)f(x)=x|. 图(1) 图(2) 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征? 思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
知识探究（一） 考察下列两个函数： (1) ; (2) . 2 f x x ( ) = − f x x ( ) | | = 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者 有何共同特征？ x y o 图（1） x y o 图（2） 思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴 对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立 吗? f(x)=f(-x) 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函 数,那么怎样定义偶函数? 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(x)=f(x)成立,则称函数f(x)为偶函 数
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴 对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立 吗？ 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函 数，那么怎样定义偶函数？ 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数. f(x)=f(-x)
思考5:等式f(x)=f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相等 思考6:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数 吗?偶函数的定义域有什么特征? 偶函数的定义域关于原点对称
思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表 述？ 自变量相反时对应的函数值相等 思考6:函数 是偶函数 吗？偶函数的定义域有什么特征？ 2 f x x x ( ) , [ 1, 2] = − 偶函数的定义域关于原点对称
知识探究(二) 考察下列两个函数 (1)f(x)=x (2)f/(x)=1 图(1) 图(2) 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征? 思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
知识探究（二） 考察下列两个函数： (1) ; (2) . f x x ( ) = 1 f x( ) x = 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者 有何共同特征？ 思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？ x y o 图（1） x y o 图（2）
思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于坐 标原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反 之成立吗? f(x)=f(-x) 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数,那么怎样定义奇函数? 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)成立,则称函数f(x)为奇 函数
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐 标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反 之成立吗？ 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？ 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数. f(x)=-f(-x)
思考5:等式f(x)=f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相反 思考6:函数f(x)=x,x∈[-1,2是奇函数吗? 奇函数的定义域有什么特征? 奇函数的定义域关于原点对称
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？ 自变量相反时对应的函数值相反 思考6:函数 是奇函数吗？ 奇函数的定义域有什么特征？ f x x x ( ) , [ 1, 2] = − 奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移 例1判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x+-;(2)f(x)=√1-x2 例2已知定义在R上的函数f(x)满足:对任 意实数,都有f(a·b)=f(b)+bf(a)成立 (1)求f(1)和f(-1)的值; (2) 确定f(x)的奇偶性
理论迁移 例1 判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2) . 1 f x x ( ) x = + 2 f x x ( ) 1 = − 例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任 意实数，都有 成立. （1）求f(1)和f(-1)的值； （2） 确定f(x)的奇偶性. f a b af b bf a ( ) ( ) ( ) = +
例3确定函数f(x)=-x2+2|x1+3的单调区间
例3 确定函数 的单调区间. 2 f x x x ( ) 2 | | 3 = − + + y x o -1 1