高中数学必修_第一章 集合与函数的概念_课件_1.3函数的性质

1.3函数的基本性质 1.31单调性与最大(小值 第一课时函数的单调性 学习目标要求: 1.理解函数单调性的概念; 2掌握判断函数单调性的一般方法 3体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用。 函数单调性的概念 1:增函数 (1)定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值Ⅺ、Ⅺ2,当X1fx2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数,区间D称为 函数f(x)的单调递减区间。 (2几何意义:函数f(x)的图象在区间D上是下降的,如图所示 y xu 3:单调性与单调区间 定义:如果函数y=f(×)在区间D上是壇函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间D叫做y=f()的单调区间

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 学习目标要求： 1.理解函数单调性的概念； 2.掌握判断函数单调性的一般方法； 3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。 一、函数单调性的概念 1：增函数 (1)定义：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为 函数 f(x)的单调递减区间。 (2)几何意义：函数 f(x)的图象在区间 D 上是下降的，如图所示： 3：单调性与单调区间 定义：如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间

思考: (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是,由定义中“定义域Ⅰ内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义 域的子集,这说明单调性是与“区间”紧密相关的,一个函数在定义域的不同区间可以有不同的 单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的κ1、x有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,证明单调性时更不可随意 以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定Ⅺ0减函数[)有0或f(×)<0时函数y=与y=f(x)的单调性相反;

思考： (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是，由定义中“定义域 I 内某个区间 D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义 域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的 单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的 x1、x2 有以下几个特征：一是任意性，即任意取 x1,x2，证明单调性时更不可随意 以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 x10,减函数 有0 或 f(x)<0 时,函数 y=与 y=f(x)的单调性相反;

C在公共区间内,“增+增=增″,“减+减=减”,“增减=增”,“减增 减 思考: (1)单调区间的端点值如何取舍? 对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减的变化,所以不存在单调性 问题,因此在写单调区间时,可以包括区间端点,也可以不包括区间端点,但当函数在某些端点 无意义时,单调区间就不能包括这些点。 (2)多个单调递增(减)区间之间能否用“U″连接? 不能取这些区间的并集,而应用“”将它们隔开或用“和”字连接。 函数单调性的应用 1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞4]上是减函数,求实数a的取值范围。 名师导引:(1)二次函数的单调性取决于什么? 开口方向(a>0,开口向上;a3a-2

c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-减=增”，“减-增= 减”。 思考： (1)单调区间的端点值如何取舍? 对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性 问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点 无意义时，单调区间就不能包括这些点。 (2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接? 不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。 三、函数单调性的应用 1、已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数，求实数 a 的取值范围。 名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？ 开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a） (2)(-∞,4]是函数的单调递减区间吗? 可能不是，可能是其子集。 解： ∵f(x)= x2+2(a-1)x+2， ∴此二次函数图象的对称轴为 x=1-a， ∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]， ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数， ∴对称轴 x=1-a 必须在直线 x=4 的右侧或与其重合， ∴1-a≥4，解得 a≤-3， 即实数 a 的取值范围为(-∞,-3]。 思考： “函数 f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义? 前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。 2、(2011~2012学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考)函数y=x2-2mx+3 在区间[1,3]上具有单调性,则 m 的范围为——————。 解析:∵函数图象的对称轴为 x=m, ∴函数在(-∞,m]上递减,[m,+∞)上递增, ∵函数在[1,3]上具有单调性, ∴m≤1 或 m≥3. 答案:(-∞,1]∪[3,+∞) 3、已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且 f(1-a)<f(3a-2)，求 a 的取值范围。 解：f(1-a)<f(3a-2)⇔

解得 a的取值范围是(3 第二课时函数的最大(小)值 学习目标要求: 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2会求一些简单函数的最大值或最小值 3体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用 最值的概念 1:最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈,都有f(x)≤M ②存在x∈,使得∫(x)=M。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值〔 maximum value) (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标 2:最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈,都有f(x)≥M ②存在x∈,使得∫(x)=M。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值( minimum value) (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。 思考: (1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义? “任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式f(x)≤M,即 最大值是函数的“整体”的性质 (2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义? 两层含义:一是强调最大值的属性,即它是值域中的一个元素;二是强调最大值的唯一性。 3)函数一定存在值域那么函数一定存在最值吗?

解得 <a< . ∴a 的取值范围是( , ). 第二课时 函数的最大(小)值 学习目标要求： 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义； 2.会求一些简单函数的最大值或最小值； 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用。 一、最值的概念 1：最大值 （1）定义：一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I  ，都有 f x M ( )  ； ②存在 0 x I  ，使得 0 f x M ( ) = 。 那么，我们称 M 是函数 y f x = ( ) 的最大值（maximum value）. （2）几何意义：函数 y f x = ( ) 的最大值是图象最高点的纵坐标。 2：最小值 （1）定义：一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I  ，都有 f x M ( )  ； ②存在 0 x I  ，使得 0 f x M ( ) = 。 那么，我们称 M 是函数 y f x = ( ) 的最小值（minimum value）. （2）几何意义：函数 y f x = ( ) 的最大值是图象最低点的纵坐标。 思考： (1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义? “任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式 f(x)≤M，即 最大值是函数的“整体”的性质。 (2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义? 两层含义：一是强调最大值的属性，即它是值域中的一个元素；二是强调最大值的唯一性。 (3)函数一定存在值域,那么函数一定存在最值吗?

对一个函教来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y。如果有最值,则最值 定是值域中的一个元素。 (4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势那么它与最值存在什么关系呢? ①若函数f(∞)在闭区间[a上是减函数,则f(x)在ab上的最大值为fa),最小值为印); 若函数f()在闭区间a上是增函数,则f(x)在ab上的最大值为f),最小值为f(a) ②若函数f()在开区间(ab)上是增(减)函数,则f(x)在(ab上不存在最值,但可以说函数(x)在 区间ab)上的值域为(f(a),邱(b)或(f(b),f(a)。 二、求函数最值(值域)常见的方法 1、观察法(数形结合法、图像法) 由函数的定义域结合图象(最值的几何意义:图象最高点、最低点的纵坐标),或直观观察, 准确地判断函数值域的方法 【例1】如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间。 2 -1.5 2:1O 解:观察函数图象可以知道: 图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5-2) 所以函数y=f(x),当x=3时取得最大值,最大值是3, 当x=-1.5时取得最小值,最小值是-2, 函数的单调递增区间为[-1.5,3),阝5,6), 单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),1,7。 方法小结:如何利用图象求函数最值? ①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例2】求函数f(x) (0<x<1, 的最值。 (1≤x≤2) 解:函数f(x)的图象如图 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值。 2 2、单调性判定法

对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y= 。如果有最值，则最值 一定是值域中的一个元素。 (4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势,那么它与最值存在什么关系呢? ①若函数 f(x)在闭区间[a,b]上是减函数，则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； 若函数 f(x)在闭区间[a,b]上是增函数，则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)； ②若函数 f(x)在开区间(a,b)上是增(减)函数，则 f(x)在(a,b)上不存在最值，但可以说函数 f(x)在 区间(a,b)上的值域为(f(a)，f(b))或(f(b)，f(a))。 二、求函数最值（值域）常见的方法 1、观察法（数形结合法、图像法） 由函数的定义域结合图象（最值的几何意义：图象最高点、最低点的纵坐标），或直观观察， 准确地判断函数值域的方法。 【例 1】 如图为函数 y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解：观察函数图象可以知道： 图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(-1.5,-2) 所以函数 y=f(x)，当 x=3 时取得最大值，最大值是 3， 当 x=-1.5 时取得最小值，最小值是-2， 函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[-4,-1.5)，[3,5)，[6,7]。 方法小结：如何利用图象求函数最值？ ①画出函数 y=f(x)的图象； ②观察图象，找出图象的最高点和最低点； ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例 2】求函数 f(x)= 的最值。 解:函数 f(x)的图象如图 由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1，无最大值。 2、单调性判定法

【例3】已知函数f(x)=x∈[35],求函数f(x)的最大值和最小值 解:任取x1,x2∈[3,5]且x10,x2+2>0 ∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)=在[3,5]上为增函数。 当x=时,函数f(x)取得最小值为f(3) 当x=5时,函数f(x)取得最大值为f(5)=。 方法小结 (1)应用单调性法求最值的时机是什么? 运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性 几乎成为首选方法。 (2)应用单调性法求最值要注意什么? ①意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析 ②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍。 3、判别式法 通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。 【例4】求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值。 图 解题分析 11 (1)能确定二次函数的图象吗?(开口向上,与y轴的交点是 (0,-1),对称轴不能确定) (2)函数f(x)在区间⑨,2]上是单调函数吗?(不一定,需根据对 称轴的位置进行分类讨论) 解:f(x)=x2-2ax-1,对称轴为x=a

【例 3】已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值。 解：任取 x1，x2∈[3,5]且 x10，x2+2>0， ∴f(x1)-f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数。 当 x=3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(3)= ； 当 x=5 时，函数 f(x)取得最大值为 f(5)= 。 方法小结： (1) 应用单调性法求最值的时机是什么？ 运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性 几乎成为首选方法。 (2) 应用单调性法求最值要注意什么？ ①意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析； ②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍。 3、判别式法 通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。 【例 4】求函数 f(x)=x2 -2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值。 图 1 解题分析: (1)能确定二次函数的图象吗?(开口向上，与 y 轴的交点是 (0,-1)，对称轴不能确定) (2)函数 f(x)在区间[0,2]上是单调函数吗？(不一定，需根据对 称轴的位置进行分类讨论) 解：f(x)=x2 -2ax-1，对称轴为 x=a

(1)当a2时,由图(4可知 图3 方法小结 (1)如何求二次函数在闭区间m上的最值? ①定二次函数的对称轴x=a; m+n m+n ②根据a<m,m≤a ≤a<n,a≥n这4种情况进行分类讨论 2 ③写出最值 (2)求二次函数的最值常用什么数学思想方法?(数形结合思想、分类讨论思想) (3)二次函数开口方向、对称轴、极值点的判别公式要牢记。 分离常量法 【例5】求函数y=1+x的值域 解:y x+1(x-1)+2 X≠ 练习:1求函数y x+2 的值域x∈(1,+∞ 2.求函数1=x-1 的值域 1,1) 换元法 通过对函数恒等变形,将函数化为易求值域的函数形式,来求值域的方法。 【例6】求函数y=x-√1-2x的值域。 解:函数 2x的定义域为x∈-∞

(1)当 a2 时,由图(4)可知： f(x)min=f(2)=3-4a 图 3 f(x)max=f(0)=-1 图 4 方法小结： (1) 如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值? ①定二次函数的对称轴 x=a; ②根据 a<m，m≤a< 2 m + n ， 2 m + n ≤a<n，a≥n 这 4 种情况进行分类讨论; ③写出最值 (2) 求二次函数的最值常用什么数学思想方法？(数形结合思想、分类讨论思想) (3) 二次函数开口方向、对称轴、极值点的判别公式要牢记。 4、分离常量法 【例 5】求函数 1 1 x y x + = − 的值域。 解： 1 ( 1) 2 2 1 1 1 1 x x y x x x + − + = − = − = − − − − − x y y    − 1, 1   练习：1.求函数 2 1 x y x + = + 的值域 x + (1, ) （1， 3 2 ） 2. 求函数 2 2 1 1 x y x − = + 的值域 [-1，1） 5、换元法 通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。 【例 6】求函数 的值域。 解：函数 y = x − 1− 2x 的定义域为        −  2 1 x , y = x − 1− 2x

(0,∞) 22 1 t∈(0,∞) (+1)的值域为(0,∞) x-√1-2x的值域为(- -0一 6、配凑法 【例7求函数y=√x2+6x+10的值域 2+6x+10 =√x2+6x+9+1 则:y=√x2+6x+10的值域为L+∞) 32奇偶性 第一课时函数奇偶性的定义与判定 学习目标要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2.掌握判断函数奇偶性的方法 3.学会利用图象理解和研究函数的性质。 、函数的奇偶性定义 1.偶函数 般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做 偶函数 2.奇函数 般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做 奇函数 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;

令：t =1− 2x t (0,) 则： 2 2 1 t x = − t t y = − − 2 2 1 ( )       = − − + 2 1 2 1 1 t ∵ t (0,) ∴ ( ) 2 t +1 的值域为（0，∞） 即 y = x − 1− 2x 的值域为 ] 2 1 (−, 。 6、配凑法 【例 7】求函数 6 10 2 y = x + x + 的值域。 解： 6 10 2 y = x + x + 6 9 1 2 = x + x + + ( 3) 1 2 = x + + 则： 6 10 2 y = x + x + 的值域为 [1,+) 1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定 学习目标要求： 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义； 2.掌握判断函数奇偶性的方法； 3.学会利用图象理解和研究函数的性质。 一、函数的奇偶性定义 1．偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做 偶函数。 2．奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=-f(x)，那么 f(x)就叫做 奇函数。 注意： ○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

Q由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意 个x,则一x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 思考 (1)定义中“定义域内任意一个x”说明奇偶性的存在范围是什么?这与单调性有何区别? 只有对定义域中的每一个x,都有f(x)=-f(x)(或乓()=f(x),才能说f()是奇(偶)函数 任意一个ⅹ函数奇偶性与单调性区别 ①奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋 势。②奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来 讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质 (2)定义中“都有f(-x)=±f(x)”说明具有奇偶性的函数的定义域有何特征? 由定义知,若x是定义域中的一个数值,则ⅹ也必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函 数或偶函数的一个必不可少的条件是:定义域关于原点对称;换言之,所给函数的定义域若不关 于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性。 (3)若奇函数或偶函数在原点处有定义则f(0)是确定的值吗? 对奇函数而言,f(0)=0;对偶函数而言无法确定。 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称:奇函数的图象关于原点对称。 10 三、典型例题 1.判断函数的奇偶性 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称(定义域中任取x,都存在x 与之对应) ②确定f(-x)与f(x)的关系 ③作出相应结论:(画数根据事偶性类型:呼函数、偶函数、既奇又偶函数、非呼非偶函 数。其中既呼又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集) 若f(一x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f()是偶函数 若f(一x)=-f()或f(一x)+f(x)=0,则f()是奇函数。 【例1】判断函数f(x)=|Xx+1+x-1的奇偶性 解:f(x)的定义域是R 又f(-x)=|-x+1|+|-x-1 =|x-1|+|x+1|=f(x)

○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意 一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 思考： (1)定义中“定义域内任意一个 x”说明奇偶性的存在范围是什么?这与单调性有何区别? 只有对定义域中的每一个 x，都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)，才能说 f(x)是奇(偶)函数。 任意一个 x 函数奇偶性与单调性区别： ①奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋 势。②奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来 讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质。 (2)定义中“都有 f(-x)=±f(x)”说明具有奇偶性的函数的定义域有何特征? 由定义知，若 x 是定义域中的一个数值，则-x 也必然在定义域中，因此，函数 y=f(x)是奇函 数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称；换言之，所给函数的定义域若不关 于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。 (3)若奇函数或偶函数在原点处有定义,则 f(0)是确定的值吗? 对奇函数而言，f(0)=0；对偶函数而言无法确定。 二、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称。 三、典型例题 1．判断函数的奇偶性 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称(定义域中任取 x，都存在-x 与之对应)； ○2 确定 f(－x)与 f(x)的关系； ○3 作出相应结论：（函数根据奇偶性类型：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函 数。其中既奇又偶函数的表达式是 f(x)=0，x∈A，A 是关于原点对称的非空数集） 若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 【例 1】判断函数 f(x)=|x+1|+|x-1|的奇偶性 解：f(x)的定义域是 R 又 f(-x)=|-x+1|+|-x-1| =|x-1|+|x+1|=f(x)

f(x)是偶函数 2.利用函数的奇偶性求解析式 【例1】已知(x)函数为偶函数,且当x0,f(x)的解析式。 解 3.函数的奇偶性与单调性的关系 【例1】已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:fx)在(一∞,O上也是增函数 解:设x1-x2≥0, ∵:f(x)在⑩,+∞)上是增函数, f(-x1)>f(-x2) ∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2) ∴-f(x1)>-f(x2), ∴f(x)<f(x2), f(x)在(-∞,0]上也是增函数 规律 倜函数在关于原点对称的区上单调性相反 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。 第二课时函数奇偶性的应用 学习目标要求: 1.会根据函数奇偶性求解析式或参数; 能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题。 1.利用奇偶性求参数 【例1】已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的解析式 导引: (1)奇偶函数的定义域有何特征(关于原点对称) (2)若二次函数为偶函数,则其图象有何特征?(对称轴为y轴) 解 偶函数f(x)的定义域为a-1,2al, a-1+2a=0.,,a 即函数f(x)的定义域为3, f(x)=3x2+bx+1+b 法一∷f印(x为偶函数, 二次函数图象的对称轴为x=2=0,即b=0

∴f(x)是偶函数。 2．利用函数的奇偶性求解析式 【例 1】已知 f (x) 函数为偶函数，且当 x  0 时， f (x) = x +1 ，则 x  0， f (x) 的解析式。 解： 3．函数的奇偶性与单调性的关系 【例 1】已知 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 解：设 1 2 x x   0 ，则 1 2 −  −  x x 0， ∵ f x( ) 在 [0, ) + 上是增函数， ∴ 1 2 f x f x ( ) ( ) −  − ， ∵ f x( ) 是奇函数， ∴ 1 1 f x f x ( ) ( ) − = − ， 2 2 f x f x ( ) ( ) − = − ， ∴ 1 2 −  − f x f x ( ) ( )， ∴ 1 2 f x f x ( ) ( )  ， ∴ f x( ) 在 ( , 0] − 上也是增函数。 规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。 第二课时 函数奇偶性的应用 学习目标要求： 1.会根据函数奇偶性求解析式或参数； 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题。 1．利用奇偶性求参数 【例 1】 已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求 f(x)的解析式。 导引： (1)奇偶函数的定义域有何特征?(关于原点对称) (2)若二次函数为偶函数，则其图象有何特征？(对称轴为 y 轴) 解： ∵偶函数 f(x)的定义域为[a-1,2a], ∴a-1+2a=0,∴a= , 即函数 f(x)的定义域为[- , ], ∴f(x)= x 2+bx+1+b. 法一:∵f(x)为偶函数, ∴二次函数图象的对称轴为 x=- =0,即 b=0